1、2017-2018 学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，M=2，3，5，N=4，5，则集合1，6= （ ）AM N BMN CC U（MN） DC U（MN）2 （5 分）已知角 为第二象限角，则点 M（sin，cos ）位于哪个象限（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）如图，点 M 是 ABC 的重心，则 为（ ）A B4 C4 D44 （5 分）下列向量中不是单位向量的是（ ）A （ 1，0）
2、B （1，1） C （cosa ，sina） D （| |0）5 （5 分）已知向量 =（ 1，2） ， =（2，m） ，若 ，则 m=（ ）A 4 B4 C1 D16 （5 分）已知点 A（0，1） ，B （3，2） ，C（a，0） ，若 A，B，C 三点共线，则a=（ ）A B1 C2 D 37 （5 分）设 xR，向量 =（3，x） ， =（1，1） ，若 ，则| |=（ ）A6 B4 C D38 （5 分）在下列函数中，同时满足：是奇函数，以 为周期的是（ ）Ay=sinx By=cosx Cy=tanx Dy=tan2x9 （5 分）函数 y=5sin（2x+ ）的图象，经过下列哪个
3、平移变换，可以得到函数 y=5sin2x 的图象？（ ）A向右平移 B向左平移 C向右平移 D向左平移 10 （5 分）计算 sin =（ ）A B C D11 （5 分）与60 角的终边相同的角是（ ）A300 B240 C120 D6012 （5 分）已知集合|2k + 2k+ ，kZ ，则角 的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（ ）A B C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的横线上13 （5 分）比较大小：sin1 cos1（用“ ”， “”或“=”连接） 14 （5 分）已知向量 =（ 1，1） ， =（2，0） ，则向量 ， 的夹角
4、的余弦值为 15 （5 分）已知函数 f（ x）=cosx（x 0，2）与函数 g（x ）=tanx 的图象交于 M， N 两点，则| + |= 16 （5 分）定义：如果函数 y=f（x）在定义域内给定区间a，b 上存在x0（ ax 0b） ，满足 f（x 0）= ，则称函数 y=f（x）是a ，b上的“平均值函数”， x0 是它的一个均值点例如 y=|x|是2，2上的平均值函数，0 就是它的均值点若函数 f（x ）=x 2mx1 是1，1上的“平均值函数”，则实数 m的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）已知函数
5、 f（ x）=lg（x+1）lg （1x） （）求函数 f（x）的定义域；（）判断函数 f（x）的奇偶性18 （12 分）已知集合 A=x|2sin x10，0x 2，B=x |2 4（1）求集合 A 和 B；（2）求 AB19 （12 分）已知函数 f（ x）=Asin（x +）的图象如图所示，其中A0 ，0， | ，求函数 f（x ）的解析式20 （12 分）已知 f（x）=2sin（2x ） （） 求函数 f（x）的单调递增区间与对称轴方程；（） 当 x0， 时，求 f（x）的最大值与最小值21 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（ ） ，B（ ） ，锐角 的终边与单位圆 O
6、交于点 P（） 用角 的三角函数表示点 P 的坐标；（） 当 = 时，求 的值22 （10 分）如果 f（x）是定义在 R 上的函数，且对任意的 xR，均有 f（x）f （x ） ，则称该函数是“X函数” （）分别判断下列函数：y=2 x；y=x+1； y=x 2+2x3 是否为“X 函数”？（直接写出结论）（）若函数 f（x）=sinx+cosx+a 是“X函数”，求实数 a 的取值范围；（）已知 f（x）= 是“X 函数”，且在 R 上单调递增，求所有可能的集合 A 与 B2017-2018 学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题
7、5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，M=2，3，5，N=4，5，则集合1，6= （ ）AM N BMN CC U（MN） DC U（MN）【解答】解：C UM=1，4，6，C UN=1，2，3，6选项 A，M N=1，2 ，3，4，6，不满足题意；选项 B，M N=5，不满足题意选项 C，C U（MN ）= 1，6，满足题意；选项 D，C U（MN ）= 1，2，3，4，6，不满足题意；故选：C2 （5 分）已知角 为第二象限角，则点 M（sin，cos ）位于哪个象限（ ）A第一象限 B第二象限 C第三
8、象限 D第四象限【解答】解： 是第二象限角，sin0，cos0，则点 M（sin，cos ）在第四象限故选：D3 （5 分）如图，点 M 是 ABC 的重心，则 为（ ）A B4 C4 D4【解答】解：设 AB 的中点为 F点 M 是 ABC 的重心 故为 C4 （5 分）下列向量中不是单位向量的是（ ）A （ 1，0） B （1，1） C （cosa ，sina） D （| |0）【解答】解：ACD 中的向量的模都等于 1，因此都是单位向量；B 中的向量的模= ，因此不是单位向量故选：B5 （5 分）已知向量 =（ 1，2） ， =（2，m） ，若 ，则 m=（ ）A 4 B4 C1 D1【
9、解答】解：向量 =（ 1，2） ， =（2，m） ， ， ，解得 m=4故选：A6 （5 分）已知点 A（0，1） ，B （3，2） ，C（a，0） ，若 A，B，C 三点共线，则a=（ ）A B1 C2 D 3【解答】解A、B、C 三点共线， ， 共线； =（ 3，1） ， =（a， 1）3（1）=a解得，a=3，故选：D7 （5 分）设 xR，向量 =（3，x） ， =（1，1） ，若 ，则| |=（ ）A6 B4 C D3【解答】解：x R，向量 =（3 ，x） ， =（1，1 ） ， ， =3+x=0，解得 x=3， =（3，3） ，| |= =3 故选：C8 （5 分）在下列函数中，
10、同时满足：是奇函数，以 为周期的是（ ）Ay=sinx By=cosx Cy=tanx Dy=tan2x【解答】解：y=sinx 是奇函数，周期为 2，y=cosx 是偶函数，周期为 2，y=tanx 是奇函数，周期为 ，y=tan2x 是奇函数，周期为 故选：C9 （5 分）函数 y=5sin（2x+ ）的图象，经过下列哪个平移变换，可以得到函数 y=5sin2x 的图象？（ ）A向右平移 B向左平移 C向右平移 D向左平移 【解答】解：把函数 y=5sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位，可得函数y=5sin2x 的图象，故选：C10 （5 分）计算 sin =（ ）A B C D【解答
11、】解：sin =sin（+ ）=sin = ，故选：B11 （5 分）与60 角的终边相同的角是（ ）A300 B240 C120 D60【解答】解：与60终边相同的角一定可以写成 k36060的形式，k z，令 k=1 可得，300 与60 终边相同，故选：A12 （5 分）已知集合|2k + 2k+ ，kZ ，则角 的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（ ）A B C D【解答】解：集合|2k+ 2k+ ，kZ，表示第一象限的角，故选：B二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的横线上13 （5 分）比较大小：sin1 cos1（用“ ”， “”或“=
12、”连接） 【解答】解：由三角函数的图象可知当 时，sinxcosx， ，sin1cos1故答案为：14 （5 分）已知向量 =（ 1，1） ， =（2，0） ，则向量 ， 的夹角的余弦值为 【解答】解：设向量 ， 的夹角为 ，0， =（1，1） ， =（2，0） ，cos= = = ，即向量 ， 的夹角的余弦值为 ，故答案为： 15 （5 分）已知函数 f（ x）=cosx（x 0，2）与函数 g（x ）=tanx 的图象交于 M， N 两点，则| + |= 【解答】解：由题意，M，N 关于点（ ，0）对称，| + |=2 =，故答案为 16 （5 分）定义：如果函数 y=f（x）在定义域内给
13、定区间a，b 上存在x0（ ax 0b） ，满足 f（x 0）= ，则称函数 y=f（x）是a ，b上的“平均值函数”， x0 是它的一个均值点例如 y=|x|是2，2上的平均值函数，0 就是它的均值点若函数 f（x ）=x 2mx1 是1，1上的“平均值函数”，则实数 m的取值范围是 （0，2） 【解答】解：函数 f（x ）=x 2mx1 是区间1，1上的平均值函数，关于 x 的方程 x2mx1= 在（1，1）内有实数根即 x2mx1=m 在（1，1）内有实数根即 x2mx+m1=0，解得 x=m1，x=1又 1（1，1）x=m 1 必为均值点，即1 m110m2所求实数 m 的取值范围是（
14、0，2） 故答案为：（0，2）三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）已知函数 f（ x）=lg（x+1）lg （1x） （）求函数 f（x）的定义域；（）判断函数 f（x）的奇偶性【解答】解：（1）依题意有解得1x1故函数的定义域为（1， 1）（2）f（ x）=lg（1x）lg（1+x）= f（x ）f（ x）为奇函数18 （12 分）已知集合 A=x|2sin x10，0x 2，B=x |2 4（1）求集合 A 和 B；（2）求 AB【解答】解：（1）集合 A=x|2sin x10，0x 2=x|sinx ，0x2 =x| x
15、，B=x|2 4=x|x2x2 =x|x 1 或 x2；（2）根据交集的定义知，AB=x |2x 19 （12 分）已知函数 f（ x）=Asin（x +）的图象如图所示，其中A0 ，0， | ，求函数 f（x ）的解析式【解答】解：由题意 A=1， ，=1，将（ ，1）代入 f（x） =sin（x+） ，可得 sin（ +）=1，| ，= ，f（ x）=sin（x + ） 20 （12 分）已知 f（x）=2sin（2x ） （） 求函数 f（x）的单调递增区间与对称轴方程；（） 当 x0， 时，求 f（x）的最大值与最小值【解答】解：（） 因为 ，由，求得 ，可得函数 f（x ）的单调递增
16、区间为，kZ 由 ，求得 故 f（x）的对称轴方程为 ，其中 kZ（） 因为 ，所以 ，故有 ，故当 即 x=0 时，f（x）的最小值为1，当 即 时，f（x ）的最大值为 221 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（ ） ，B（ ） ，锐角 的终边与单位圆 O 交于点 P（） 用角 的三角函数表示点 P 的坐标；（） 当 = 时，求 的值【解答】解：（ I）P（cos，sin ） 2 分（ II），因为 ，所以 ，即 ，因为 为锐角，所以 6 分（） 法一：设 M（ m，0） ，则 ，因为 ，所以 ，所以 对任意 成立，所以 ，所以 m=2M 点的横坐标为210 分法二：设 M（
17、m，0） ，则 ，因为 ，所以 ，即 m22mcos4cos4=0， （m+2）（m2）2cos=0，因为 可以为任意的锐角， （m2） 2cos=0 不能总成立，所以 m+2=0，即 m=2，M 点的横坐标为210 分22 （10 分）如果 f（x）是定义在 R 上的函数，且对任意的 xR，均有 f（x）f （x ） ，则称该函数是“X函数” （）分别判断下列函数：y=2 x；y=x+1； y=x 2+2x3 是否为“X 函数”？（直接写出结论）（）若函数 f（x）=sinx+cosx+a 是“X函数”，求实数 a 的取值范围；（）已知 f（x）= 是“X 函数”，且在 R 上单调递增，求所
18、有可能的集合 A 与 B【解答】解：（）、是“X函数” ，不是“X函数”； （2 分）（说明：判断正确一个或两个函数给 1 分）（）由题意，对任意的 xR，f（x）f（x） ，即 f（x）+f （x）0；因为 f（ x）=sinx+cosx+a ，所以 f（ x）=sinx+cosx +a，故 f（x）+f（ x）=2cosx+2a；由题意，对任意的 xR，2cosx+2a0，即 acosx ；（4 分）又 cosx1，1，所以实数 a 的取值范围为（， 1）（1，+） ；（5 分）（） （1）对任意的 x 0，（i）若 xA 且xA，则xx，f（x）=f（x） ，这与 y=f（x）在 R 上
19、单调递增矛盾， （舍去） ，（ii）若 xB 且x B，则 f（ x）=x= f（x ） ，这与 y=f（x）是“X函数”矛盾， （舍去） ；此时，由 y=f（x）的定义域为 R，故对任意的 x0，x 与x 恰有一个属于 A，另一个属于 B；（2）假设存在 x00，使得 x0A，则由 x0 ，故 f（x 0）f（ ） ；（i）若 A，则 f（ ）= +1 +1=f（x 0） ，矛盾，（ii）若 B，则 f（ ）= 0 +1=f（x 0） ，矛盾；综上，对任意的 x0，xA，故 xB，即（，0 ）B，则（0 ，+） A；（3）假设 0B，则 f（0）=f（0）=0，矛盾，故 0A；故 A=0，+） ，B=（， 0；经检验 A=0，+） ，B=（ ，0） ，符合题意（ 8 分）
