1、2016-2017 学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1 （5 分）抛物线 y=x2 的准线方程是 2 （5 分）命题“任意正实数 a，函数 f（x）=x 2+ax 在0，+）上都是增函数”的否定是 3 （5 分）已知复数 z 满足（ 3+4i）z=5i 2016（i 为虚数单位） ，则|z |= 4 （5 分）将参加夏令营的 500 名学生编号为：001，002，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003，这 500 名学生分住在三个营区，从 001
2、 到 200 在第一营区，从 201 到 355 在第二营区，从356 到 500 在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为 5 （5 分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是 1023，则判断框中的整数 M 的值是 6 （5 分）在平面直角坐标系内，二元一次方程 Ax+By+C=0（A 2+B20）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0（A 2+B2+C20）表示平面的方程在平面直角坐标系内，点 P（x 0，y 0）到直线 Ax+By+C=0 的距离 d= ，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点 P（2，1 ，1）到平面 3x+4
3、y+12z+4=0 的距离 d= 7 （5 分）等轴双曲线的离心率为 8 （5 分） “a1” 是“ （a+1 ）x 2 对 x（1，+）恒成立”的 条件（填“充分不必要、必要不充分、充要” ） 9 （5 分）过点 P（5，4）作直线 l 与圆 O：x 2+y2=25 交于 A，B 两点，若PA=2，则直线 l 的方程为 10 （5 分）已知双曲线的渐近线方程为 ，一个焦点为 ，则双曲线的标准方程是 11 （5 分）已知椭圆 的离心率 ，A、B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于 A、B 的一点，直线 PA、PB 斜倾角分别为 、，则= 12 （5 分）已知圆心 C 在抛物线 y2=4x
4、上且与准线相切，则圆 C 恒过定点 13 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O1，圆 O2 均与 x 轴相切且圆心O1，O 2 与原点 O 共线，O 1，O 2 两点的横坐标之积为 6，设圆 O1 与圆 O2 相交于P，Q 两点，直线 l：2xy 8=0，则点 P 与直线 l 上任意一点 M 之间的距离的最小值为 14 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，B 是椭圆 的上顶点，直线 y=b 与椭圆右准线交于点 A，若以 AB 为直径的圆与 x 轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率 e 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答.解答时
5、应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元/ 立方米收费，从该市随机调查了 10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/ 立方米， w 至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 w=3 时，估计该市居民该月的人均水费16 （14 分）设 a 为实数，给出命题 p：关于 x 的不等式 的解集为，命题 q：函数 f（x
6、）=lgax 2+（a2）x+ 的定义域为 R，若命题“pq”为真，“pq”为假，求实数 a 的取值范围17 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M 经过点 A（1，0） ，B （3，0） ，C（ 0，1） （1）求圆 M 的方程；（2）若直线 l“mx2y（2m+1）=0 与圆 M 交于点 P，Q，且 =0，求实数 m的值18 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 + =1（a b0）与直线y=kx（k0）相交于 A，B 两点（从左到右） ，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为C，直线 AC 交椭圆于另一点 D（1）若椭圆的离心率为 ，点 B 的坐标为（ ，1） ，
7、求椭圆的方程；（2）若以 OD 为直径的圆恰好经过点 B，求椭圆的离心率19 （16 分）已知圆 M：x 2+（y4） 2=4，点 P 是直线 l：x2y=0 上的一动点，过点 P 作圆 M 的切线 PA、 PB，切点为 A、B（）当切线 PA 的长度为 2 时，求点 P 的坐标；（）若PAM 的外接圆为圆 N，试问：当 P 运动时，圆 N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（）求线段 AB 长度的最小值20 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 （ab0）的离心率为 ，其焦点在圆 x2+y2=1 上（1）求椭圆的方程；（2）设 A，B，M 是椭圆上的
8、三点（异于椭圆顶点） ，且存在锐角 ，使（i）求证：直线 OA 与 OB 的斜率之积为定值；（ii）求 OA2+OB2试卷（附加题）21 （10 分）已知矩阵 ，其中 a，b 均为实数，若点 A（3，1）在矩阵M 的变换作用下得到点 B（3，5） ，求矩阵 M 的特征值22 （10 分）在极坐标系中，设圆 C 经过点 P（ ， ） ，圆心是直线 sin（）= 与极轴的交点（1）求圆 C 的半径；（2）求圆 C 的极坐标方程23 （10 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， BAC=90，AB=AC=2，AA 1=6，点 E、F 分别在棱 BB1、CC 1 上，且 BE= BB1，C
9、1F= CC1（1）求异面直线 AE 与 A1 F 所成角的大小；（2）求平面 AEF 与平面 ABC 所成角的余弦值24 （10 分）已知数列a n满足 a1=1， （1）求证：数列 是等比数列；（2）设 ，求证：当 n2，n N*时，2016-2017 学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1 （5 分）抛物线 y=x2 的准线方程是 4y +1=0 【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x 2=y，焦点在 y 轴上；所以：2p=1，即 p= ，所以： = ，准线方程 y=
10、= ，即 4y+1=0故答案为：4y+1=02 （5 分）命题“任意正实数 a，函数 f（x）=x 2+ax 在0，+）上都是增函数”的否定是 “ 存在正实数 a，函数 f（x）=x 2+ax 在0，+）上不都是增函数” 【解答】解：命题“ 任意正实数 a，函数 f（x）=x 2+ax 在0，+）上都是增函数”的否定是“存在正实数 a，函数 f（x）=x 2+ax 在0，+）上不都是增函数”故答案为：“ 存在正实数 a，函数 f（x）=x 2+ax 在0，+）上不都是增函数”3 （5 分）已知复数 z 满足（ 3+4i）z=5i 2016（i 为虚数单位） ，则|z |= 1 【解答】解：由（
11、3+4i）z=5i 2016，得 = = ，则|z|= 故答案为：14 （5 分）将参加夏令营的 500 名学生编号为：001，002，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003，这 500 名学生分住在三个营区，从 001 到 200 在第一营区，从 201 到 355 在第二营区，从356 到 500 在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为 14 【解答】解：系统抽样的抽取间隔为 =10，随机抽得的第一个号码为 003，被抽到号码 l=10k+3，kN在第三营区中被抽到的号码为 363，373493 ，第三个营区被抽中的人数为 14故答案为：145
12、（5 分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是 1023，则判断框中的整数 M 的值是 9 【解答】解：执行程序框图，有A=1，S=1当满足条件 AM，S=1+2+2 2+2M=1023由等比数列的求和公式，可知2M+11=1023，即可解得 M=9故答案为：96 （5 分）在平面直角坐标系内，二元一次方程 Ax+By+C=0（A 2+B20）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0（A 2+B2+C20）表示平面的方程在平面直角坐标系内，点 P（x 0，y 0）到直线 Ax+By+C=0 的距离 d= ，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐
13、标系内，点 P（2，1 ，1）到平面 3x+4y+12z+4=0 的距离 d= 2 【解答】解：类比点 P（x 0，y 0）到直线 Ax+By+C=0 的距离 d= ，可知在空间中，点 P（ x0，y 0，z 0）到平面 Ax+By+Cz+D=0（A 2+B2+C20）的距离，代入数据可知点 P（2，1 ，1）到平面 3x+4y+12z+4=0 的距离 d=2故答案为：27 （5 分）等轴双曲线的离心率为 【解答】解：等轴双曲线中 a=bc= = ae= =故答案为：8 （5 分） “a1” 是“ （a+1 ）x 2 对 x（1，+）恒成立”的 充分不必要 条件（填“充分不必要、必要不充分、充
14、要” ） 【解答】解：若 a1，则 x ，而 1， （1，+） ，是充分条件；若（a +1）x2 对 x（1， +）恒成立，则 x ，只需 1 即可，a 1 ，是不必要条件，故答案为：充分不必要9 （5 分）过点 P（5，4）作直线 l 与圆 O：x 2+y2=25 交于 A，B 两点，若PA=2，则直线 l 的方程为 y=4 或 40x9y164=0 【解答】解：当直线 l 斜率为 0 时，A 与 M 重合，B 与 N 重合，此时 OQ=4，由垂径定理定理得到 Q 为 MN 中点，连接 OM，根据勾股定理得：QM= =3，MN=2QM=6，此时直线 l 方程为 y=4，符合题意；当直线 l
15、斜率不为 0 时，设为 k，直线 l 方程为 y4=k（x5） ，即 kxy+45k=0，由割线定理得到 AB=MN=6，再由垂径定理得到 C 为 AB 的中点，即AC= AB=3，过 O 作 OCAB，连接 OA，根据勾股定理得：OC= =4，圆心 O 到直线 l 的距离 d= =4，解得：k=0（舍去）或 k= ，则此时直线 l 的方程为 xy+45 =0，即 40x9y164=0，综上，直线 l 的方程为 y=4 或 40x9y164=0故答案为：y=4 或 40x9y164=010 （5 分）已知双曲线的渐近线方程为 ，一个焦点为 ，则双曲线的标准方程是 =1 【解答】解：根据题意，要
16、求双曲线的一个焦点为 ，在 y 轴上，可以设其标准方程为： =1，且有 a2+b2=c2=8，其渐近线方程为：y= x，又由该双曲线的渐近线方程为 ，则有 = ，联立、可得：a 2=6，b 2=2，则要求双曲线的方程为： =1；故答案为： =111 （5 分）已知椭圆 的离心率 ，A、B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于 A、B 的一点，直线 PA、PB 斜倾角分别为 、，则= 【解答】解：由题意，A（ a，0） ，B（a，0） ，设 P（x ，y ） ，则 ， =椭圆 的离心率 ，a 2=4b2 = = = = =故答案为：12 （5 分）已知圆心 C 在抛物线 y2=4x 上且与准线
17、相切，则圆 C 恒过定点 （1，0） 【解答】解：设动圆的圆心到直线 x=1 的距离为 r，因为动圆圆心在抛物线 y2=4x 上，且抛物线的准线方程为 x=1，所以动圆圆心到直线 x=1 的距离与到焦点（1，0）的距离相等，所以点（1，0）一定在动圆上，即动圆必过定点（1，0） 故答案为：（1，0） 13 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O1，圆 O2 均与 x 轴相切且圆心O1，O 2 与原点 O 共线，O 1，O 2 两点的横坐标之积为 6，设圆 O1 与圆 O2 相交于P，Q 两点，直线 l：2xy 8=0，则点 P 与直线 l 上任意一点 M 之间的距离的最小值为 【解
18、答】解：设圆 O1：（xx 1） 2+（y kx1） 2=k2x12，圆 O2：（x x2） 2+（ykx 2）2=k2x22，两方程相减可得：2ky=x 1+x22x，与圆 O1 联立可得 x2+y2=6，令 y2x=t，则 y=2x+t，代入可得 5x24tx+t26=0，=30t 20，可得 t ，P 到直线 l 的距离为 ，y2x=t= 时，点 P 与直线 l 上任意一点 M 之间的距离的最小值为 故答案为： 14 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，B 是椭圆 的上顶点，直线 y=b 与椭圆右准线交于点 A，若以 AB 为直径的圆与 x 轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率 e
19、 的取值范围是 （ ，1） 【解答】解：如图所示：过圆心 M 作横轴垂线，垂足为 T，圆与横轴交点为N，H则 MT=b，MH=r= ，要使以 AB 为直径的圆与 x 轴的公共点都在椭圆内部，只需TH a 即可，即 MH2MT2（a ） 2，（ ） 2b2（a ） 2，化简得 c32a2c+a30e32e+10（e1） （e 2+e1）0e1，e 2+e10e 椭圆的离心率 e 的取值范围是（ ，1）二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过 w 立方米的部分按
20、4 元/立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元/ 立方米收费，从该市随机调查了 10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/ 立方米， w 至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 w=3 时，估计该市居民该月的人均水费【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在0.5，1）的频率为 0.1，用水量在1，1.5）的频率为 0.15，用水量在1.5，2）的频率为 0.2，用水量在2，2.5）的频率为 0.25，用水量在2.5，3）的频率为
21、 0.15，用水量在3，3.5）的频率为 0.05，用水量在3.5，4）的频率为 0.05，用水量在4，4.5）的频率为 0.05，用水量小于等于 3 立方米的频率为 85%，为使 80%以上居民在该用的用水价为 4 元/立方米，w 至少定为 3 立方米（2）当 w=3 时，该市居民的人均水费为：（0.11+0.151.5 +0.22+0.252.5+0.153）4+0.0534+0.050.510+0.0534+0.05110+0.0534+0.051.510=10.5，当 w=3 时，估计该市居民该月的人均水费为 10.5 元16 （14 分）设 a 为实数，给出命题 p：关于 x 的不等
22、式 的解集为，命题 q：函数 f（x）=lgax 2+（a2）x+ 的定义域为 R，若命题“pq”为真，“pq”为假，求实数 a 的取值范围【解答】解：命题 p：|x 1|0， ，a 1；命题 q：不等式 的解集为 R， ，解得；若命题“pq”为真， “pq”为假，则 p，q 一真一假；p 真 q 假时， ，解得 a8；p 假 q 真时， ，解得 ；实数 a 的取值范围为： 17 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M 经过点 A（1，0） ，B （3，0） ，C（ 0，1） （1）求圆 M 的方程；（2）若直线 l“mx2y（2m+1）=0 与圆 M 交于点 P，Q，且 =0，
23、求实数 m的值【解答】解：（1）如图，AB 中垂线方程为 x=2，AC 中垂线方程为 y=x，联立 ，解得 M（2， 2） ，又|MA|= ，圆 M 的方程为（ x2） 2+（y 2） 2=5；（2） =0，PMQ=90，则|PQ|= ，M 到直线 mx2y（2m +1）=0 的距离为 由 ，解得：m= 18 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 + =1（a b0）与直线y=kx（k0）相交于 A，B 两点（从左到右） ，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为C，直线 AC 交椭圆于另一点 D（1）若椭圆的离心率为 ，点 B 的坐标为（ ，1） ，求椭圆的方程；（2）若以 OD 为
24、直径的圆恰好经过点 B，求椭圆的离心率【解答】解：（1）椭圆的离心率为 ，点 B 的坐标为（ ，1） ， ， ，又 a2=b2+c2，联立解得 a2=4，b 2=c2=2椭圆的方程为： =1（2）设 A（x 1，y 1） ，D（x 2，y 2） ，则 B（ x1，y 1） ，C（x 1，0） kAD= =kAC= = ，k BD= = 又 ， ，两式相减可得： =0， =0，化为 a2=2b2椭圆的离心率 e= = 19 （16 分）已知圆 M：x 2+（y4） 2=4，点 P 是直线 l：x2y=0 上的一动点，过点 P 作圆 M 的切线 PA、 PB，切点为 A、B（）当切线 PA 的长度
25、为 2 时，求点 P 的坐标；（）若PAM 的外接圆为圆 N，试问：当 P 运动时，圆 N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（）求线段 AB 长度的最小值【解答】解：（）由题可知，圆 M 的半径 r=2，设 P（2b ，b） ，因为 PA 是圆 M 的一条切线，所以MAP=90，所以 MP= ，解得所以 4 分（）设 P（ 2b，b） ，因为 MAP=90，所以经过 A、P、M 三点的圆 N 以 MP为直径，其方程为：即（2x+y4）b（x 2+y24y）=0由 ，7 分解得 或 ，所以圆过定点 9 分（）因为圆 N 方程为（x b） 2+（y ） 2=即 x2+
26、y22bx（b+4）y+4b=0 圆 M： x2+（y4） 2=4，即 x2+y28y+12=0得圆 M 方程与圆 N 相交弦 AB 所在直线方程为：2bx+（b4）y +124b=011分点 M 到直线 AB 的距离 13 分相交弦长即：当 时，AB 有最小值 16 分20 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 （ab0）的离心率为 ，其焦点在圆 x2+y2=1 上（1）求椭圆的方程；（2）设 A，B，M 是椭圆上的三点（异于椭圆顶点） ，且存在锐角 ，使（i）求证：直线 OA 与 OB 的斜率之积为定值；（ii）求 OA2+OB2【解答】解：（1）依题意，得 c=1于是，a=
27、 ，b=1 （2 分）所以所求椭圆的方程为 （4 分）（2） （i ）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ， 又设 M（x ，y） ，因 ，故 （7 分）因 M 在椭圆上，故 整理得 将代入上式，并注意 cossin0，得 所以， 为定值 （10 分）（ii） ，故y12+y22=1又 ，故 x12+x22=2所以，OA 2+OB2=x12+y12+x22+y22=3 （16 分）试卷（附加题）21 （10 分）已知矩阵 ，其中 a，b 均为实数，若点 A（3，1）在矩阵M 的变换作用下得到点 B（3，5） ，求矩阵 M 的特征值【解答】解：由题意得： = = ， ，解得
28、a=3，b=2M= ，设矩阵 M 的特征值为 ，则 f（）= =0，化为（ 2） （1 ） 6=0，化为 234=0，解得 1=1， 2=422 （10 分）在极坐标系中，设圆 C 经过点 P（ ， ） ，圆心是直线 sin（）= 与极轴的交点（1）求圆 C 的半径；（2）求圆 C 的极坐标方程【解答】解：（1）因为圆心为直线 sin（ ）= 与极轴的交点，所以令 =0，得 =1，即圆心是（1，0） ，又圆 C 经过点 P（ ， ） ，P（ ， ）的直角坐标为（ ， ） ，所以圆的半径 r= =1（2）圆 C 的普通方程为（x1） 2+y2=1，即 x2+y22x=0，x 2+y2=2，x=c
29、os，圆 C 的极坐标方程为 22cos=0，即 =2cos23 （10 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， BAC=90，AB=AC=2，AA 1=6，点 E、F 分别在棱 BB1、CC 1 上，且 BE= BB1，C 1F= CC1（1）求异面直线 AE 与 A1 F 所成角的大小；（2）求平面 AEF 与平面 ABC 所成角的余弦值【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则 A（0，0 ， 0） ，E （2，0，2） ，A 1（0 ，0，6） ，F（0，2，4） ，从而 =（2 ，0，2） ， =（0，2， 2） 2 分记 与 的夹角为 ，则有：cos=cos = 由异面
30、直线 AE 与 A1F 所成角的范围为（0，） ，得异面直线 AE 与 A1F 所成角为 604 分（2）记平面 AEF 和平面 ABC 的法向量分别为 和 ，则由题设可令 =（x ，y，z ） ，且有平面 ABC 的法向量为 ，由 ，取 x=1，得 =（1，2，1） 8 分记平面 AEF 与平面 ABC 所成的角为 ，则 cos=|cos |=| |= 平面 AEF 与平面 ABC 所成角的余弦值为 10 分24 （10 分）已知数列a n满足 a1=1， （1）求证：数列 是等比数列；（2）设 ，求证：当 n2，n N*时，【解答】证明：（1）数列a n满足 a1=1， = =3 =1，数列 是等比数列，首项为 1，公比为 3（2）由（1）可得： =3n1，可得 an+2=n3n1bn= = 当 n2，nN *时，b n+1+bn+2+b2n= +下面利用数学归纳法证明： 当 n=2 时，b 3+b4= = = 假设 n=kN*，k2b k+1+bk+2+b2k 则 n=k+1 时，b k+2+bk+3+b2k+b2k+1+b2k+2 + + = n=k+1 时，假设成立综上可得：当 n2，nN *时，
