1、2016-2017 学年重庆市六校联考高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分） =（ ）A B C D2 （5 分）已知集合 M=1，2，N= 2，3，4，若 P=MN，则 P 的子集个数为（ ）A14 B15 C16 D323 （5 分）已知函数 f（x）= ，若 f（1）=f（1） ，则实数 a 的值为（ ）A1 B2 C0 D 14 （5 分）若函数 f（x ） =ax2bx+1（a0）是定义在 R 上的偶函数，则函数g（ x）=ax 3+bx2+x（x R）是（ ）A奇函数
2、 B偶函数C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数5 （5 分）设 a=log2 ，b=（ ） 3，c=3 ，则（ ）Acba Babc Ccab Db ac6 （5 分）已知 tan（） = ，tan（ ）= ，则 tan（ ）等于（ ）A B C D7 （5 分）方程 xlog x=3 和 xlog x=3 的根分别为 ，则有（ ）A BC = D无法确定 与 大小8 （5 分）函数 f（x ）=2sin（2x+ ）的图象为 M，则下列结论中正确的是（ ）A图象 M 关于直线 x= 对称B由 y=2sin2x 的图象向左平移 得到 MC图象 M 关于点（ ，0）对称Df（x ）在区间（ ，
3、）上递增9 （5 分）函数 y=sin2（x ）的图象沿 x 轴向右平移 m 个单位（m0） ，所得图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值为（ ）A B C D10 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（，0）上单调递减，若实数 a 满足 f（3 |2a+1|）f （ ） ，则 a 的取值范围是（ ）A （ ， ）（ ，+） B （ ， ）C （ ，+） D （ ， ）11 （5 分）已知 ， ， ，0，且（ ）3sin2=0，8 3+2cos2+1=0，则 sin（ +）的值为（ ）A0 B C D112 （5 分）若区间x 1，x 2的 长 度 定 义 为|x 2x
4、1|，函数 f（x ）=（m R，m 0）的定义域和值域都是a，b，则区间a ，b的最大长度为（ ）A B C D3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填写在答题卡相应位置上.13 （5 分）计算：log 3 +lg4+lg25+（ ） 0= 14 （5 分）已知扇形的面积为 4cm2，扇形的圆心角为 2 弧度，则扇形的弧长为 15 （5 分）若 （0，） ，且 cos2=sin（ +） ，则 sin2 的值为 16 （5 分）已知正实数 x，y，且 x2+y2=1，若 f（x，y ）= ，则 f（x，y）的值域为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.
5、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （10 分）已知全集 U=R，函数 的定义域为集合 A，集合 B=x|5x7 （1）求集合 A； （2）求（ UB）A18 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若角 的始边为 x 轴的非负半轴，其终边经过点 P（2，4） （1）求 tan 的值； （2）求 的值19 （12 分）已知二次函数 f（x ）=mx 2+4x+1，且满足 f（1）=f（3） （1）求函数 f（x）的解析式；（2）若函数 f（x）的定义域为（ 2，2） ，求 f（x ）的值域20 （12 分）已知函数 f（ x）=sin 2x+2 cosxsinx+sin（x+ ）s
6、in（ x ） （0） ，且 f（x）的最小正周期为 （1）求 的值； （2）求函数 f（x）在区间（ 0， ）上的单调增区间21 （12 分）已知函数 f（ x）=log 2（ ）x（m 为常数）是奇函数（1）判断函数 f（x）在 x（ ，+）上的单调性，并用定义法证明你的结论；（2）若对于区间2，5上的任意 x 值，使得不等式 f（x）2 x+m 恒成立，求实数 m 的取值范围22 （12 分）已知函数 f（ x）=a（|sinx |+|cosx|） sin2x1，若 f（ ）= （1）求 a 的值，并写出函数 f（x ）的最小正周期（不需证明） ；（2）是否存在正整数 k，使得函数 f（
7、x ）在区间0，k内恰有 2017 个零点？若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由2016-2017 学年重庆市六校联考高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分） =（ ）A B C D【解答】解：cos =cos（+ ）=cos =故选 D2 （5 分）已知集合 M=1，2，N= 2，3，4，若 P=MN，则 P 的子集个数为（ ）A14 B15 C16 D32【解答】解：集合 M=1，2，N= 2，3，4，则 P=MN=1，2，3，4，P 的子集有 24=
8、16 个故答案为：C3 （5 分）已知函数 f（x）= ，若 f（1）=f（1） ，则实数 a 的值为（ ）A1 B2 C0 D 1【解答】解：函数 f（x ）= ，f（1）=f（1） ，f（ 1）=1 （ 1）=2，f （1）=a，f（ 1）=f（1 ） ，a=2 故选：B4 （5 分）若函数 f（x ） =ax2bx+1（a0）是定义在 R 上的偶函数，则函数g（ x）=ax 3+bx2+x（x R）是（ ）A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数【解答】解：f（x）为偶函数，则 b=0；g （x）=ax 3+x；g （x ）=a（x） 3x=（ax 3+x）=g （x ）
9、 ；g （x）是奇函数故选 A5 （5 分）设 a=log2 ，b=（ ） 3，c=3 ，则（ ）Acba Babc Ccab Db ac【解答】解：a=log 2 0，b=（ ） 3（0，1） ，c=3 1cb a 故选：B6 （5 分）已知 tan（） = ，tan（ ）= ，则 tan（ ）等于（ ）A B C D【解答】解：tan（） = ，tan（ ）= ，tan（ ）=tan（） （ ）= = =故选：C7 （5 分）方程 xlog x=3 和 xlog x=3 的根分别为 ，则有（ ）A BC = D无法确定 与 大小【解答】解：方程 xlog x=3 和 xlog x=3，分别
10、化为：log 2x=3x，log 3x=3x作出函数图象：y=log 2x， y=3x，y=log 3x则 故选：A8 （5 分）函数 f（x ）=2sin（2x+ ）的图象为 M，则下列结论中正确的是（ ）A图象 M 关于直线 x= 对称B由 y=2sin2x 的图象向左平移 得到 MC图象 M 关于点（ ，0）对称Df（x ）在区间（ ， ）上递增【解答】解：函数 f（x ）=2sin（2x+ ）的图象为 M，令 x= ，可得f（x）=0，可得图象 M 关于点（ ，0）对称，故图象 M 不关于直线 x= 对称，故 C 正确且 A 不正确；把 y=2sin2x 的图象向左平移 得到函数 y=
11、2sin2（x+ ）=2sin（2x+ ）的图象，故 B 不正确；在区间（ ， ）上， 2x+ （0，） ，函数 f（x）=2sin（2x+ ）在区间（ ， ）上没有单调性，故 D 错误，故选：C9 （5 分）函数 y=sin2（x ）的图象沿 x 轴向右平移 m 个单位（m0） ，所得图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值为（ ）A B C D【解答】解：函数 y=sin2（x ）= = 的图象沿 x 轴向右平移 m 个单位（m0） ，可得 y= 的图象，再根据所得图象关于 y 轴对称，可得 2m=（2k+1） ，k Z，即 m（2k +1） ，则 m 的最小值为 ，故选：D10 （5 分）
12、已知 f（x ）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（，0）上单调递减，若实数 a 满足 f（3 |2a+1|）f （ ） ，则 a 的取值范围是（ ）A （ ， ）（ ，+） B （ ， ）C （ ，+） D （ ， ）【解答】解：函数 f（x ）是偶函数，f（ 3|2a+1|） f（ ） ，等价为 f（3 |2a+1|）f（ ） ，偶函数 f（x）在区间（ ，0）上单调递减，f（ x）在区间0，+）上单调递增，3 |2a+1| ，即 2a+1 或 2a+1 ，解得 a 或 a ，故选 A11 （5 分）已知 ， ， ，0，且（ ）3sin2=0，8 3+2cos2+1=0，则 sin（ +）
13、的值为（ ）A0 B C D1【解答】解：（ ） 3sin2=0，可得：（ ） 3cos（ ）2=0，即（ ） 3+cos（ ）+2=0由 83+2cos2+1=0，得（2） 3+cos2+2=0，可得 f（x ）=x 3+cosx+2=0，其 ，x 2=2 ， ， ，0， ，0，2 ，0可知函数 f（x）在 x，0是单调增函数，方程 x3+cosx+2=0 只有一个解，可得 ，即 ， ，那么 sin（ +）=sin = 故选：B12 （5 分）若区间x 1，x 2的 长 度 定 义 为|x 2x1|，函数 f（x ）=（m R，m 0）的定义域和值域都是a，b，则区间a ，b的最大长度为（
14、）A B C D3【解答】解：函数 f（x） = （mR ，m0）的定义域是x|x0，则m，n是其定义域的子集，m，n（，0 ）或（0，+） f（ x）= = 在区间a，b 上时增函数，则有： ，故 a，b 是方程 f（x ）= =x 的同号相异的实数根，即 a，b 是方程（mx） 2（m 2+m）x +1=0 同号相异的实数根那么 ab= ，a+b= ，只需要0，即（m 2+m） 24m20，解得：m1 或 m 3那么：nm= = ，故 ba 的最大值为 ，故选：A二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填写在答题卡相应位置上.13 （5 分）计算：log 3 +
15、lg4+lg25+（ ） 0= 【解答】解：原式= +lg102+1= +2+1= 故答案为： 14 （5 分）已知扇形的面积为 4cm2，扇形的圆心角为 2 弧度，则扇形的弧长为 4cm 【解答】解：设扇形的弧长为 l，圆心角大小为 （rad ） ，半径为 r，扇形的面积为 S，则：r 2= = =4解得 r=2，扇形的弧长为 l=r=22=4cm，故答案为：4cm 15 （5 分）若 （0，） ，且 cos2=sin（ +） ，则 sin2 的值为 1 【解答】解： （0 ， ） ，且 cos2=sin（ +） ，cos2=2sin（ +） ，（cos+sin） （cossin）= （co
16、s+sin） ，cos+sin=0 ，或 cossin= （不合题意，舍去） ，= ，2= ， sin2=sin =1，故答案为：116 （5 分）已知正实数 x，y，且 x2+y2=1，若 f（x，y ）= ，则 f（x，y）的值域为 ，1） 【解答】解：x 2+y2=1；= ；1=x 2+y22xy，且 x，y0； ；11+2xy2； ； ；f（ x，y）的值域为 故答案为： ，1） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （10 分）已知全集 U=R，函数 的定义域为集合 A，集合 B=x|5x7 （1）求集合 A； （2）求（ UB）
17、A【解答】解：（1）由题意可得： ；解得 3x10；A=x|3x10 ；（2）C UB=x|x5 或 x 7；（C UB）A=x |3x 5 或 7x1018 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若角 的始边为 x 轴的非负半轴，其终边经过点 P（2，4） （1）求 tan 的值； （2）求 的值【解答】解：（1）由任意角三角函数的定义可得： （2）= = 19 （12 分）已知二次函数 f（x ）=mx 2+4x+1，且满足 f（1）=f（3） （1）求函数 f（x）的解析式；（2）若函数 f（x）的定义域为（ 2，2） ，求 f（x ）的值域【解答】解：（1）由 f（1）=f（3）可
18、得该二次函数的对称轴为 x=1（2 分）即 从而得 m=2（4 分）所以该二次函数的解析式为 f（x ）= 2x2+4x+1（6 分）（2）由（1）可得 f（x ） =2（x1） 2+3（9 分）所以 f（ x）在（2，2上的值域为（15，3（12 分）20 （12 分）已知函数 f（ x）=sin 2x+2 cosxsinx+sin（x+ ）sin（ x ） （0） ，且 f（x）的最小正周期为 （1）求 的值； （2）求函数 f（x）在区间（ 0， ）上的单调增区间【解答】解：（1）f（x） =sin2x+2 cosxsinx+sin（x+ ）sin （x ） ，= + sin2x （ c
19、os2xsin2x） ，= ； （5 分）由题意得 ，即可得 =1（6 分）（2）由（1）知则由函数单调递增性可知：整理得： （9 分）f（ x）在（0， ）上的增区间为 ， （12 分）21 （12 分）已知函数 f（ x）=log 2（ ）x（m 为常数）是奇函数（1）判断函数 f（x）在 x（ ，+）上的单调性，并用定义法证明你的结论；（2）若对于区间2，5上的任意 x 值，使得不等式 f（x）2 x+m 恒成立，求实数 m 的取值范围【解答】解：（1）由条件可得 f（x）+f（x ）=0，即 ，化简得 1m2x2=14x2，从而得 m=2；由题意 m=2 舍去，所以 m=2，即 ， 上
20、为单调减函数；证明如下：设 ，则 f（x 1）f（x 2）=log 2（ ）x 1log2（）+x 2，因为 x 1x 2，所以 x2x10，2x 110，2x 210；所以 f（ x1）f （x 2）0 ，即 f（x 1）f（x 2） ；所以函数 f（x）在 x（ ，+）上为单调减函数；（2）设 g（x）=f（x）2 x，由（1）得 f（x）在 x（ ，+）上为单调减函数，所以 g（x ）=f（x）2 x 在2，5上单调递减；所以 g（x ）=f（x）2 x 在2，5上的最大值为 ，由题意知 ng（x）在2，5上的最大值，所以 22 （12 分）已知函数 f（ x）=a（|sinx |+|c
21、osx|） sin2x1，若 f（ ）= （1）求 a 的值，并写出函数 f（x ）的最小正周期（不需证明） ；（2）是否存在正整数 k，使得函数 f（x ）在区间0，k内恰有 2017 个零点？若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）函数 f（x ）=a（|sinx|+|cosx|） sin2x1，f（ ）= a （sin +cos ） sin 1= 解得：a=1，函数 f（ x）的最小正周期 T=，（2）存在 n=504，满足题意：理由如下：当 时， ，设 t=sinx+cosx，则 ，sin2x=t 21，则 ， 可得 t=1 或 ，由 t=sinx+cosx 图象可知，x 在 上有 4 个零点满足题意当 时， ，t=sinx cosx，则 ，sin2x=1 t2， ，t=1 或 ， ，x 在 上不存在零点综上讨论知：函数 f（x）在 0， ）上有 4 个零点，而 2017=4504+1，因此函数在0，504有 2017 个零点，所以存在正整数 k=504 满足题意
