1、2016-2017 学年天津市南开区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1 （3 分）设集合 U=n|nN*且 n9，A=2，5，B=1，2，4，5，则U（AB）中元素个数为（ ）A4 B5 C6 D72 （3 分）与 = +2k（k Z）终边相同的角是（ ）A345 B375 C D 3 （3 分）sin80cos70+sin10sin70=（ ）A B C D4 （3 分）下列函数中是奇函数的是（ ）Ay=x+sinx By=|x |cosx Cy=xsinx Dy=|x|cosx5 （3 分
2、）已知 cos0， tan（+ ）= ，则 在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6 （3 分）函数 f（x ）=log 2x+x4 的零点在区间为（ ）A （0 ，1 ） B （1，2） C （2，3） D （3，4）7 （3 分）若偶函数 f（x）在0，+）上单调递减，设 a=f（1） ，b=f（log 0.53） ，c=f（ log231） ，则（ ）Aa b c Bbac Cb c a Dcab8 （3 分）如图，正方形 ABCD 边长为 1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA 分别绕点 A，B，C，D 顺时针旋转相同角度 （0 ） ，若旋转后的四条线段所围成的封
3、闭图形面积为 ，则 =（ ）A 或 B 或 C 或 D 或9 （3 分）函数 f（x ）=Asin（x+）的单调递减区间为k ，k+ （kZ ） ，则下列说法错误的是（ ）A函数 f（ x）的最小正周期为 B函数 f（x）图象的对称轴方程为 x= + （k Z）C函数 f（x ）图象的对称中心为（ + ，0） （k Z）D函数 f（x）的单调递减区间为k+ ，k + （k Z）10 （3 分）设函数 f（x ） = ，则下列说法正确的是（ ）若 a0，则 f（f（a） ） =a；若 f（ f（a） ）= a，则 a0；若 a1，则 f（f（a） ） = ；若 f（ f（a） ）= ，则 a1A
4、 B C D二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）.11 （4 分）函数 f（x ）= 的定义域为 12 （4 分）函数 f（x ）=2cos 2xtanx+cos2x 的最小正周期为 ；最大值为 13 （4 分）如果将函数 f（x ）=sin2x 图象向左平移 （0）个单位，函数g（ x）=cos（2x ）图象向右平移 个长度单位后，二者能够完全重合，则 的最小值为 14 （4 分）如图所示，已知 A，B 是单位圆上两点且|AB|= ，设 AB 与 x 轴正半轴交于点 C，=AOC，=OCB ，则 sinsin+coscos= 15 （4 分）设函数 f（x ） =
5、，若关于 x 的方程 f（x）a=0有三个不等实根 x1，x 2，x 3，且 x1+x2+x3= ，则 a= 三、解答题：本大题共 5 小题，共 50 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程16 （8 分）已知集合 A=x|2x62 2x1，B=x|xAN，C=x |axa +1（）写出集合 B 的所有子集；（）若 AC=C，求实数 a 的取值范围17 （10 分）已知函数 f（ x）=cos（x ）sin（x ） （）判断函数 f（x）的奇偶性，并给出证明；（）若 为第一象限角，且 f（+ ）= ，求 cos（2 + ）的值18 （10 分）设函数 f（x）为 R 上的奇函数，已知当 x0
6、时，f （x）=（x+1）2（）求函数 f（x）的解析式；（）若 f（m 2+2m）+f（m）0，求 m 的取值范围19 （10 分）设某等腰三角形的底角为 ，顶角为 ，且 cos= （）求 sin 的值；（）若函数 f（x）=tanx 在 ， 上的值域与函数 g（x ）=2sin （2x ）在0，m上的值域相同，求 m 的取值范围20 （12 分）函数 f（x）=4sinxcos（x+ ）+1（0） ，其图象上有两点A（s ，t ） ，B（s+2，t） ，其中 2t2，线段 AB 与函数图象有五个交点（）求 的值；（）若函数 f（x）在x 1，x 2和x 3，x 4上单调递增，在x 2，x
7、3上单调递减，且满足等式 x4x3=x2x1= （ x3x2） ，求 x1、x 4 所有可能取值2016-2017 学年天津市南开区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1 （3 分）设集合 U=n|nN*且 n9，A=2，5，B=1，2，4，5，则U（AB）中元素个数为（ ）A4 B5 C6 D7【解答】解：A=2，5，B=1，2，4，5，AB=1，2，4，5，又集合 U=n|nN*且 n9= 1，2，3，4，5，6，7，8，9， U（AB） =3，6，7 ，8，9，故 U（AB
8、）共有 5 个元素，故选：B2 （3 分）与 = +2k（k Z）终边相同的角是（ ）A345 B375 C D 【解答】解：由 = +2k（k Z） ，得与角 终边相同的角是： ，360+15=375故选：B3 （3 分）sin80cos70+sin10sin70=（ ）A B C D【解答】解：sin80cos70 +sin10sin70=cos10cos70+sin10sin70= 故选：C4 （3 分）下列函数中是奇函数的是（ ）Ay=x+sinx By=|x |cosx Cy=xsinx Dy=|x|cosx【解答】解：A，y=x +sinx，有 f（ x）=xsinx= f（x）
9、，为奇函数；B，y= |x|cosx，f （x）= |x|cos（x）=f（x） ，为偶函数；C， y=xsinx，f （x）= （x） sin（x）=xsinx=f （x） ，为偶函数；D，y=|x|cosx，f（x）=| x|cos（x）=f（x） ，为偶函数故选：A5 （3 分）已知 cos0， tan（+ ）= ，则 在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解答】解：由题意得，tan（+ ）= ，所以 = ，即 ，解得 tan= 0，则 在第二或四象限，由 cos0 得， 在第一或四象限，所以 在第四象限，故选：D6 （3 分）函数 f（x ）=log 2x+x4 的零
10、点在区间为（ ）A （0 ，1 ） B （1，2） C （2，3） D （3，4）【解答】解：f（x）=log 2x+x4，在（0，+）上单调递增f（ 2）=1+24=10，f （3）=log 2310根据函数的零点存在性定理得出：f（x ）的零点在（2，3）区间内函数 f（x ）=log 2x+x4 的零点所在的区间为（2，3） ，故选：C7 （3 分）若偶函数 f（x）在0，+）上单调递减，设 a=f（1） ，b=f（log 0.53） ，c=f（ log231） ，则（ ）Aa b c Bbac Cb c a Dcab【解答】解：偶函数 f（x ）在0，+）上单调递减，f（ x）在（，0
11、上单调递增，log 0.53= =1，log 231=log21.5（0，1） ，a=f（ 1） ，b=f（log 0.53） ，c=f（log 231） ，bac 故选：B8 （3 分）如图，正方形 ABCD 边长为 1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA 分别绕点 A，B，C，D 顺时针旋转相同角度 （0 ） ，若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为 ，则 =（ ）A 或 B 或 C 或 D 或【解答】解：如图所示，旋转后的四条线段所围成的封闭图形为正方形，边长为 cossin，由题意可得：（cossin） 2= ，可得：cossin= ，2sincos=又 0 ，可得：cos+s
12、in= = ，所以：由可得：cos= 故 = 或 故选：A9 （3 分）函数 f（x ）=Asin（x+）的单调递减区间为k ，k+ （kZ ） ，则下列说法错误的是（ ）A函数 f（ x）的最小正周期为 B函数 f（x）图象的对称轴方程为 x= + （k Z）C函数 f（x ）图象的对称中心为（ + ，0） （k Z）D函数 f（x）的单调递减区间为k+ ，k + （k Z）【解答】解：由题意，=2，函数 f（x ）=Asin （x +）的周期为 ，= ，f （x）=Asin（2x+ ） ，x= + ， 2x+ =k+ ，f （ x）=Asin （2x+ ）0，故选 C10 （3 分）设函数
13、 f（x ） = ，则下列说法正确的是（ ）若 a0，则 f（f（a） ） =a；若 f（ f（a） ）= a，则 a0；若 a1，则 f（f（a） ） = ；若 f（ f（a） ）= ，则 a1A B C D【解答】解：当 a0 时，则 f（f（a ） ）= =a，故正确；当 a1 时，f （f（a） ）= = ，故正确；当 0a1 ，f （f（a） ）=log 0.5（log 0.5a）R ，故此时存在 0a1，使得 f（f （a） ）= a 也存在 0a 1，使得 f（f（a ） ）= ，故错误；故选：A二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）.11 （4 分）函数
14、 f（x ）= 的定义域为 （1，0）（0，+） 【解答】解：由题意得：，解得：x1 且 x0，故函数的定义域是（1， 0）（0，+） ，故答案为：（1，0）（ 0，+） 12 （4 分）函数 f（x ）=2cos 2xtanx+cos2x 的最小正周期为 ；最大值为 【解答】解：函数 f（x） =2cos2xtanx+cos2x=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x = sin（2x+ ）的最小正周期为 =，最大值为 ，故答案为：，13 （4 分）如果将函数 f（x ）=sin2x 图象向左平移 （0）个单位，函数g（ x）=cos（2x ）图象向右平移 个长度单位后，二者
15、能够完全重合，则 的最小值为 【解答】解：将函数 y=sin2x 的图象向左平移 （0）个单位得到：y=sin2（x+）=sin （2x+2）的图象，将函数 g（x ）=cos（2x ）图象向右平移 个长度单位后，可得函数y=cos2（x ） =cos（2x 2 ）=sin （2x2 ）=sin（ 2x+2）=sin（2x2+ ）的图象，二者能够完全重合，由题意可得，即：2x+2=2x2+ +2k，kZ ，解得：= k+ ， （k Z）当 k=0 时， min= 故答案为： 14 （4 分）如图所示，已知 A，B 是单位圆上两点且|AB|= ，设 AB 与 x 轴正半轴交于点 C，=AOC，=
16、OCB ，则 sinsin+coscos= 【解答】解：由题意，OAC=，A，B 是单位圆上两点且|AB|= ，sinsin+coscos=cos （ ）=cosOAC= = ，故答案为 15 （4 分）设函数 f（x ） = ，若关于 x 的方程 f（x）a=0有三个不等实根 x1，x 2，x 3，且 x1+x2+x3= ，则 a= 【解答】解：如图所示，画出函数 f（x ）的图象，不妨设 x1x 2x 3，则 x1+x2=2 =3，又 x1+x2+x3= ，x 3= a= = 故答案为： 三、解答题：本大题共 5 小题，共 50 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程16 （8 分）已知集
17、合 A=x|2x62 2x1，B=x|xAN，C=x |axa +1（）写出集合 B 的所有子集；（）若 AC=C，求实数 a 的取值范围【解答】解：（）对于集合 A，因为 2x62 2x1，则 x6 2x0，解可得：0x2即 A=x|0x2 ，又由 B=x|xAN，则 B=0，1，2；故 B 的子集有、0、1、2、0，1、0，2、1，2、0，1，2；（）若 AC=C，则 C 是 A 的子集，则必有： ，解可得：0a1，即 a 的取值范围是：0，117 （10 分）已知函数 f（ x）=cos（x ）sin（x ） （）判断函数 f（x）的奇偶性，并给出证明；（）若 为第一象限角，且 f（+
18、）= ，求 cos（2 + ）的值【解答】解：（）结论：函数 f（x ）为定义在 R 上的偶函数证明：函数 f（x）的定义域为 R，关于原点对称，f（x）=cos（x ）sin（ x ）=f（x）= 因此，函数 f（x）为定义在 R 上的偶函数；（）f（+ ）= ， 由于 为第一象限角，故 ，cos（2 + ）= = 18 （10 分）设函数 f（x）为 R 上的奇函数，已知当 x0 时，f （x）=（x+1）2（）求函数 f（x）的解析式；（）若 f（m 2+2m）+f（m）0，求 m 的取值范围【解答】解：（）函数 f（x ）为 R 上的奇函数，f（ 0）=0，若 x0，则x0，当 x0
19、时，f（x）=（x+1） 2当x0 时，f（x）=（ x+1） 2=（x 1） 2f（ x）是奇函数，f（ x）= （x1） 2=f（x） ，则 f（x）= （x1） 2，x0，则函数 f（x ）的解析式 f（x）= ；（）若 f（m 2+2m）+f（m）0，则 f（m 2+2m）f（m）=f （ m） ，当 x0 时，f（x）=（x+ 1） 2 为减函数，且 f（x） 1f（0） ，当 x0 时，f（x）=（x1 ） 2 为减函数，且 f（x） 1f （0） ，则函数 f（x ）在 R 上是减函数，则 m2+2mm，即 m2+3m0，则3 m0，即 m 的取值范围是（3，0 ） 19 （10
20、 分）设某等腰三角形的底角为 ，顶角为 ，且 cos= （）求 sin 的值；（）若函数 f（x）=tanx 在 ， 上的值域与函数 g（x ）=2sin （2x ）在0，m上的值域相同，求 m 的取值范围【解答】解：（）由题意，= 2，cos= =cos2=2sin21（0， ） ，sin= ；（）由题意，函数 f（x ）=tanx 在 ， 上单调递增，（0， ） ，sin= ，cos= ，tan=2，函数 f（x ）=tanx 在 ， 上的值域为 ， 2，函数 g（x ）=2sin （2x ）在0，m上的值域为 ，2，y=sinx 在 ，2m 上的取值范围是 ，1， 2m ， m 20 （
21、12 分）函数 f（x）=4sinxcos（x+ ）+1（0） ，其图象上有两点A（s ，t ） ，B（s+2，t） ，其中 2t2，线段 AB 与函数图象有五个交点（）求 的值；（）若函数 f（x）在x 1，x 2和x 3，x 4上单调递增，在x 2，x 3上单调递减，且满足等式 x4x3=x2x1= （ x3x2） ，求 x1、x 4 所有可能取值【解答】解：（）f（x ）=4sinxcos（x + ） +1= = = ，由于|AB|=2，且线段 AB 与函数 f（x）图象有五个交点，因此 ，故 =1；（）由（）得，函数 f（x ）= ，由题意知 ，因此 x4x3=x2x1= （x 3x2）= 即 ， 函数 f（x ）在x 1，x 2上单调递增，在x 2，x 3上单调递减，f（ x）在 x2 处取得最大值，即 =2，即 = =
