2016-2017学年浙江省杭州市高一(上)期末数学试卷(含答案解析)

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1、2016-2017 学年浙江省杭州市高一(上)期末数学试卷一、选择题(本大题有 14 小题,每小题 3 分,共 42 分每小题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请将答案填写在答案卷相应的答题栏内)1 (3 分)sin120的值为( )A B C D2 (3 分)已知 sin= , 为第二象限角,则 cos的值为( )A B C D3 (3 分)已知集合 A=xR|x24x0,B=x R|2x8,则 AB=( )A (0 ,3 ) B (3,4) C (0,4) D ( ,3)4 (3 分)函数 f(x )=log 3x+x3 的零点所在的区间是( )A (0 ,1 ) B (1,2) C (

2、2,3) D (3,+)5 (3 分)函数 y= 的定义域是( )A1 ,+) B (1,+ ) C (0,1 D ( ,16 (3 分)一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢,之后随着药力的减退,心率再次慢慢升高,则自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象是( )A B C D7 (3 分)已知函数 f(x)= ,则 f(5)的值为( )A B1 C2 D38 (3 分)已知函数 y=f( 2x)+2x 是偶函数,且 f(2)=1,则 f(2)=( )A5 B4 C3 D29 (3 分)函数 f(x )=|sinx+cosx|+|sinx cosx|是( )A最小正周期为 的奇函

3、数 B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数10 (3 分)记 a=sin1,b=sin2,c=sin3,则( )Acba Bcab Cacb Dab c11 (3 分)要得到函数 y=cos(2x )的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象( )A向左平移 个单位 B向左平移 个单位C向右平移 个单位 D向右平移 个单位12 (3 分)已知函数 在(,+)上是增函数,则实数 a 的取值范围是( )A1 a 3 B1a3 C a5 D a 513 (3 分)定义 mina,b= ,若函数 f(x)=minx 23x+3,|x 3|+3,且 f(x)在区间m,

4、n上的值域为 , ,则区间m,n长度的最大值为( )A1 B C D14 (3 分)设函数 f(x ) =| ax|,若对任意的正实数 a,总存在 x01,4,使得 f( x0)m,则实数 m 的取值范围为( )A ( ,0 B (,1 C ( ,2 D (,3二、填空题(本大题有 6 小题,1517 题每空 3 分,1820 题每空 4 分,共30 分,把答案填在答题卷的相应位置)15 (3 分)设集合 U=1,2,3,4,5,6,M=2,3,4,N=4,5,则MN= , UM= 16 (3 分) ( ) +( ) = ;log 412log43= 17 (3 分)函数 f(x )=tan(

5、2x )的最小正周期是 ;不等式 f(x )1 的解集是 18 (4 分)已知偶函数 f(x )和奇函数 g(x )的定义域都是( 4,4) ,且在(4 ,0上的图象如图所示,则关于 x 的不等式 f(x )g(x)0 的解集是 19 (4 分)已知不等式(ax +2)ln(x+a)0 对 x(a,+)恒成立,则 a的值为 20 (4 分)已知函数 f( x)=x + ,g(x )=f 2(x) af(x)+2a 有四个不同的零点 x1,x 2,x 3,x 4,则2 f(x 1) 2f(x 2) 2f(x 3)2f(x 4)的值为 三、解答题:(本大题有 4 小题,共 48 分解答应写出文字说

6、明,证明过程或演算步骤)21 (10 分)已知幂函数 f(x )=x (R ) ,且 (1)求函数 f(x)的解析式;(2)证明函数 f(x)在定义域上是增函数22 (12 分)已知函数 f( x)=2sin(x+ ) ( 0,0)的图象关于直线 对称,且两相邻对称中心之间的距离为 (1)求函数 y=f(x)的单调递增区间;(2)若关于 x 的方程 f( x)+log 2k=0 在区间 上总有实数解,求实数 k的取值范围23 (12 分)一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示(1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义;(2)假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是 80

7、18km,试求汽车在行驶这段路程时里程表读数 s(km)与时间 t (h )的函数解析式,并作出相应的图象24 (13 分)已知函数 f( x)=(x 1)|xa|x2a(xR ) (1)若 a=1,求方程 f(x )=1 的解集;(2)若 ,试判断函数 y=f(x)在 R 上的零点个数,并求此时y=f(x)所有零点之和的取值范围2016-2017 学年浙江省杭州市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题有 14 小题,每小题 3 分,共 42 分每小题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请将答案填写在答案卷相应的答题栏内)1 (3 分)sin120的值为( )A B C D

8、【解答】解:因为 sin120=sin(90+30 )=cos30= 故选 C2 (3 分)已知 sin= , 为第二象限角,则 cos的值为( )A B C D【解答】解:sin= ,且 为第二象限的角,cos= = 故选:D3 (3 分)已知集合 A=xR|x24x0,B=x R|2x8,则 AB=( )A (0 ,3 ) B (3,4) C (0,4) D ( ,3)【解答】解:集合 A=xR|x24x0=x |0x4,B=xR|2x8= x|x3,AB=x |0x3= (0,3) 故选:A4 (3 分)函数 f(x )=log 3x+x3 的零点所在的区间是( )A (0 ,1 ) B

9、 (1,2) C (2,3) D (3,+)【解答】解:函数 f(x )=log 3x+x3,定义域为:x 0;函数是连续函数,f( 2)=log 32+230,f(3)=log 33+33=10,f( 2)f( 3)0,根据函数的零点的判定定理,故选:C5 (3 分)函数 y= 的定义域是( )A1 ,+) B (1,+ ) C (0,1 D ( ,1【解答】解:要使函数有意义,则 log0.5(3x2)0,即 03x21,得 x1,即函数的定义域为( ,1,故选:D6 (3 分)一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢,之后随着药力的减退,心率再次慢慢升高,则自服药那一刻起,心率关于

10、时间的一个可能的图象是( )A B C D【解答】解:患者服用某种药物后心率立刻明显减慢,则函数的图象应呈下降趋势,之后随着药力的减退,心率再次慢慢升高,则函数的图象应一直呈上升趋势,但上升部分的图象比下降的图象要缓,排除 AB,根据正常人的心率约为 65,可排除 D,只有 C 符合,故选:C7 (3 分)已知函数 f(x)= ,则 f(5)的值为( )A B1 C2 D3【解答】解:函数 f(x )= ,f( 5)=f( 3)=f(1)=2故选:C8 (3 分)已知函数 y=f( 2x)+2x 是偶函数,且 f(2)=1,则 f(2)=( )A5 B4 C3 D2【解答】解:函数 y=f(2

11、x )+2x 是偶函数,设 g(x )=f(2x)+2x,则 g( x)=f(2x)2x=g(x)=f (2x)+2x ,即 f(2x)=f (2x)+4x,当 x=1 时,f(2)=f(2)+4=1+4=5 ,故选:A9 (3 分)函数 f(x )=|sinx+cosx|+|sinx cosx|是( )A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数【解答】解:f(x)=|sin(x)+cos( x)|+|sin( x) cos(x)|=|sinx+cosx|+|sinxcosx|=|six+cosx|+|sinxcosx|=f(x) ,则

12、函数 f(x )是偶函数,f( x+ )=|sin(x + )+cos (x+ )|+|sin( x+ ) cos(x+ )|=|cosxsinx|+|cosx+sinx|=|sinx+cosx|+|sinxcosx|=f(x ) ,函数 f(x )的周期是 ,故选:D10 (3 分)记 a=sin1,b=sin2,c=sin3,则( )Acba Bcab Cacb Dab c【解答】解:如图所示, 2 10,sin2=sin(2)sin1, ,sin1=sin(1)sin3综上可得:sin2sin1sin3故选 B11 (3 分)要得到函数 y=cos(2x )的图象,只需将函数 y=sin

13、2x 的图象( )A向左平移 个单位 B向左平移 个单位C向右平移 个单位 D向右平移 个单位【解答】解:y=cos(2x )=cos( 2x)=sin(2x + )=sin 2(x + ),将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位即可得到函数 y=cos(2x )的图象故选:B12 (3 分)已知函数 在(,+)上是增函数,则实数 a 的取值范围是( )A1 a 3 B1a3 C a5 D a 5【解答】解:函数 在(,+)上是增函数,可得: ,解得:1a3故选:B13 (3 分)定义 mina,b= ,若函数 f(x)=minx 23x+3,|x 3|+3,且 f(x)在区间m,n上

14、的值域为 , ,则区间m,n长度的最大值为( )A1 B C D【解答】解:根据定义作出函数 f(x )的图象如图:(蓝色曲线) ,其中 A(1,1) ,B(3,3) ,即 f(x)= ,当 f(x)= 时,当 x3 或 x1 时,由 3|x3|= ,得|x3|= ,即 xC= 或 xG= ,当 f(x)= 时,当 1x 3 时,由 x23x+3= ,得 xE= ,由图象知若 f(x)在区间 m,n上的值域为 , ,则区间m,n长度的最大值为 xExC= = ,故选:B14 (3 分)设函数 f(x ) =| ax|,若对任意的正实数 a,总存在 x01,4,使得 f( x0)m,则实数 m

15、的取值范围为( )A ( ,0 B (,1 C ( ,2 D (,3【解答】解:对任意的正实数 a,总存在 x01, 4,使得 f(x 0)mmf(x ) max,x 1,4令 u(x)= ax,a0,函数 u(x)在 x1,4单调递减,u(x) max=u(1)=4a,u (x) min=14aa 4 时,04a 14a,则 f(x) max=4a1154a1 时,4a 01 4a,则 f(x) max=4a, 4a1max3a 1 时,4a 14a0,则 f(x) max=4a3综上可得:m3实数 m 的取值范围为( ,3故选:D二、填空题(本大题有 6 小题,1517 题每空 3 分,1

16、820 题每空 4 分,共30 分,把答案填在答题卷的相应位置)15 (3 分)设集合 U=1,2,3,4,5,6,M=2,3,4,N=4,5,则MN= 2 ,3,4 ,5 , UM= 1,5,6 【解答】解:集合 U=1,2,3,4,5,6,M= 2,3,4,N=4,5,则MN=2 ,3 ,4 ,5;UM=1,5,6,故答案为:2,3,4,5,1,5,616 (3 分) ( ) +( ) = 3 ;log 412log43= 1 【解答】解:( ) +( )= ;log412log43= 故答案为:3,117 (3 分)函数 f(x )=tan(2x )的最小正周期是 ;不等式 f(x)1

17、的解集是 【解答】解:由正切函数的周期公式得函数的周期 T= ;由 f(x)1 得 tan(2x )1,得 +k2x +k,得 + x + ,k Z,即不等式的解集为 ;故答案为: , ;18 (4 分)已知偶函数 f(x )和奇函数 g(x )的定义域都是( 4,4) ,且在(4 ,0上的图象如图所示,则关于 x 的不等式 f(x )g(x)0 的解集是 (4 ,2 )(0,2) 【解答】解:设 h(x)=f (x )g(x) ,则 h(x)=f( x)g (x)= f(x)g(x)=h(x) ,h(x)是奇函数,由图象可知:当4x2 时,f(x)0,g(x)0,即 h(x)0,当 0x2

18、时,f(x)0,g(x)0,即 h(x) 0,h(x)0 的解为(4, 2)(0,2) 故答案为(4,2)(0,2)19 (4 分)已知不等式(ax +2)ln(x+a)0 对 x(a,+)恒成立,则 a的值为 1 【解答】解:x ( a,+) ,当ax1a 时,y=ln ( x+a)0,当 x1a 时,y=ln (x+a)0,又(ax+2)ln(x +a)0 对 x(a,+)恒成立,若 a0,y=ax +2 与 y=ln(x +a)均为定义域上的增函数,在 x(a,+ )上,可均大于 0,不满足题意;若 a=0,则 2lnx)0 对 x(0,+)不恒成立,不满足题意;a 0 作图如下:由图可

19、知,当且仅当方程为 y=ln(x+a)的曲线与方程为 y=ax+2 的直线相交于点 A,即满足 时, (ax+2 )ln(x+a)0 对 x(a,+)恒成立,解方程 得 ,解得 a=1故答案为:120 (4 分)已知函数 f( x)=x + ,g(x )=f 2(x) af(x)+2a 有四个不同的零点 x1,x 2,x 3,x 4,则2 f(x 1) 2f(x 2) 2f(x 3)2f(x 4)的值为 16 【解答】解:令 t=f(x) ,则 y=g(x )=f 2(x)af (x)+2a=t 2at+2a,g (x)=f 2(x)af (x )+2a 有四个不同的零点 x1,x 2,x 3

20、,x 4,故 t2at+2a=0 有两个根 t1,t 2,且 t1+t2=a,t 1t2=2a,且 f(x 1) ,f( x2) ,f (x 3) ,f(x 4)恰两两相等,为 t2at+2a=0 的两根,不妨令 f(x 1)=f(x 2)=t 1,f(x 3)=f(x 4)=t 2,则2 f(x 1) 2f(x 2) 2f(x 3)2f(x 4)=( 2t1)(2t 1) (2 t2)(2t 2)=( 2t1)(2t 2) 2=42(t 1+t2)+t 1t22=16故答案为:16三、解答题:(本大题有 4 小题,共 48 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)21 (10 分)已知幂函

21、数 f(x )=x (R ) ,且 (1)求函数 f(x)的解析式;(2)证明函数 f(x)在定义域上是增函数【解答】 (1)解:由 得, ,所以 ;(2)证明:定义域是0,+) ,设任意的 x2x 10,则 , ,f( x2)f (x 1) ,函数 f( x)在定义域上是增函数22 (12 分)已知函数 f( x)=2sin(x+ ) ( 0,0)的图象关于直线 对称,且两相邻对称中心之间的距离为 (1)求函数 y=f(x)的单调递增区间;(2)若关于 x 的方程 f( x)+log 2k=0 在区间 上总有实数解,求实数 k的取值范围【解答】解:(1)周期 T=,所以 =2,当 时, ,

22、(2分)得 ,又 0,所以取 k=1,得 (2 分)所以 , (1 分)由 ,得 ,k Z所以函数 y=f(x)的单调递增区间是得 (k Z) , (2 分)(2)当 时, ,所以, (2 分)所以 log2k=f(x) 1,2,得 (3 分)23 (12 分)一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示(1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义;(2)假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是 8018km,试求汽车在行驶这段路程时里程表读数 s(km)与时间 t (h )的函数解析式,并作出相应的图象【解答】解:(1)阴影部分的面积为:50+70+90+60=270,表示汽

23、车在 4 小时内行驶的路程为 270 km (4 分)(2)这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是 8018km,汽车在行驶这段路程时里程表读数 s(km)与时间 t (h)的函数解析式为:(4 分)图象如下图:(4 分)24 (13 分)已知函数 f( x)=(x 1)|xa|x2a(xR ) (1)若 a=1,求方程 f(x )=1 的解集;(2)若 ,试判断函数 y=f(x)在 R 上的零点个数,并求此时y=f(x)所有零点之和的取值范围【解答】解:(1)方法一:当 a=1 时, (2 分)由 f(x)=1 得 或 (2 分)解得 x=0,1,2,即解集为 0,1 , 2 (2 分)方法

24、二:当 a=1 时,由 f(x )=1 得:(x1)|x+1|(x1)=0(x1) (|x+1|1)=0(3 分)得 x=1 或|x +1|=1x=1 或 x=0 或 x=2即解集为0,1,2 (3 分)(2)当 xa 时,令 x2(a+2)xa=0 , ,=a 2+8a+4=(a+4) 2120得 , (2 分)且先判断 2a,与 大小:,即 ax 1x 2,故当 xa 时,f (x)存在两个零点 (2 分)当 xa 时,令x 2+ax3a=0,即 x2ax+3a=0 得 ,=a 212a=(a6) 236 0得 ,同上可判断 x3ax 4,故 xa 时,f (x)存在一个零点 (2 分)综上可知当 时,f(x )存在三个不同零点且设 ,易知 g(a)在 上单调递增,故 g( a)(0,2)x 1+x2+x3(0,2) ( 2 分)

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