1、2016-2017 学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有 14 小题，每小题 3 分，共 42 分每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1 （3 分）sin120的值为（ ）A B C D2 （3 分）已知 sin= ， 为第二象限角，则 cos的值为（ ）A B C D3 （3 分）已知集合 A=xR|x24x0，B=x R|2x8，则 AB=（ ）A （0 ，3 ） B （3，4） C （0，4） D （ ，3）4 （3 分）函数 f（x ）=log 3x+x3 的零点所在的区间是（ ）A （0 ，1 ） B （1，2） C （
2、2，3） D （3，+）5 （3 分）函数 y= 的定义域是（ ）A1 ，+） B （1，+ ） C （0，1 D （ ，16 （3 分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（ ）A B C D7 （3 分）已知函数 f（x）= ，则 f（5）的值为（ ）A B1 C2 D38 （3 分）已知函数 y=f（ 2x）+2x 是偶函数，且 f（2）=1，则 f（2）=（ ）A5 B4 C3 D29 （3 分）函数 f（x ）=|sinx+cosx|+|sinx cosx|是（ ）A最小正周期为 的奇函
3、数 B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数10 （3 分）记 a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（ ）Acba Bcab Cacb Dab c11 （3 分）要得到函数 y=cos（2x ）的图象，只需将函数 y=sin2x 的图象（ ）A向左平移 个单位 B向左平移 个单位C向右平移 个单位 D向右平移 个单位12 （3 分）已知函数 在（，+）上是增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）A1 a 3 B1a3 C a5 D a 513 （3 分）定义 mina，b= ，若函数 f（x）=minx 23x+3，|x 3|+3，且 f（x）在区间m，
4、n上的值域为 ， ，则区间m，n长度的最大值为（ ）A1 B C D14 （3 分）设函数 f（x ） =| ax|，若对任意的正实数 a，总存在 x01，4，使得 f（ x0）m，则实数 m 的取值范围为（ ）A （ ，0 B （，1 C （ ，2 D （，3二、填空题（本大题有 6 小题，1517 题每空 3 分，1820 题每空 4 分，共30 分，把答案填在答题卷的相应位置）15 （3 分）设集合 U=1，2，3，4，5，6，M=2，3，4，N=4，5，则MN= ， UM= 16 （3 分） （ ） +（ ） = ；log 412log43= 17 （3 分）函数 f（x ）=tan（
5、2x ）的最小正周期是 ；不等式 f（x ）1 的解集是 18 （4 分）已知偶函数 f（x ）和奇函数 g（x ）的定义域都是（ 4，4） ，且在（4 ，0上的图象如图所示，则关于 x 的不等式 f（x ）g（x）0 的解集是 19 （4 分）已知不等式（ax +2）ln（x+a）0 对 x（a，+）恒成立，则 a的值为 20 （4 分）已知函数 f（ x）=x + ，g（x ）=f 2（x） af（x）+2a 有四个不同的零点 x1，x 2，x 3，x 4，则2 f（x 1） 2f（x 2） 2f（x 3）2f（x 4）的值为 三、解答题：（本大题有 4 小题，共 48 分解答应写出文字说
6、明，证明过程或演算步骤）21 （10 分）已知幂函数 f（x ）=x （R ） ，且 （1）求函数 f（x）的解析式；（2）证明函数 f（x）在定义域上是增函数22 （12 分）已知函数 f（ x）=2sin（x+ ） （ 0，0）的图象关于直线 对称，且两相邻对称中心之间的距离为 （1）求函数 y=f（x）的单调递增区间；（2）若关于 x 的方程 f（ x）+log 2k=0 在区间 上总有实数解，求实数 k的取值范围23 （12 分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是 80
7、18km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数 s（km）与时间 t （h ）的函数解析式，并作出相应的图象24 （13 分）已知函数 f（ x）=（x 1）|xa|x2a（xR ） （1）若 a=1，求方程 f（x ）=1 的解集；（2）若 ，试判断函数 y=f（x）在 R 上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点之和的取值范围2016-2017 学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有 14 小题，每小题 3 分，共 42 分每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1 （3 分）sin120的值为（ ）A B C D
8、【解答】解：因为 sin120=sin（90+30 ）=cos30= 故选 C2 （3 分）已知 sin= ， 为第二象限角，则 cos的值为（ ）A B C D【解答】解：sin= ，且 为第二象限的角，cos= = 故选：D3 （3 分）已知集合 A=xR|x24x0，B=x R|2x8，则 AB=（ ）A （0 ，3 ） B （3，4） C （0，4） D （ ，3）【解答】解：集合 A=xR|x24x0=x |0x4，B=xR|2x8= x|x3，AB=x |0x3= （0，3） 故选：A4 （3 分）函数 f（x ）=log 3x+x3 的零点所在的区间是（ ）A （0 ，1 ） B
9、 （1，2） C （2，3） D （3，+）【解答】解：函数 f（x ）=log 3x+x3，定义域为：x 0；函数是连续函数，f（ 2）=log 32+230，f（3）=log 33+33=10，f（ 2）f（ 3）0，根据函数的零点的判定定理，故选：C5 （3 分）函数 y= 的定义域是（ ）A1 ，+） B （1，+ ） C （0，1 D （ ，1【解答】解：要使函数有意义，则 log0.5（3x2）0，即 03x21，得 x1，即函数的定义域为（ ，1，故选：D6 （3 分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于
10、时间的一个可能的图象是（ ）A B C D【解答】解：患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，则函数的图象应呈下降趋势，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则函数的图象应一直呈上升趋势，但上升部分的图象比下降的图象要缓，排除 AB，根据正常人的心率约为 65，可排除 D，只有 C 符合，故选：C7 （3 分）已知函数 f（x）= ，则 f（5）的值为（ ）A B1 C2 D3【解答】解：函数 f（x ）= ，f（ 5）=f（ 3）=f（1）=2故选：C8 （3 分）已知函数 y=f（ 2x）+2x 是偶函数，且 f（2）=1，则 f（2）=（ ）A5 B4 C3 D2【解答】解：函数 y=f（2
11、x ）+2x 是偶函数，设 g（x ）=f（2x）+2x，则 g（ x）=f（2x）2x=g（x）=f （2x）+2x ，即 f（2x）=f （2x）+4x，当 x=1 时，f（2）=f（2）+4=1+4=5 ，故选：A9 （3 分）函数 f（x ）=|sinx+cosx|+|sinx cosx|是（ ）A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数【解答】解：f（x）=|sin（x）+cos（ x）|+|sin（ x） cos（x）|=|sinx+cosx|+|sinxcosx|=|six+cosx|+|sinxcosx|=f（x） ，则
12、函数 f（x ）是偶函数，f（ x+ ）=|sin（x + ）+cos （x+ ）|+|sin（ x+ ） cos（x+ ）|=|cosxsinx|+|cosx+sinx|=|sinx+cosx|+|sinxcosx|=f（x ） ，函数 f（x ）的周期是 ，故选：D10 （3 分）记 a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（ ）Acba Bcab Cacb Dab c【解答】解：如图所示， 2 10，sin2=sin（2）sin1， ，sin1=sin（1）sin3综上可得：sin2sin1sin3故选 B11 （3 分）要得到函数 y=cos（2x ）的图象，只需将函数 y=sin
13、2x 的图象（ ）A向左平移 个单位 B向左平移 个单位C向右平移 个单位 D向右平移 个单位【解答】解：y=cos（2x ）=cos（ 2x）=sin（2x + ）=sin 2（x + ），将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位即可得到函数 y=cos（2x ）的图象故选：B12 （3 分）已知函数 在（，+）上是增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）A1 a 3 B1a3 C a5 D a 5【解答】解：函数 在（，+）上是增函数，可得： ，解得：1a3故选：B13 （3 分）定义 mina，b= ，若函数 f（x）=minx 23x+3，|x 3|+3，且 f（x）在区间m，n上
14、的值域为 ， ，则区间m，n长度的最大值为（ ）A1 B C D【解答】解：根据定义作出函数 f（x ）的图象如图：（蓝色曲线） ，其中 A（1，1） ，B（3，3） ，即 f（x）= ，当 f（x）= 时，当 x3 或 x1 时，由 3|x3|= ，得|x3|= ，即 xC= 或 xG= ，当 f（x）= 时，当 1x 3 时，由 x23x+3= ，得 xE= ，由图象知若 f（x）在区间 m，n上的值域为 ， ，则区间m，n长度的最大值为 xExC= = ，故选：B14 （3 分）设函数 f（x ） =| ax|，若对任意的正实数 a，总存在 x01，4，使得 f（ x0）m，则实数 m
15、的取值范围为（ ）A （ ，0 B （，1 C （ ，2 D （，3【解答】解：对任意的正实数 a，总存在 x01， 4，使得 f（x 0）mmf（x ） max，x 1，4令 u（x）= ax，a0，函数 u（x）在 x1，4单调递减，u（x） max=u（1）=4a，u （x） min=14aa 4 时，04a 14a，则 f（x） max=4a1154a1 时，4a 01 4a，则 f（x） max=4a， 4a1max3a 1 时，4a 14a0，则 f（x） max=4a3综上可得：m3实数 m 的取值范围为（ ，3故选：D二、填空题（本大题有 6 小题，1517 题每空 3 分，1
16、820 题每空 4 分，共30 分，把答案填在答题卷的相应位置）15 （3 分）设集合 U=1，2，3，4，5，6，M=2，3，4，N=4，5，则MN= 2 ，3，4 ，5 ， UM= 1，5，6 【解答】解：集合 U=1，2，3，4，5，6，M= 2，3，4，N=4，5，则MN=2 ，3 ，4 ，5；UM=1，5，6，故答案为：2，3，4，5，1，5，616 （3 分） （ ） +（ ） = 3 ；log 412log43= 1 【解答】解：（ ） +（ ）= ；log412log43= 故答案为：3，117 （3 分）函数 f（x ）=tan（2x ）的最小正周期是 ；不等式 f（x）1
17、的解集是 【解答】解：由正切函数的周期公式得函数的周期 T= ；由 f（x）1 得 tan（2x ）1，得 +k2x +k，得 + x + ，k Z，即不等式的解集为 ；故答案为： ， ；18 （4 分）已知偶函数 f（x ）和奇函数 g（x ）的定义域都是（ 4，4） ，且在（4 ，0上的图象如图所示，则关于 x 的不等式 f（x ）g（x）0 的解集是 （4 ，2 ）（0，2） 【解答】解：设 h（x）=f （x ）g（x） ，则 h（x）=f（ x）g （x）= f（x）g（x）=h（x） ，h（x）是奇函数，由图象可知：当4x2 时，f（x）0，g（x）0，即 h（x）0，当 0x2
18、时，f（x）0，g（x）0，即 h（x） 0，h（x）0 的解为（4， 2）（0，2） 故答案为（4，2）（0，2）19 （4 分）已知不等式（ax +2）ln（x+a）0 对 x（a，+）恒成立，则 a的值为 1 【解答】解：x （ a，+） ，当ax1a 时，y=ln （ x+a）0，当 x1a 时，y=ln （x+a）0，又（ax+2）ln（x +a）0 对 x（a，+）恒成立，若 a0，y=ax +2 与 y=ln（x +a）均为定义域上的增函数，在 x（a，+ ）上，可均大于 0，不满足题意；若 a=0，则 2lnx）0 对 x（0，+）不恒成立，不满足题意；a 0 作图如下：由图可
19、知，当且仅当方程为 y=ln（x+a）的曲线与方程为 y=ax+2 的直线相交于点 A，即满足 时， （ax+2 ）ln（x+a）0 对 x（a，+）恒成立，解方程 得 ，解得 a=1故答案为：120 （4 分）已知函数 f（ x）=x + ，g（x ）=f 2（x） af（x）+2a 有四个不同的零点 x1，x 2，x 3，x 4，则2 f（x 1） 2f（x 2） 2f（x 3）2f（x 4）的值为 16 【解答】解：令 t=f（x） ，则 y=g（x ）=f 2（x）af （x）+2a=t 2at+2a，g （x）=f 2（x）af （x ）+2a 有四个不同的零点 x1，x 2，x 3
20、，x 4，故 t2at+2a=0 有两个根 t1，t 2，且 t1+t2=a，t 1t2=2a，且 f（x 1） ，f（ x2） ，f （x 3） ，f（x 4）恰两两相等，为 t2at+2a=0 的两根，不妨令 f（x 1）=f（x 2）=t 1，f（x 3）=f（x 4）=t 2，则2 f（x 1） 2f（x 2） 2f（x 3）2f（x 4）=（ 2t1）（2t 1） （2 t2）（2t 2）=（ 2t1）（2t 2） 2=42（t 1+t2）+t 1t22=16故答案为：16三、解答题：（本大题有 4 小题，共 48 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21 （10 分）已知幂函
21、数 f（x ）=x （R ） ，且 （1）求函数 f（x）的解析式；（2）证明函数 f（x）在定义域上是增函数【解答】 （1）解：由 得， ，所以 ；（2）证明：定义域是0，+） ，设任意的 x2x 10，则 ， ，f（ x2）f （x 1） ，函数 f（ x）在定义域上是增函数22 （12 分）已知函数 f（ x）=2sin（x+ ） （ 0，0）的图象关于直线 对称，且两相邻对称中心之间的距离为 （1）求函数 y=f（x）的单调递增区间；（2）若关于 x 的方程 f（ x）+log 2k=0 在区间 上总有实数解，求实数 k的取值范围【解答】解：（1）周期 T=，所以 =2，当 时， ，
22、（2分）得 ，又 0，所以取 k=1，得 （2 分）所以 ， （1 分）由 ，得 ，k Z所以函数 y=f（x）的单调递增区间是得 （k Z） ， （2 分）（2）当 时， ，所以， （2 分）所以 log2k=f（x） 1，2，得 （3 分）23 （12 分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是 8018km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数 s（km）与时间 t （h ）的函数解析式，并作出相应的图象【解答】解：（1）阴影部分的面积为：50+70+90+60=270，表示汽
23、车在 4 小时内行驶的路程为 270 km （4 分）（2）这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是 8018km，汽车在行驶这段路程时里程表读数 s（km）与时间 t （h）的函数解析式为：（4 分）图象如下图：（4 分）24 （13 分）已知函数 f（ x）=（x 1）|xa|x2a（xR ） （1）若 a=1，求方程 f（x ）=1 的解集；（2）若 ，试判断函数 y=f（x）在 R 上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点之和的取值范围【解答】解：（1）方法一：当 a=1 时， （2 分）由 f（x）=1 得 或 （2 分）解得 x=0，1，2，即解集为 0，1 ， 2 （2 分）方法
24、二：当 a=1 时，由 f（x ）=1 得：（x1）|x+1|（x1）=0（x1） （|x+1|1）=0（3 分）得 x=1 或|x +1|=1x=1 或 x=0 或 x=2即解集为0，1，2 （3 分）（2）当 xa 时，令 x2（a+2）xa=0 ， ，=a 2+8a+4=（a+4） 2120得 ， （2 分）且先判断 2a，与 大小：，即 ax 1x 2，故当 xa 时，f （x）存在两个零点 （2 分）当 xa 时，令x 2+ax3a=0，即 x2ax+3a=0 得 ，=a 212a=（a6） 236 0得 ，同上可判断 x3ax 4，故 xa 时，f （x）存在一个零点 （2 分）综上可知当 时，f（x ）存在三个不同零点且设 ，易知 g（a）在 上单调递增，故 g（ a）（0，2）x 1+x2+x3（0，2） （ 2 分）
