1、2016-2017 学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 20 分）.1 （3 分）已知 A=x|x7，B=x|x 2，则 AB= 2 （3 分）不等式 的解集是 3 （3 分）函数 f（x ）= 的定义域是 4 （3 分）若 x0，则函数 f（x）= +x 的最小值为 5 （3 分）若函数 ， ，则 f（x ）+g （x ）= 6 （3 分）不等式|2x1|3 的解集为 7 （3 分）设 f（x ）是 R 上的奇函数，当 x0 时，f （x）=2x 2x，则 f（1）= 8 （3 分）已知函数 ，则方程 f1（x）=4 的解 x= 9 （
2、4 分）若函数 f（x ） =x2+ 为偶函数，则实数 a= 10 （4 分）函数 y= 的值域是 11 （4 分）已知函数 f（ x）= ，且函数 F（x）=f（x）+xa 有且仅有两个零点，则实数 a 的取值范围是 12 （4 分）关于 x 的方程 4xk2x+k+3=0，只有一个实数解，则实数 k 的取值范围是 二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 32 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的13 （4 分） “x+y=3”是“x=1 且 y=2”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也必要条件14 （4 分）下列各对函数中，相同
3、的是（ ）Af （x）=lgx 2，g（x）=2lgxBf （x ）=lg ，g（x）=lg（x+1）lg （x 1）C f（ u）= ，g （v ）=Df（x ）=x，g（x）=15 （4 分）设 a，b 是非零实数，若 ab ，则下列不等式成立的是（ ）Aa 2 b2 Bab 2a 2bC D16 （4 分）若 f（x ）是 R 上的奇函数，且 f（x ）在 0，+）上单调递增，则下列结论：y=|f（x）|是偶函数；对任意的 xR 都有 f（x）+|f（x ）|=0；y=f（x）在（，0上单调递增；y=f（x）f （x）在（，0上单调递增其中正确结论的个数为（ ）A1 B2 C3 D4三、
4、解答题：本大题共 5 小题，共 44 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程17 （6 分）已知全集为 R，集合 A=x| 0，集合 B=x|2x+1|3求A（ RB） 18 （8 分）设函数 f（x ） =a （aR） （1）请你确定 a 的值，使 f（x ）为奇函数；（2）用单调性定义证明，无论 a 为何值，f（x ）为增函数19 （8 分）关于 x 的不等式 1+ （其中 kR，k 0） （1）若 x=3 在上述不等式的解集中，试确定 k 的取值范围；（2）若 k1 时，上述不等式的解集是 x（3，+） ，求 k 的值20 （10 分）已知 f（x）=（ ） 2（x1）（1）求 f（x）
5、的反函数及其定义域；（2）若不等式（1 ）f 1（x）a（a ）对区间 x ， 恒成立，求实数a 的取值范围21 （12 分）设 aR，函数 f（x ）=x |xa|+2x（1）若 a=3，求函数 f（x）在区间0，4上的最大值；（2）若存在 a（2，4，使得关于 x 的方程 f（x ） =tf（a ）有三个不相等的实数解，求实数 t 的取值范围2016-2017 学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 20 分）.1 （3 分）已知 A=x|x7，B=x|x 2，则 AB= x|2x 7 【解答】解：A=x|x 7，B=x
6、|x2，AB=x |2x7，故答案为：x|2x72 （3 分）不等式 的解集是 （4，2） 【解答】解：由不等式 可得 0，即 （x2） （x+4）0，解得4 x2，故不等式的解集为（4， 2） ，故答案为 （4，2） 3 （3 分）函数 f（x ）= 的定义域是 x|x 2 且 x1 【解答】解：由题意，要使函数有意义，则 ，解得，x1 且 x2；故函数的定义域为：x|x 2 且 x1，故答案为：x|x2 且 x14 （3 分）若 x0，则函数 f（x）= +x 的最小值为 2 【解答】解：x0，则函数 f（x）= +x2 =2 ，当且仅当 x= 时，f （x）取得最小值 2 故答案为：2
7、5 （3 分）若函数 ， ，则 f（x ）+g （x ）= 1 （0x1） 【解答】解： ；解 得，0x1； （0x1 ） 故答案为： 6 （3 分）不等式|2x1|3 的解集为 x |1x 2 【解答】解：|2x1|332x 131x 2，不等式|2x1|3 的解集为 x|1x2 故答案为：x|1x27 （3 分）设 f（x ）是 R 上的奇函数，当 x0 时，f （x）=2x 2x，则 f（1）= 3 【解答】解：f（x）是 R 上的奇函数，f（ 1）=f（1） ，当 x0 时，f（x）=2x 2x，f（ 1）=2+1=3，f（ 1）=f（ 1）= 3故答案为：38 （3 分）已知函数 ，
8、则方程 f1（x）=4 的解 x= 1 【解答】解：由题意得，即求 f（4）的值 ， ，f（ 4）=log 3（1+2）=1，f（ 4）=1即所求的解 x=1故答案为 19 （4 分）若函数 f（x ） =x2+ 为偶函数，则实数 a= 1 【解答】解：函数 f（x ）=x 2+ 为偶函数，f（ x）=f（x） ，即 x2 =x2+ ，则 =0，则 a=1，故答案为：110 （4 分）函数 y= 的值域是 （1， ） 【解答】解：函数 y= = =1 2 x+33 ，0 函数 y= 的值域是（ 1， ） 故答案为（1， ）11 （4 分）已知函数 f（ x）= ，且函数 F（x）=f（x）+x
9、a 有且仅有两个零点，则实数 a 的取值范围是 a1 【解答】解：由 F（x）=f（x ）+xa=0 得 f（x ）=x+a，作出函数 f（x）和 y=x+a 的图象如图：当直线 y=x+a 经过点 A（0，1）时，两个函数有两个交点，此时 1=0+a，即 a=1，要使两个函数有两个交点，则 a1 即可，故实数 a 的取值范围是 a1，故答案为：a112 （4 分）关于 x 的方程 4xk2x+k+3=0，只有一个实数解，则实数 k 的取值范围是 （，3）6 【解答】解：设 t=2x，t 0x 的方程 4xk2x+k+3=0 转化为 t2kt+k+3=0，设 f（t）=t 2kt+k+3，原方
10、程只有一个根，则换元以后的方程有一个正根，f（ 0）0，或 =0 ，k3，或 k=6故答案为（，3）6二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 32 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的13 （4 分） “x+y=3”是“x=1 且 y=2”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也必要条件【解答】解：当 x=0，y=3 时，满足 x+y=3，但 x=1 且 y=2 不成立，即充分性不成立，若 x=1 且 y=2，则 x+y=3 成立，即必要性成立，即“x+y=3”是“x=1 且 y=2”的必要不充分条件，故选：B14 （4 分）下列各对函
11、数中，相同的是（ ）Af （x）=lgx 2，g（x）=2lgxBf （x ）=lg ，g（x）=lg（x+1）lg （x 1）C f（ u）= ，g （v ）=Df（x ）=x，g（x）=【解答】解：对于 A：f（ x）=lgx 2，g（x）=2lgx 两个函数的定义域不同，不是相同的函数；对于 B：f（x）=lg ，g（x）=lg（x+1）lg （x 1）函数底的定义域不同，不是相同的函数；对于 C：f （u）= ，g（v）= ，满足相同函数的要求，是相同的函数；对于 D：f（x）=x，g（x）= ，定义域相同，都是对应关系以及值域不同，不是相同的函数故选 C15 （4 分）设 a，b 是
12、非零实数，若 ab ，则下列不等式成立的是（ ）Aa 2 b2 Bab 2a 2bC D【解答】解：A 选项不正确，因为 a=2，b=1 时，不等式就不成立；B 选项不正确，因为 a=1，b=2 时，不等式就不成立；C 选项正确，因为 ab ，故当 ab 时一定有 ；D 选项不正确，因为 a=1，b=2 时，不等式就不成立；选项正确，因为 y=2x 是一个增函数，故当 ab 时一定有 2a2 b，故选 C16 （4 分）若 f（x ）是 R 上的奇函数，且 f（x ）在 0，+）上单调递增，则下列结论：y=|f（x）|是偶函数；对任意的 xR 都有 f（x）+|f（x ）|=0；y=f（x）在
13、（，0上单调递增；y=f（x）f （x）在（，0上单调递增其中正确结论的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【解答】解：f（x）是 R 上的奇函数，且 f（x ）在0，+）上单调递增，y=|f（x）|是偶函数，故正确；对任意的 xR，不一定有 f（x）+|f（x ）|=0，故 不正确；y=f（x）在（，0上单调递减，故不正确；y=f（x）f （x）=f（x） 2 在（ ，0 上单调递增，故正确故选 B三、解答题：本大题共 5 小题，共 44 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程17 （6 分）已知全集为 R，集合 A=x| 0，集合 B=x|2x+1|3求A（ RB） 【解答】解：全集为 R，
14、集合 A=x| 0=x| 1x 3，集合 B=x|2x+1|3= x|2x+13 或 2x+1 3=x|x1 或 x 2，所以 RB=x|2x1，A（ RB）=x|1x118 （8 分）设函数 f（x ） =a （aR） （1）请你确定 a 的值，使 f（x ）为奇函数；（2）用单调性定义证明，无论 a 为何值，f（x ）为增函数【解答】解：（1）函数 f（x ）是 R 上的奇函数，f（ 0）=a =0，a=1；（2）证明：任取：x 1x 2R，f（ x1）f（x 2）=a a+ =2x 1x 2， ，又 0， ，f（ x1）f（x 2）0 ，即 f（x 1）f （x 2） ，f（ x）在 R
15、 上的单调递增19 （8 分）关于 x 的不等式 1+ （其中 kR，k 0） （1）若 x=3 在上述不等式的解集中，试确定 k 的取值范围；（2）若 k1 时，上述不等式的解集是 x（3，+） ，求 k 的值【解答】解：（1）由题意：x=3 时，不等式 1+ 化简为 ，即，可得（5k）k 0，解得：0k 5当 x=3 在上述不等式的解集中，k 的取值范围是（0，5）（2）不等式 1+ 化简可得 （其中 kR，k0） k1，可得： kx+2kk 2+x3不等式的解集是 x（3 ，+） ，x=3 是方程 kx+2k=k2+x3 的解即 3k+2k=k2，k0，k=5故得若 k1 时，不等式的解
16、集是 x（3，+）时 k 的值为 520 （10 分）已知 f（x）=（ ） 2（x1）（1）求 f（x）的反函数及其定义域；（2）若不等式（1 ）f 1（x）a（a ）对区间 x ， 恒成立，求实数a 的取值范围【解答】解；（1）x 1，0f（x）1令 y=（ ） 2（x 1） ，解得 x=，f 1（x）= （0x1） ；（2）f 1（x）= （0x1） ，不等式（1 ）f 1（x）a（a ）在区间 x ， 恒成立 在区间 x ， 恒成立，对区间 x ， 恒成立当 a=1 时，不成立，当 a1 时， a 在区间 x ， 恒成立，a （ ） min，1a 当 a1 时， a 在区间 x ， 恒
17、成立，a （ ） max，a 无解 综上：实数 a 的取值范围：1a 21 （12 分）设 aR，函数 f（x ）=x |xa|+2x（1）若 a=3，求函数 f（x）在区间0，4上的最大值；（2）若存在 a（2，4，使得关于 x 的方程 f（x ） =tf（a ）有三个不相等的实数解，求实数 t 的取值范围【解答】解：（1）当 a=3，x 0，4时，f（x ）=x|x3|+2x= ，可知函数 f（x）在区间0， 递增，在（ ，3上是减函数，在3，4递增，则 f（ ）= ，f（4）=12，所以 f（ x）在区间0，4 上的最大值为 f（4）=12（2）f（x ）= ，当 xa 时，因为 a2，所以 a所以 f（ x）在a，+）上单调递增当 xa 时，因为 a2，所以 a所以 f（ x）在（， ）上单调递增，在 ，a 上单调递减当 2a4 时，知 f（x ）在（ ， 和a，+ ）上分别是增函数，在 ，a上是减函数，当且仅当 2atf（a） 时，方程 f（ x）=tf（a ）有三个不相等的实数解即 1t = （a+ +4） 令 g（ a）=a + ，g （a）在 a（2，4时是增函数，故 g（ a） max=5实数 t 的取值范围是（1， ）
