1、2016-2017 学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1 （5 分）不等式 1 的解集为（ ）A （ ，1 ） B （0，1） C （1，+） D （0，+）2 （5 分）a b 的一个充分不必要条件是（ ）Aa=1，b=0 B Ca 2b 2 Da 3b 33 （5 分）在ABC 中，若 a=1，b=2，cosA= ，则 sinB=（ ）A B C D4 （5 分）等比数列a n中， a2+a4=20，a 3+a5=40，则 a6=（ ）A16 B32 C64 D
2、1285 （5 分）两座灯塔 A 和 B 与海洋观测站 C 的距离分别是 akm 和 2akm，灯塔A 在观测站 C 的北偏东 20，灯塔 B 在观测站 C 的南偏东 40，则灯塔 A 与灯塔B 之间的距离为（ ）A akm B2akm C akm D akm6 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E，F 满足 =3 ， =3 ，则 BE 与 DF 所成角的正弦值为（ ）A B C D7 （5 分）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1009=1，则 S2017（ ）A1008 B1009 C2016 D20178 （5 分）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线
3、于 A，B 两点，若 O 为坐标原点，则 =（ ）A 1 B2 C3 D 49 （5 分）设椭圆 C： =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，P 是C 上的点 PF2F 1F2，PF 1F2=30，则 C 的离心率为（ ）A B C D10 （5 分）在ABC 中，若 BC=2，A=120，则 的最大值为（ ）A B C D11 （5 分）正实数 ab 满足 + =1，则（a+2） （b+4）的最小值为（ ）A16 B24 C32 D4012 （5 分）圆 O 的半径为定长， A 是平面上一定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线 l 和直线 OP 相交于点 Q，当点 P 在
4、圆上运动时，点 Q 的轨迹为（ ）A一个点 B椭圆C双曲线 D以上选项都有可能二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）命题“x ， ，tanxm”的否定为 14 （5 分）若 x，y 满足 ，则 z=x+2y 的取值范围为 15 （5 分）已知 F 为双曲线 C： =1 的左焦点， A（1，4） ，P 是 C 右支上一点，当APF 周长最小时，点 F 到直线 AP 的距离为 16 （5 分）若数列a n满足 an+1+（1） nan=2n1，则 an的前 40 项和为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
5、17 （10 分）设 f（x）= （m+1）x 2mx+m1（1）当 m=1 时，求不等式 f（x ）0 的解集；（2）若不等式 f（x）+1 0 的解集为 ，求 m 的值18 （12 分）在ABC 中， a，b，c 的对角分别为 A，B，C 的对边，a 2c2=b2，a=6，ABC 的面积为 24（1）求角 A 的正弦值；（2）求边 b，c19 （12 分）S n 为数列a n的前 n 项和，已知 an0，a n2+an=2Sn（1）求数列a n的通项公式；（2）若 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Tn20 （12 分）已知命题 p：函数 f（x）=lg（x 22x+a）的定义域为 R
6、，命题 q：对于 x1，3，不等式 ax2ax6+a0 恒成立，若 p q 为真命题，pq 为假命题，求实数 a 的取值范围21 （12 分）如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，A 1D平面 ABCD，底面为边长为1 的正方形，侧棱 AA1=2（1）求直线 DC 与平面 ADB1 所成角的大小；（2）在棱上 AA1 是否存在一点 P，使得二面角 AB1C1P 的大小为 30，若存在，确定 P 的位置，若不存在，说明理由22 （12 分）在圆 x2+y2=3 上任取一动点 P，过 P 作 x 轴的垂线 PD，D 为垂足，= 动点 M 的轨迹为曲线 C（1）求 C 的方程及其离心率；（2）
7、若直线 l 交曲线 C 交于 A，B 两点，且坐标原点到直线 l 的距离为 ，求AOB 面积的最大值2016-2017 学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1 （5 分）不等式 1 的解集为（ ）A （ ，1 ） B （0，1） C （1，+） D （0，+）【解答】解：不等式可化为 x（x 1）0，0x1，不等式 1 的解集为（0，1） ，故选 B2 （5 分）a b 的一个充分不必要条件是（ ）Aa=1，b=0 B Ca 2b 2 Da 3b 3
8、【解答】解：A当 a=1，b=0 时，满足 ab ，反之不成立，则 a=1，b=0 是a b 的一个充分不必要条件B当 a0 ， b0 时，满足 ，但 ab 不成立，即充分性不成立，C当 a=2， b=1 时，满足 a2b 2，但 ab 不成立，即充分性不成立，D由 a3b 3 得 ab，即 a3b 3 是 ab 成立的充要条件，故选：A3 （5 分）在ABC 中，若 a=1，b=2，cosA= ，则 sinB=（ ）A B C D【解答】解：0A ，且 cosA= ，sinA= = ，由正弦定理得， ，则 sinB= = = ，故选 D4 （5 分）等比数列a n中， a2+a4=20，a
9、3+a5=40，则 a6=（ ）A16 B32 C64 D128【解答】解：等比数列a n中，a 2+a4=20，a 3+a5=40， ，解得 a=2，q=2 ，a 6=225=64故选：C5 （5 分）两座灯塔 A 和 B 与海洋观测站 C 的距离分别是 akm 和 2akm，灯塔A 在观测站 C 的北偏东 20，灯塔 B 在观测站 C 的南偏东 40，则灯塔 A 与灯塔B 之间的距离为（ ）A akm B2akm C akm D akm【解答】解：根据题意，ABC 中，ACB=180 2040=120，AC=akm， BC=2akm，由余弦定理，得 cos120= ，解之得 AB= akm
10、，即灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 akm，故选：D6 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E，F 满足 =3 ， =3 ，则 BE 与 DF 所成角的正弦值为（ ）A B C D【解答】解：如图，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCDA1B1C1D1 中棱长为 4，点 E，F 满足 =3 ， =3 ，B（4，4，0） ，E（4 ，3 ，4） ，D（0，0，0） ，F（0，1，4） ，=（0，1，4） ， =（0 ，1，4） ，设异面直线 BE 与 DF 所成角为 ，则 cos= = = sin= =
11、，BE 与 DF 所成角的正弦值为 故选：A7 （5 分）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1009=1，则 S2017（ ）A1008 B1009 C2016 D2017【解答】解：等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1009=1，S 2017= （a 1+a2017） =2017a1009=2017故选：D8 （5 分）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A，B 两点，若 O 为坐标原点，则 =（ ）A 1 B2 C3 D 4【解答】解：由题意知，抛物线 y2=4x 的焦点坐标为（ 1，0） ，直线 AB 的方程为 y=k（x 1） ，由 ，得 k2x2（2k 2
12、+4）x+k 2=0，设 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，x1+x2= ，x 1+x2=1，y 1y2=k（x 11）k （x 21） =k2x1x2（x 1+x2）+1则 =x1x2+y1y2=x1x2+k（x 11）k（x 21）=3故选：C9 （5 分）设椭圆 C： =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，P 是C 上的点 PF2F 1F2，PF 1F2=30，则 C 的离心率为（ ）A B C D【解答】解：|PF 2|=x，PF 2F 1F2，PF 1F2=30，|PF 1|=2x，|F 1F2|= x，又|PF 1|+|PF2|=2a，|F 1F2|=2c
13、2a=3x，2c= x，C 的离心率为：e= = 故选 D10 （5 分）在ABC 中，若 BC=2，A=120，则 的最大值为（ ）A B C D【解答】解： ， 4=AC2+AB22ACABcosA4=AC2+AB2+ACAB2ACAB+ACAB=3ACAB ACAB =ACABcos120 ，则 的最大值为 ，故选：A11 （5 分）正实数 ab 满足 + =1，则（a+2） （b+4）的最小值为（ ）A16 B24 C32 D40【解答】解：正实数 a，b 满足 + =1，12 ，解得 ab8，当且仅当 b=2a=4 时取等号b+2a=ab（a +2） （b+4）=ab+2（b+2a）
14、+8=3ab+832 故选：C12 （5 分）圆 O 的半径为定长， A 是平面上一定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线 l 和直线 OP 相交于点 Q，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹为（ ）A一个点 B椭圆C双曲线 D以上选项都有可能【解答】解：A 为O 外一定点，P 为O 上一动点线段 AP 的垂直平分线交直线 OP 于点 Q，则 QA=QP，则 QAQO=QPQO=OP=R，即动点 Q 到两定点 O、A 的距离差为定值，根据双曲线的定义，可知点 Q 的轨迹是：以 O，A 为焦点，OP 为实轴长的双曲线故选：C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
15、.13 （5 分）命题“x ， ，tanxm”的否定为 x ， ，tanxm 【解答】解：命题“ x ， ，tanxm”的否定为命题“ x ， ，tanxm”，故答案为：x ， ，tanx m14 （5 分）若 x，y 满足 ，则 z=x+2y 的取值范围为 0， 【解答】解：x，y 满足 ，不是的可行域如图：z=x+2y 化为：y= + ，当 y= + 经过可行域的 O 时目标函数取得最小值，经过 A 时，目标函数取得最大值，由 ，可得 A（ ， ） ，则 z=x+2y 的最小值为：0；最大值为： = 则 z=x+2y 的取值范围为： 0， 故答案为：0， 15 （5 分）已知 F 为双曲线
16、 C： =1 的左焦点， A（1，4） ，P 是 C 右支上一点，当APF 周长最小时，点 F 到直线 AP 的距离为 【解答】解：设双曲线的右焦点为 F（4，0） ，由题意，A ，P ，F 共线时，APF 周长最小，直线 AP 的方程为 y= （x4） ，即 4x+3y16=0，点 F 到直线 AP 的距离为 = ，故答案为：16 （5 分）若数列a n满足 an+1+（1） nan=2n1，则 an的前 40 项和为 820 【解答】解：由于数列a n满足 an+1+（1） n an=2n1，故有 a2a1=1，a 3+a2=3，a 4a3=5，a5+a4=7，a 6a5=9，a 7+a6
17、=11，a 50a49=97从而可得 a3+a1=2，a 4+a2=8，a 7+a5=2，a 8+a6=24，a 9+a7=2，a 12+a10=40，a 13+a11=2，a 16+a14=56，从第一项开始，依次取 2 个相邻奇数项的和都等于 2，从第二项开始，依次取 2 个相邻偶数项的和构成以 8 为首项，以 16 为公差的等差数列an的前 40 项和为 102+（108+ 16）=820，故答案为：820三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17 （10 分）设 f（x）= （m+1）x 2mx+m1（1）当 m=1 时，求不等式 f（
18、x ）0 的解集；（2）若不等式 f（x）+1 0 的解集为 ，求 m 的值【解答】 （本题 12 分）解：（1）当 m=1 时，不等式 f（x ）0 为：2x 2x0x（2x 1）0x ，x 0；因此所求解集为 ； （6 分）（2）不等式 f（x）+10 即（m+1）x 2mx+m0不等式 f（x）+10 的解集为 ，所以 是方程（m+1）x 2mx+m=0 的两根因此 （12 分）18 （12 分）在ABC 中， a，b，c 的对角分别为 A，B，C 的对边，a 2c2=b2，a=6，ABC 的面积为 24（1）求角 A 的正弦值；（2）求边 b，c【解答】解：（1）由在ABC 中，a 2
19、c2=b2 ，整理得cosA= = ，则 sinA= = ；（2）S= bcsinA=24，sinA= ，bc=80，将 a=6，bc=80 代入得：b 2+c2=164，与 bc=80 联立，解得： b=10，c=8 或 b=8，c=1019 （12 分）S n 为数列a n的前 n 项和，已知 an0，a n2+an=2Sn（1）求数列a n的通项公式；（2）若 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Tn【解答】解：（1）由题得 an2+an=2Sn，a n+12+an+1=2Sn+1，两式子相减得：结合 an0 得 an+1an=1 （4 分）令 n=1 得 a12+a1=2S1，即 a
20、1=1，所以a n是首项为 1，公差为 1 的等差数列，即 an=n（6 分）（2）因为 bn= = （n2）所以 Tn= + + Tn= + + （8 分）得 Tn=1+ + = ，所以数列b n的前 n 项和 Tn=3 （12 分）20 （12 分）已知命题 p：函数 f（x）=lg（x 22x+a）的定义域为 R，命题 q：对于 x1，3，不等式 ax2ax6+a0 恒成立，若 p q 为真命题，pq 为假命题，求实数 a 的取值范围【解答】解：当 P 真时，f （x）=lg（x 22x+a）的定义域为 R，有=44a0，解得 a1（2 分）当 q 真时，即使 g（x）=ax 2ax6+
21、a 在 x1，3上恒成立，则有 a 在 x1，3上恒成立，而当 x1，3时， = ，故 a （5 分）又因为 pq 为真命题，pq 为假命题，所以 p，q 一真一假， （6 分）当 p 真 q 假时，a1（8 分）当 p 假 q 真时，a （10 分）所以实数 a 的取值范围是（， ）（1，+）（12 分）21 （12 分）如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，A 1D平面 ABCD，底面为边长为1 的正方形，侧棱 AA1=2（1）求直线 DC 与平面 ADB1 所成角的大小；（2）在棱上 AA1 是否存在一点 P，使得二面角 AB1C1P 的大小为 30，若存在，确定 P 的位置，若不
22、存在，说明理由【解答】解：（1）四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，A 1D平面 ABCD，底面为边长为 1 的正方形，侧棱 AA1=2，以点 D 为坐标原点 O，DA，DC ，DA 1 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，（2 分）D（0，0，0） ，A（1，0，0） ，B 1（0，1， ） ，C（0，1，0） ， =（0 ，1， ） ， =（0，1， 0） ，设平面 ADB1 的法向量为 ，则 ，取 z=1，得 =（0， ，1 ） ，（4 分）设直线 DC 与平面所 ADB1 成角为 ，则 sin=|cos |= = ， 0， ，= ，直线 DC 与平面 ADB1 所成角的大小为
23、 （6 分）（2）假设存在点 P（a， b，c） ，使得二面角 AB1C1P 的大小为 30，设 = ，由 A1（0，0， ） ，得（a 1，b，c）=（a，b， ） ， ，解得 ，B1（0 ，1 ， ） ，C 1（1，1， ） ， =（1，0 ，0） ， =（ ，1，） ，设平面的法向量为 =（x ， y，z ） ，则 ，取 z=1，得 =（0， ，1） ， （9 分）由（1）知，平面 AB1C1D 的法向量为 =（0， ，1） ，二面角 AB1C1P 的大小为 30，cos30= = = 由 0，解得 =2，所以棱 AA1 上存在一点 P，使得二面角 AB1C1P 的大小为 30，且 AP
24、=2PA122 （12 分）在圆 x2+y2=3 上任取一动点 P，过 P 作 x 轴的垂线 PD，D 为垂足，= 动点 M 的轨迹为曲线 C（1）求 C 的方程及其离心率；（2）若直线 l 交曲线 C 交于 A，B 两点，且坐标原点到直线 l 的距离为 ，求AOB 面积的最大值【解答】解：（）设 M（x，y） ，P （x 0，y 0） ，由 = 得 x0=x，y 0= y （2 分）因为 x02+y02=3，所以 x2+3y2=3，即 =1，其离心率 e= （4 分）（）当 AB 与 x 轴垂直时，|AB |= （5 分）当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y=kx+m，A （x 1，y 1） ，B（x 2， y2） ，由已知 ，得 （6 分）把 y=kx+m 代入椭圆方程，整理得（3k 2+1）x 2+6kmx+3m23=0，x 1+x2= ，x 1x2= （7 分）k0，|AB |2=（1+k 2） （x 2x1） 2=3+ 4，当且仅当 9k2= ，即 k= 时等号成立，此时|AB |=2 （10 分）当 k=0 时，|AB|= （11 分）综上所述：|AB| max=2，此时AOB 面积取最大值 = （12 分）
