1、2017-2018 学年江西省赣州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （4 分）若集合 A=x|x3，B=x|x 0，则 AB=（ ）Ax |0x3 Bx|x 0 Cx|x3 DR2 （4 分）已知 为锐角，则 2 为（ ）A第一象限角 B第二象限角C第一或第二象限角 D小于 180的角3 （4 分）已知ABC 在斜二测画法下的平面直观图ABC，ABC 是边长为a 的正三角形，那么在原ABC 的面积为（ ）A B C D4 （4 分）长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3，4，5，且它的
2、 8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A25 B50 C125 D都不对5 （4 分）在空间直角坐标系中点 P（1，3 ， 5）关于 xoy 对称的点的坐标是（ ）A （ 1，3， 5） B （1，3，5） C （1，3，5） D （1，3，5）6 （4 分）过点 A（1，2）且与原点距离最大的直线方程为（ ）A2x+y4=0 Bx+2y5=0 Cx+3y 7=0 D3x+y 5=07 （4 分）三个数 a=0.32，b=log 20.3，c=2 0.3 之间的大小关系是（ ）Aa c b Babc Cb ac Db c a8 （4 分）若函数 f（x ） =kaxax（a0 且
3、 a1）在（ ，+）上既是奇函数又是增函数，则函数 g（ x）=log a（x +k）的图象是（ ）A B C D9 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以 C（1，1）为圆心的圆与 x 轴和 y 轴分别相切于 A，B 两点，点 M，N 分别在线段 OA，OB 上，若，MN 与圆 C 相切，则|MN|的最小值为（ ）A1 B C D10 （4 分）定义在 R 上的奇函数 f（x） ，当 x0 时，f（x）= ，则关于 x 的函数 F（x）=f（x）a（0a1）的所有零点之和为（ ）A1 2a B2 a1 C12 a D2 a111 （4 分）如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，
4、AB=1，AA 1=2，点 P 是平面A1B1C1D1 内的一个动点，则三棱锥 PABC 的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（ ）A1 B2 C D12 （4 分）若函数 f（x ）是 R 上的单调函数，且对任意实数 x，都有 ff（x）+= ，则 f（log 23）=（ ）A1 B C D0二、填空题（每题 4 分，满分 16 分，将答案填在答题纸上）13 （4 分）已知函数 ，则 = 14 （4 分）圆 x2+y24x=0 在点 P（1， ）处的切线方程为 15 （4 分）已知偶函数 f（x ）在区间0，+）上单调递增，则满足 f（2x1）f（ 3）的 x 取值集合是 16 （4 分）在
5、直角坐标系内，已知 A（3，2）是圆 C 上一点，折叠该圆两次使点 A 分别与圆上不相同的两点（异于点 A）重合，两次的折痕方程分别为xy+1=0 和 x+y7=0，若圆 C 上存在点 P，使MPN=90，其中 M，N 的坐标分别为（m，0） ， （m，0） ，则实数 m 的取值集合为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （8 分）已知集合 （1）当 m=2 时，求 AB ；（2）若 BA，求实数 m 的取值范围18 （10 分）已知圆 C：（x1） 2+y2=9 内有一点 P（2，2） ，过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两
6、点（1）当 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程； （写一般式）（2）当直线 l 的倾斜角为 45时，求弦 AB 的长19 （10 分）已知函数 f（ x）=ax+ +c 是奇函数，且满足 f（1）= ，f （2）=（1）求 a，b，c 的值；（2）试判断函数 f（x）在区间（ 0， ）上的单调性并证明20 （8 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD，侧棱 PA=PD=，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BCAD，AB AD，AD=2AB=2BC=2，O 为AD 中点（1）求证：PO 平面 ABCD；（2）求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值；（3）线段 A
7、D 上是否存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由21 （10 分）已知圆 O： x2+y2=2，直线 l：y=kx2（1）若直线 l 与圆 O 交于不同的两点 A，B ，当 时，求 k 的值；（2）若 是直线 l 上的动点，过 P 作圆 O 的两条切线 PC、PD，切点为C、 D，探究：直线 CD 是否过定点？若过定点则求出该定点，若不存在则说明理由；（3）若 EF、GH 为圆 O： x2+y2=2 的两条相互垂直的弦，垂足为 ，求四边形 EGFH 的面积的最大值22 （10 分）设函数 y=f（ x）的定义域为 D，值域为 A，如果存在函数 x
8、=g（t） ，使得函数 y=fg（t）的值域仍是 A，那么称 x=g（t ）是函数 y=f（x ）的一个等值域变换（1）判断下列函数 x=g（ t）是不是函数 y=f（x ）的一个等值域变换？说明你的理由； ；f（ x）=x 2x+1，x R，x=g（t ）=2 t，tR （2）设 f（x）=log 2x 的定义域为 x2，8，已知 是y=f（x）的一个等值域变换，且函数 y=fg（t）的定义域为 R，求实数 m、n的值2017-2018 学年江西省赣州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
9、是符合题目要求的.1 （4 分）若集合 A=x|x3，B=x|x 0，则 AB=（ ）Ax |0x3 Bx|x 0 Cx|x3 DR【解答】解：集合 A=x|x3，B=x|x0，作出图象，如图：结合图象知 AB=R故选：D2 （4 分）已知 为锐角，则 2 为（ ）A第一象限角 B第二象限角C第一或第二象限角 D小于 180的角【解答】解： 为锐角，所以 （0，90 ） ，则 2（0，180 ） ，故选 D3 （4 分）已知ABC 在斜二测画法下的平面直观图ABC，ABC 是边长为a 的正三角形，那么在原ABC 的面积为（ ）A B C D【解答】解：直观图ABC是边长为 a 的正三角形，故面
10、积为 ，而原图和直观图面积之间的关系 = ，那么原ABC 的面积为： ，故选 C4 （4 分）长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3，4，5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A25 B50 C125 D都不对【解答】解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3，4，5，且它的 8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为： ，所以球的半径为： ，所以这个球的表面积是： =50故选 B5 （4 分）在空间直角坐标系中点 P（1，3 ， 5）关于 xoy 对称的点的坐标是（ ）A （ 1，3， 5） B （1，3，5） C （1，3，5） D
11、 （1，3，5）【解答】解：过点 A（1，3， 5）作平面 xOy 的垂线，垂足为 H，并延长到 A，使 AH=AH，则 A的横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来纵坐标的相反数，即得：A（1，3，5） 故选 C6 （4 分）过点 A（1，2）且与原点距离最大的直线方程为（ ）A2x+y4=0 Bx+2y5=0 Cx+3y 7=0 D3x+y 5=0【解答】解：根据题意得，当与直线 OA 垂直时距离最大，因直线 OA 的斜率为 2，所以所求直线斜率为 ，所以由点斜式方程得：y2= （x1） ，化简得：x+2y5=0，故选：B7 （4 分）三个数 a=0.32，b=log 20.3，c=2 0.3
12、之间的大小关系是（ ）Aa c b Babc Cb ac Db c a【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log 20.30，由指数函数的性质可知：0a1，c 1bac故选 C8 （4 分）若函数 f（x ） =kaxax（a0 且 a1）在（ ，+）上既是奇函数又是增函数，则函数 g（ x）=log a（x +k）的图象是（ ）A B C D【解答】解：函数 f（x ）=ka xax， （a0，a1）在（ ，+）上是奇函数则 f（x ）+f（ x）=0即（k1） （a xax）=0则 k=1又函数 f（x）=ka xax， （ a0，a1）在（ ， +）上是增函数则 a1则 g（ x）=l
13、og a（x+k）=log a（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选 C9 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以 C（1，1）为圆心的圆与 x 轴和 y 轴分别相切于 A，B 两点，点 M，N 分别在线段 OA，OB 上，若，MN 与圆 C 相切，则|MN|的最小值为（ ）A1 B C D【解答】解：由题意，根据圆的对称性，可得 OCMN 时，|MN |取得最小值，最小值为 2（ 1）=2 2，故选：D10 （4 分）定义在 R 上的奇函数 f（x） ，当 x0 时，f（x）= ，则关于 x 的函数 F（x）=f（x）a（0a1）的所有零点之和为（ ）A1 2a B2 a1 C12
14、a D2 a1【解答】解：当 x0 时，f（x）= ；即 x0，1）时，f（x）= （x+1） （ 1，0；x1，3时，f（x）=x21，1；x（3，+）时，f（x） =4x（， 1） ；画出 x0 时 f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出 x0 时 f（x）的图象，如图所示；则直线 y=a，与 y=f（x）的图象有 5 个交点，则方程 f（x ） a=0 共有五个实根，最左边两根之和为6，最右边两根之和为 6，x（1，0）时， x（0，1） ，f（ x）= （x+1） ，又 f（x ）= f（x） ，f（ x）= （x+1）= （1 x） 1=log2（1x） ，中间的一个根满足 lo
15、g2（1x）=a ，即 1x=2a，解得 x=12a，所有根的和为 12a故选：A11 （4 分）如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AB=1，AA 1=2，点 P 是平面A1B1C1D1 内的一个动点，则三棱锥 PABC 的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（ ）A1 B2 C D【解答】解：由题意可知，P 在正视图中的射影是在 C1D1 上，AB 在正视图中，在平面 CDD1C1 上的射影是 CD，P 的射影到 CD 的距离是AA1=2，所以三棱锥 PABC 的正视图的面积为 =1；三棱锥 PABC 的俯视图的面积的最小值为 = ，所以三棱锥 PABC 的正视图与俯视图的面积之
16、比的最大值为 =2，故选：B12 （4 分）若函数 f（x ）是 R 上的单调函数，且对任意实数 x，都有 ff（x）+= ，则 f（log 23）=（ ）A1 B C D0【解答】解：函数 f（x ）是 R 上的单调函数，且对任意实数 x，都有 ff（x）+ = ，f（ x）+ =a 恒成立，且 f（a）= ，即 f（x）= +a，f（a）= +a= ，解得：a=1，f（ x）= +1，f（ log23）= ，故选：C二、填空题（每题 4 分，满分 16 分，将答案填在答题纸上）13 （4 分）已知函数 ，则 = 【解答】解：函数 ，f（ ）= =2，=f（2）= 故答案为： 14 （4 分
17、）圆 x2+y24x=0 在点 P（1， ）处的切线方程为 x y+2=0 【解答】解：圆 x2+y24x=0 的圆心坐标是（2，0） ，所以切点与圆心连线的斜率： = ，所以切线的斜率为： ，切线方程为：y = （x 1） ，即 x y+2=0故答案为：x y+2=015 （4 分）已知偶函数 f（x ）在区间0，+）上单调递增，则满足 f（2x1）f（ 3）的 x 取值集合是 （ 1，2） 【解答】解：f（x）为偶函数；由 f（ 2x1）f （3）得，f （|2x1|）f（3） ；又 f（x）在0，+）上单调递增；|2x1|3；解得1x2；x 的取值范围是：（1，2） 故答案为：（1，2）
18、 16 （4 分）在直角坐标系内，已知 A（3，2）是圆 C 上一点，折叠该圆两次使点 A 分别与圆上不相同的两点（异于点 A）重合，两次的折痕方程分别为xy+1=0 和 x+y7=0，若圆 C 上存在点 P，使MPN=90，其中 M，N 的坐标分别为（m，0） ， （m，0） ，则实数 m 的取值集合为 3，7 【解答】解：由题意，A（3，2）是C 上一点，折叠该圆两次使点 A 分别与圆上不相同的两点（异于点 A）重合，两次的折痕方程分别为 xy+1=0 和x+y7=0，圆上不相同的两点为 B（1，4） ，D （5，4） ，A（3，2 ） ， BADABD 的中点为圆心 C（3，4） ，半径
19、为 1，C 的方程为（ x3） 2+（y 4） 2=4过 P， M，N 的圆的方程为 x2+y2=m2，两圆外切时，m 的最大值为 +2=7，两圆内切时，m 的最小值为2=3，故答案为3，7三、解答题（本大题共 6 小题，共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （8 分）已知集合 （1）当 m=2 时，求 AB ；（2）若 BA，求实数 m 的取值范围【解答】解：（1）当 m=2 时，A=x |1x 5，由 B 中不等式变形得 32 3x3 4，解得 2x 4，即 B=x|2x4AB=x |2x5（2）BA， ，解得 m3，m 的取值范围为m|m 318 （10 分）已知
20、圆 C：（x1） 2+y2=9 内有一点 P（2，2） ，过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点（1）当 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程； （写一般式）（2）当直线 l 的倾斜角为 45时，求弦 AB 的长【解答】解：（1）圆 C：（ x1） 2+y2=9 的圆心为 C（1，0） ，因直线过点 P、C，所以直线 l 的斜率为 2，直线 l 的方程为 y=2（x1） ，即 2xy2=0（2）当直线 l 的倾斜角为 45时，斜率为 1，直线 l 的方程为 y2=x2，即 xy=0圆心 C 到直线 l 的距离为 ，圆的半径为 3，弦 AB 的长为 19 （10 分）已知函数 f（
21、 x）=ax+ +c 是奇函数，且满足 f（1）= ，f （2）=（1）求 a，b，c 的值；（2）试判断函数 f（x）在区间（ 0， ）上的单调性并证明【解答】解：（1）f（x）=f（x ）c=0 ， ， ， ；（2）由（1）问可得 f（ x）=2x + ，f（ x）在区间（0，0.5）上是单调递减的；证明：设任意的两个实数 0x 1x 2 ，f（ x1）f（x 2）=2（x 1x2）+ =2（x 1x2）+ = ，又0x 1x 2 ，x 1x20，0x 1x2 ，4x 1x211 4x1x20，f（x 1）f（x 2）0 ，f（ x）在区间（0，0.5）上是单调递减的20 （8 分）如图，
22、在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD，侧棱 PA=PD=，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BCAD，AB AD，AD=2AB=2BC=2，O 为AD 中点（1）求证：PO 平面 ABCD；（2）求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值；（3）线段 AD 上是否存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由【解答】 （1）证明：在PAD 卡中 PA=PD，O 为 AD 中点，所以 POAD又侧面 PAD底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD，PO 平面 PAD，所以 PO平面 ABCD（2）解：连接 BO，在直角梯形 ABCD
23、 中，BCAD，AD=2AB=2BC，有 ODBC 且 OD=BC，所以四边形 OBCD 是平行四边形，所以 OBDC由（1）知 POOB，PBO 为锐角，所以PBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角因为 AD=2AB=2BC=2，在 RtAOB 中，AB=1 ，AO=1，所以 OB= ，在 RtPOA 中，因为 AP= ，AO=1 ，所以 OP=1，在 RtPBO 中，PB= ，所以 cosPBO= ，所以异面直线 PB 与 CD 所成的角的余弦值为 （3）解：假设存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为 设 QD=x，则 SDQC = x，由（2 ）得 CD=OB= ，在 RtPOC
24、 中，PC= ，所以 PC=CD=DP，S PCD = = ，由 VpDQC=VQPCD，得 x= ，所以存在点 Q 满足题意，此时 = 21 （10 分）已知圆 O： x2+y2=2，直线 l：y=kx2（1）若直线 l 与圆 O 交于不同的两点 A，B ，当 时，求 k 的值；（2）若 是直线 l 上的动点，过 P 作圆 O 的两条切线 PC、PD，切点为C、 D，探究：直线 CD 是否过定点？若过定点则求出该定点，若不存在则说明理由；（3）若 EF、GH 为圆 O： x2+y2=2 的两条相互垂直的弦，垂足为 ，求四边形 EGFH 的面积的最大值【解答】解：（1） ，点 O 到 l 的距
25、离 ，（2）由题意可知：O，P，C，D 四点共圆且在以 OP 为直径的圆上，设其方程为： ，即 ，又 C、 D 在圆 O：x 2+y2=2 上， ，即 ，由 ，得直线 CD 过定点 （3）设圆心 O 到直线 EF、GH 的距离分别为 d1，d 2则 ，当且仅当 ，即 时，取“=”四边形 EGFH 的面积的最大值为 22 （10 分）设函数 y=f（ x）的定义域为 D，值域为 A，如果存在函数 x=g（t） ，使得函数 y=fg（t）的值域仍是 A，那么称 x=g（t ）是函数 y=f（x ）的一个等值域变换（1）判断下列函数 x=g（ t）是不是函数 y=f（x ）的一个等值域变换？说明你的
26、理由； ；f（ x）=x 2x+1，x R，x=g（t ）=2 t，tR （2）设 f（x）=log 2x 的定义域为 x2，8，已知 是y=f（x）的一个等值域变换，且函数 y=fg（t）的定义域为 R，求实数 m、n的值【解答】解：（1）在中， ，函数 y=f（x）的值域为 R，函数 y=fg（t ）的值域是（0，+） ，故不是等值域变换，在中， ，即 f（x ）的值域为 ，当 tR 时， ，即 y=fg（ t）的值域仍为 ，x=g（t）是 f（x）的一个等值域变换，故 是等值域变换（2）f（x ）=log 2x 定义域为2，8，因为 x=g（t）是 f（x ）的一个等值域变换，且函数 y=fg（t）的定义域为 R， 的值域为2，8，恒有 ，解得
