1、2016-2017 学年山东省潍坊市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 M=0，2，则 M 的真子集的个数为（ ）A1 B2 C3 D42 （5 分）已知幂函数 y=f（x）的图象过点（ ，4） ，则 f（2）= （ ）A B1 C2 D43 （5 分）下列条件中，能判断两个平面平行的是（ ）A一个平面内的两条直线平行于另一个平面B一个平面内的无数条直线平行于另一个平面C平行于同一个平面的两个平面D垂直于同一个平面的两个平面4 （5 分）已知 a=log32，b=log
2、2 ，c=2 0.5，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aa b c Bbac Ccba Dcab5 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为0，2，则函数 f（x3）的定义域为（ ）A 3，1 B0，2 C2，5 D3，56 （5 分）已知直线 l1：（ m2）xy+5=0 与 l2：（m 2）x+（3m）y+2=0 平行，则实数 m 的值为（ ）A2 或 4 B1 或 4 C1 或 2 D47 （5 分）如图，关于正方体 ABCDA1B1C1D1，下面结论错误的是（ ）ABD平面 ACC1A1BACBDC A1B平面 CDD1C1D该正方体的外接球和内接球的半径之比为 2：18 （5 分）过
3、点 P（1，2） ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）Ax +y3=0 或 x2y=0 Bx+y3=0 或 2xy=0C xy+1=0 或 x+y3=0 Dxy+1=0 或 2xy=09 （5 分）已知函数 f（x）=（xa） （xb ） （其中 ab）的图象如图所示，则函数 g（ x）=b+log ax 的图象大致是（ ）A B C D10 （5 分）已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ，可得这个几何体的体积是（ ）A cm3 B cm3 C2cm 3 D4cm 311 （5 分）已知函数 y=f（x）的图象关于直线 x=1 对称，当 x1 时，f（x
4、 ）=|（ ） x1|，那么当 x1 时，函数 f（x ）的递增区间是（ ）A （ ，0 ） B （1，2） C （2，+） D （2，5）12 （5 分）已知点 M（a，b ）在直线 4x3y+c=0 上，若（a 1） 2+（b1） 2 的最小值为 4，则实数 c 的值为（ ）A 21 或 19 B11 或 9 C 21 或 9 D 11 或 19二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 （5 分）log 240log25= 14 （5 分）已知函数 f（ x）= 则 f（ f（e） ）= 15 （5 分）如图所示的正四棱台的上底面边长为 2，下底面边长为 8，高为
5、 3，则它的侧棱长为 16 （5 分）给出下列结论：已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，若 f（1）=2，f （3）=1，则 f（3）f（ 1） ；函数 y=log （x 22x）的单调递增减区间是（ ，0） ；已知函数 f（x）是奇函数，当 x0 时，f（x ）=x 2，则当 x0 时，f（x ）=x2；若函数 y=f（x）的图象与函数 y=ex 的图象关于直线 y=x 对称，则对任意实数x，y 都有 f（xy）=f（x）+f（y） 则正确结论的序号是 （请将所有正确结论的序号填在横线上） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17 （
6、10 分）已知全集 U=R，集合 A=x|0log 2x2，B=x|x3m4 或x8+m （m 6） （1）若 m=2，求 A（ UB） ；（2）若 A（ UB）= ，求实数 m 的取值范围18 （12 分）如图，在正三棱锥 PABC 中，D，E 分别是 AB，BC 的中点（1）求证：DE平面 PAC；（2）求证：ABPC 19 （12 分）已知ABC 的三个顶点坐标分别为 A（ 1，1） ，B（7，1） ，C（ 2，5） ，AB 边上的中线所在直线为 l（1）求直线 l 的方程；（2）若点 A 关于直线 l 的对称点为 D，求BCD 的面积20 （12 分）在如图所示的几何体中，四边形 DC
7、FE 为正方形，四边形 ABCD 为等腰梯形，ABCD，AC= ，AB=2BC=2 ，且 ACFB （1）求证：平面 EAC平面 FCB；（2）若线段 AC 上存在点 M，使 AE平面 FDM，求 的值21 （12 分）2016 年 9 月，第 22 届鲁台经贸洽谈会在潍坊鲁台会展中心举行，在会展期间某展销商销售一种商品，根据市场调查，每件商品售价 x（元）与销量 t（万元）之间的函数关系如图所示，又知供货价格与销量呈反比，比例系数为 20 （注：每件产品利润=售价供货价格）（1）求售价 15 元时的销量及此时的供货价格；（2）当销售价格为多少时总利润最大，并求出最大利润22 （12 分）已知
8、 aR，当 x0 时，f （x）=log 2（ +a） （1）若函数 f（x）过点（ 1，1） ，求此时函数 f（x）的解析式；（2）若函数 g（x）=f（x）+2log 2x 只有一个零点，求实数 a 的范围；（3）设 a0，若对任意实数 t ，1，函数 f（x）在t，t +1上的最大值与最小值的差不大于 1，求实数 a 的取值范围2016-2017 学年山东省潍坊市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 M=0，2，则 M 的真子集的个数为（ ）A1 B
9、2 C3 D4【解答】解：集合 M=0，2，M 的真子集的个数为：2 21=3故选：C2 （5 分）已知幂函数 y=f（x）的图象过点（ ，4） ，则 f（2）= （ ）A B1 C2 D4【解答】解：设 y=f（x）=x （ 为常数） ，幂函数 y=f（x）的图象过点（ ，4） ， ，解得 =1f（ x）=则 f（2）= 故选：A3 （5 分）下列条件中，能判断两个平面平行的是（ ）A一个平面内的两条直线平行于另一个平面B一个平面内的无数条直线平行于另一个平面C平行于同一个平面的两个平面D垂直于同一个平面的两个平面【解答】解：在 A 中，一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面
10、平行；一个平面内的两条直线平行线平行于另一个平面，则这两个平面相交或平行，故 A 错误；在 B 中，一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面相交或平行，故 B 错误；在 C 中，由平面平行的判定定理得平行于同一平面的两个平面互相平行，故 C正确；在 D 中，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故 D 错误故选：C4 （5 分）已知 a=log32，b=log 2 ，c=2 0.5，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aa b c Bbac Ccba Dcab【解答】解：a=log 32（0，1） ，b=log 2 0，c=2 0.51，cab，故选：B5 （5 分）已知函数 f（x
11、）的定义域为0，2，则函数 f（x3）的定义域为（ ）A 3，1 B0，2 C2，5 D3，5【解答】解：因为函数 f（x ）的定义域为0，2，所以 0x2，由 0x32，得 3x5，即函数的定义域为3，5，故选：D6 （5 分）已知直线 l1：（ m2）xy+5=0 与 l2：（m 2）x+（3m）y+2=0 平行，则实数 m 的值为（ ）A2 或 4 B1 或 4 C1 或 2 D4【解答】解：l 1l 2，m 2=0 时，两条直线化为： y+5=0，y+2=0 ，此时两条直线平行m20 时， ，解得 m=4综上可得：m=2 或 4故选：A7 （5 分）如图，关于正方体 ABCDA1B1C
12、1D1，下面结论错误的是（ ）ABD平面 ACC1A1BACBDC A1B平面 CDD1C1D该正方体的外接球和内接球的半径之比为 2：1【解答】解：由正方体 ABCDA1B1C1D1，知：在 A 中，BDAC，BD AA1，AC AA 1=A，BD平面 ACC1A1，故 A 正确；在 B 中，ABCD 是正方形， ACBD，故 B 正确；在 C 中， A 1BD 1C，A 1B平面 CDD1C1，D 1C平面 CDD1C1，故 A1B平面CDD1C1，故 C 正确；在 D 中，该正方体的外接球和内接球的半径之比为 = ：1故 D 错误故选：D8 （5 分）过点 P（1，2） ，并且在两坐标轴
13、上的截距相等的直线方程是（ ）Ax +y3=0 或 x2y=0 Bx+y3=0 或 2xy=0C xy+1=0 或 x+y3=0 Dxy+1=0 或 2xy=0【解答】解：当直线经过原点时，可得直线方程：y=2x当直线不经过原点时，可设直线方程为：x+y=a ，则 a=1+2=3可得直线方程为：x+y=3综上可得，直线方程为：x+y +3=0 或 2xy=0故选：B9 （5 分）已知函数 f（x）=（xa） （xb ） （其中 ab）的图象如图所示，则函数 g（ x）=b+log ax 的图象大致是（ ）A B C D【解答】解：函数 f（x） =（xa） （xb ） （其中 a b）的图象如
14、图所示，0a1 ，b1 ，0x1，函数 g（x）=b+log ax 是减函数，b1，函数 g（x ）=b +logax 的图象与 x 轴的交点位于（0，0）与（1，0）之间，故选：D10 （5 分）已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ，可得这个几何体的体积是（ ）A cm3 B cm3 C2cm 3 D4cm 3【解答】解：由已知中的三视图，可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面的面积 S=22=4cm2，高 h=3cm，故三棱锥的体积 V= =4cm3，故选：D11 （5 分）已知函数 y=f（x）的图象关于直线 x=1 对称，当 x1 时，f（x
15、）=|（ ） x1|，那么当 x1 时，函数 f（x ）的递增区间是（ ）A （ ，0 ） B （1，2） C （2，+） D （2，5）【解答】解：函数 y=f（x）的图象关于直线 x=1 对称，当 x1 时，f（x）=|（ ） x1|，可得 x1 时，f（x）=|（ ） 2x1|，即为 f（x）=|2 x21|，画出 x1 时，y=f（x）的图象，可得递增区间为（2，+） 故选：C12 （5 分）已知点 M（a，b ）在直线 4x3y+c=0 上，若（a 1） 2+（b1） 2 的最小值为 4，则实数 c 的值为（ ）A 21 或 19 B11 或 9 C 21 或 9 D 11 或 19
16、【解答】解：点 M（a，b ）在直线 4x3y+c=0 上，点（1，1）到此直线的最小距离 d= =2，解得 c=9 或11故选：B二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 （5 分）log 240log25= 3 【解答】解：log 240log25= =log28=3故答案为：314 （5 分）已知函数 f（ x）= 则 f（ f（e） ）= 2 【解答】解：函数 f（x ）=f（ e）=lne= 1，f（f（e） ）=f（1）=（ ） 1=2故答案为：215 （5 分）如图所示的正四棱台的上底面边长为 2，下底面边长为 8，高为 3，则它的侧棱长为 6 【解答】
17、解：连结 OA，OA ，过 A作 AEOA ，交 OA 于点 E，正四棱台的上底面边长为 2，下底面边长为 8，高为 3 ，AE= =3 ，AE=3 ，它的侧棱长 AA= =6故答案为：616 （5 分）给出下列结论：已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，若 f（1）=2，f （3）=1，则 f（3）f（ 1） ；函数 y=log （x 22x）的单调递增减区间是（ ，0） ；已知函数 f（x）是奇函数，当 x0 时，f（x ）=x 2，则当 x0 时，f（x ）=x2；若函数 y=f（x）的图象与函数 y=ex 的图象关于直线 y=x 对称，则对任意实数x，y 都有 f（xy）=f（x
18、）+f（y） 则正确结论的序号是 （请将所有正确结论的序号填在横线上） 【解答】解：已知函数 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，若 f（1）=2，f （3）=1，则 f（3）=f（3）=1f（1） ，正确；函数 y=log （x 22x）的单调递增减区间是（ 1，+） ，不正确；已知函数 f（x）是奇函数，当 x0 时，f（x ）=x 2，则当 x0 时，f（x ）=f（x ）=x 2，正确；若函数 y=f（x）的图象与函数 y=ex 的图象关于直线 y=x 对称，即 f（x ）=lnx，则对任意实数 x，y 都有 f（xy）=f （x）+f （y） ，正确故答案为三、解答题：本大题共 6
19、小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17 （10 分）已知全集 U=R，集合 A=x|0log 2x2，B=x|x3m4 或x8+m （m 6） （1）若 m=2，求 A（ UB） ；（2）若 A（ UB）= ，求实数 m 的取值范围【解答】解：全集 U=R，集合 A=x|0log 2x2=x|1x 4，B=x|x3m 4 或 x8+m （m 6 ） ；（1）当 m=2 时，B= x|x2 或 x10 ， UB=x|2x10，A（ UB）=x|2x4 ；（2） UB=x|3m4x8+m ，由 m6 知 UB，A（ UB） =时， 或 ，解得 m6，或 m7 ，实数 m
20、的取值范围是 m 7，或 m618 （12 分）如图，在正三棱锥 PABC 中，D，E 分别是 AB，BC 的中点（1）求证：DE平面 PAC；（2）求证：ABPC 【解答】证明：（1）在正三棱锥 PABC 中，D，E 分别是 AB，BC 的中点DEAC，DE平面 PAC，AC 平面 PAC，DE平面 PAC（2）连结 PD，CD，正三棱锥 PABC 中，D 是 AB 的中点，PDAB，CDAB，PDCD=D，AB平面 PDC，PC平面 PDC，ABPC19 （12 分）已知ABC 的三个顶点坐标分别为 A（ 1，1） ，B（7，1） ，C（ 2，5） ，AB 边上的中线所在直线为 l（1）求
21、直线 l 的方程；（2）若点 A 关于直线 l 的对称点为 D，求BCD 的面积【解答】解：（1）AB 中点坐标为（ 3，0） ，直线 l 的方程为 y= （x3） ，即 x+y3=0；（2）设 D（a，b） ，则 ，a=2 ，b=4 ，即 D（2，4 ） ，直线 BC 的方程为 y+1= （x 7） ，即 2x+3y11=0，D 到直线 BC 的距离 d= = ，|BC|= =3 ，BCD 的面积 S= = 20 （12 分）在如图所示的几何体中，四边形 DCFE 为正方形，四边形 ABCD 为等腰梯形，ABCD，AC= ，AB=2BC=2 ，且 ACFB （1）求证：平面 EAC平面 FC
22、B；（2）若线段 AC 上存在点 M，使 AE平面 FDM，求 的值【解答】证明：（1）在ABC 中，AC= ，AB=2BC=2，AC 2+BC2=AB2ACBC 又ACFB， BFCB=B ，AC平面 FBCAC平面平面 EAC，平面 EAC 平面 FCB（2）线段 AC 上存在点 M，且 M 为 AC 中点时，有 EA平面 FDM，证明如下：连接 CE 与 DF 交于点 N，连接 MN由 CDEF 为正方形，得 N 为 CE 中点EA MN MN平面 FDM，EA 平面 FDM，EA 平面 FDM所以线段 AC 上存在点 M，且 =1，使得 EA平面 FDM 成立21 （12 分）2016
23、 年 9 月，第 22 届鲁台经贸洽谈会在潍坊鲁台会展中心举行，在会展期间某展销商销售一种商品，根据市场调查，每件商品售价 x（元）与销量 t（万元）之间的函数关系如图所示，又知供货价格与销量呈反比，比例系数为 20 （注：每件产品利润=售价供货价格）（1）求售价 15 元时的销量及此时的供货价格；（2）当销售价格为多少时总利润最大，并求出最大利润【解答】解：（1）每件商品售价 x（元）与销量 t（万件）之间的函数关系为t=20x（ 0x20） ，设价格为 y，则 y= ，x=15 时，t=5 万件，y=4 万元；（2）总利润 L=（x ）t=xt 20=x（20x） 20 20=80，当且仅
24、当 x=10 元时总利润最大，最大利润 80 万元22 （12 分）已知 aR，当 x0 时，f （x）=log 2（ +a） （1）若函数 f（x）过点（ 1，1） ，求此时函数 f（x）的解析式；（2）若函数 g（x）=f（x）+2log 2x 只有一个零点，求实数 a 的范围；（3）设 a0，若对任意实数 t ，1，函数 f（x）在t，t +1上的最大值与最小值的差不大于 1，求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）aR，当 x0 时，f（x ）=log 2（ +a） 函数 f（ x）过点（1，1） ，f（ 1）=log 2（1+a）=1，解得 a=1，此时函数 f（x）=log 2（
25、+1） （x 0） （2）g（x）=f（x）+2log 2x= +2log2x=log2（x+ax 2） ，函数 g（x ）=f（x）+2log 2x 只有一个零点，g （x）=f（x）+2log 2x=log2（x +ax2）=0（ +a）x 2=1 化为 ax2+x1=0h（x）=ax 2+x=1 在（0，+）上只有一个解，当 a=0 时，h（x）=x1，只有一个零点，可得 x=1；当 a0 时，h（x）=ax 2+x1 在（0，+）上只有一个零点，当 a0 时，成立；当 a0 时，令=1+4a=0 解得 a= ，可得 x=2综上可得，a0 或 a= （3）f（x ）= ，f（x ）= ，当 x0 时，f（x ）0，f（x ）在t，t+1上的最大值与最小值分别是 f（t ）与f（t+1） ，由题意，得 f（t）f（t+1 ）1 ， 2，整理，得 a ，设 Q（ t）= ，Q（t）= ，当 t ，1 时，Q（t） 0，则 aQ （t） ， a Q （ ） ，解得 a 实数 a 的取值范围是 ，+）
