1、2016-2017 学年江苏省无锡市 XX 中学高一（上）期末数学试卷（强化班）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题纸相应位置上1 （5 分）已知 M=x|2x2，N= x|x1，则（ RM）N= 2 （5 分）设 x，yR ，向量 ， ， 且 ，则 x+y= 3 （5 分）已知向量 夹角为 45，且 ，则 = 4 （5 分）已知 cos= ，且 （ ，0） ，则 sin（ ）= 5 （5 分）设 2a=5b=m，且 + =2，m= 6 （5 分）将函数 y=sin（2x ）的图象先向左平移 个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不
2、变） ，那么所得图象的解析式为 y= 7 （5 分）若函数 的图象与 x 轴有公共点，则 m 的取值范围是 8 （5 分）设向量 ， 满足 ， =（2，1 ） ，且 与 的方向相反，则的坐标为 9 （5 分）若 是ABC 的一个内角，且 ，则 sincos 的值为 10 （5 分）已知角 的终边经过点 P（1，2） ，函数 f（x）=sin（x +）（0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，则 = 11 （5 分）已知 f（x ）= 是（，+）上的增函数，那么实数 a 的取值范围是 12 （5 分）如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E ，F 是 AD 上的两个三等分点， =4， =1
3、，则 的值是 13 （5 分）对于实数 a 和 b，定义运算“*”： ，设 f（x ）=（ 2x1）* （ x1） ，且关于 x 的方程为 f（x ）=m （m R）恰有三个互不相等的实数根 x1，x 2，x 3，则实数 m 的取值范围是 ；x 1+x2+x3 的取值范围是 14 （5 分）已知函数 f（ x）=sin（x+ ） （0，| | ） ，x= 为 f（x）的零点，x= 为 y=f（x）图象的对称轴，且 f（x）在（ ， ）单调，则 的最大值为 二、解答题：本大题共 6 题，共 90 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分）设函数 ，其中 02 ；（）若 f（x）
4、的最小正周期为 ，求 f（x ）的单调增区间；（）若函数 f（x）的图象的一条对称轴为 ，求 的值16 （14 分）已知ABC 中（1）设 = ，求证：ABC 是等腰三角形；（2）设向量 =（2sinC， ） ， =（sin2C，2cos 2 1） ，且 ，若 sinA= ，求 sin（ B）的值17 （14 分）如图，半径为 1，圆心角为 的圆弧 上有一点 C（1）若 C 为圆弧 AB 的中点，点 D 在线段 OA 上运动，求 | + |的最小值；（2）若 D，E 分别为线段 OA，OB 的中点，当 C 在圆弧 上运动时，求 的取值范围18 （16 分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙
5、上均装有如图所示的自动通风设施该设施的下部 ABCD 是矩形，其中 AB=2 米，BC=0.5 米上部CmD 是个半圆，固定点 E 为 CD 的中点EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风） ，MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆（MN 和 AB、DC 不重合） （1）当 MN 和 AB 之间的距离为 1 米时，求此时三角通风窗 EMN 的通风面积；（2）设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米，试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S（平方米）表示成关于 x 的函数 S=f（x） ；（3）当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗 EMN
6、 的通风面积最大？并求出这个最大面积19 （16 分）如图，正方形 ABCD 中边长为 1，P 、Q 分别为 BC、CD 上的点，CPQ 周长为 2（1）求 PQ 的最小值；（2）试探究求PAQ 是否为定值，若是给出证明；不是说明理由20 （16 分）已知函数 f（ x）=x|x a|+2x（1）若函数 f（x）在 R 上是增函数，求实数 a 的取值范围；（2）求所有的实数 a，使得对任意 x1，2时，函数 f（x ）的图象恒在函数g（ x）=2x+1 图象的下方；（3）若存在 a4，4，使得关于 x 的方程 f（x） =tf（a）有三个不相等的实数根，求实数 t 的取值范围高一（上）期末数学
7、试卷（强化班）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题纸相应位置上1 （5 分）已知 M=x|2x2，N= x|x1，则（ RM）N= x|x 2 【解答】解：M=x|2 x2，N=x |x1， RM=x|x2 或 x2，则（ RM）N= x|x2故答案为：x|x22 （5 分）设 x，yR ，向量 ， ， 且 ，则 x+y= 0 【解答】解： ， ， =2x4=0，2y+4=0，则 x=2，y=2x+y=0故答案为：03 （5 分）已知向量 夹角为 45，且 ，则 = 3 【解答】解： ， =1 =|2 |= = = =解得故答案
8、为：34 （5 分）已知 cos= ，且 （ ，0） ，则 sin（ ）= 【解答】解：cos= ，且 （ ，0） ，sin= = ，则 sin（）=sin= 故答案为：5 （5 分）设 2a=5b=m，且 + =2，m= 【解答】解：2 a=5b=m，a=log 2m，b=log 5m，由换底公式得，m 2=10，m 0，故应填6 （5 分）将函数 y=sin（2x ）的图象先向左平移 个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变） ，那么所得图象的解析式为 y= sin（ 4x+ ） 【解答】解：将函数 y=sin（2x ）的图象先向左平移 ，得到函数 y=sin2（x + ）
9、 =sin（2x + ）的图象，将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变） ，则所得到的图象对应的函数解析式为：y=sin（4x + ）故答案为：sin（4x+ ） 7 （5 分）若函数 的图象与 x 轴有公共点，则 m 的取值范围是 1， 0） 【解答】解：作出函数 的图象如图，由图象可知0g（x）1，则 mg （x）+m1+m，即 mf （x）1+m，要使函数 的图象与 x 轴有公共点，则 ，解得1m0 故答案为：1，0） 8 （5 分）设向量 ， 满足 ， =（2，1 ） ，且 与 的方向相反，则的坐标为 （4，2） 【解答】解：设 =（x ，y） ， 与 的方向相反， =
10、（ 2，） ， （0） 又 ， =2 ，解得 =2， =（ 4，2） 故答案为：（4，2） 9 （5 分）若 是ABC 的一个内角，且 ，则 sincos 的值为 【解答】解： 是ABC 的一个内角，且 ，sin0，cos0，sincos= = = = ，故答案为 10 （5 分）已知角 的终边经过点 P（1，2） ，函数 f（x）=sin（x +）（0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，则 = 【解答】解：函数 f（x） =sin（x +）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，函数 f（x ）的周期 T= ，0=3角 的终边经过点 P（1，2） ，sin= ，cos= =sin（3 +）=
11、sin （ +）= （sin+cos）= （ ）=故答案为：11 （5 分）已知 f（x ）= 是（，+）上的增函数，那么实数 a 的取值范围是 【解答】解：f（x）= 是（ ，+）上的增函数， ，解得： ，故答案为：12 （5 分）如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E ，F 是 AD 上的两个三等分点， =4， =1，则 的值是 【解答】解：D 是 BC 的中点， E，F 是 AD 上的两个三等分点， = + ， = + ，= +3 ， = +3 ， = 2 2=1， =9 2 2=4， 2= ， 2= ，又 = +2 ， = +2 ， =4 2 2= ，故答案为：13 （5 分）对
12、于实数 a 和 b，定义运算“*”： ，设 f（x ）=（ 2x1）* （ x1） ，且关于 x 的方程为 f（x ）=m （m R）恰有三个互不相等的实数根 x1，x 2，x 3，则实数 m 的取值范围是 ；x 1+x2+x3 的取值范围是 【解答】解： ，f（ x）= （2x1）*（x 1）= ，则当 x=0 时，函数取得极小值 0，当 x= 时，函数取得极大值故关于 x 的方程为 f（x）=m（mR）恰有三个互不相等的实数根 x1，x 2，x 3 时，实数 m 的取值范围是令 f（x）= ，则 x= ，或 x=不妨令 x1x 2x 3 时则 x 10，x 2+x3=1x 1+x2+x3
13、的取值范围是故答案为： ，14 （5 分）已知函数 f（ x）=sin（x+ ） （0，| | ） ，x= 为 f（x）的零点，x= 为 y=f（x）图象的对称轴，且 f（x）在（ ， ）单调，则 的最大值为 9 【解答】解：函数 f（x ）=sin（x +） （0， | ） ，x= 为 f（x）的零点，x= 为 y=f（x）图象的对称轴，（ ）+=n，nZ，且 +=n+ ，nZ ，相减可得 =（nn） + =k+ ，kZ ，即 =2k+1，即 为奇数f（ x）在（ ， ）单调，（1）若 f（x）在（ ， ）单调递增，则 + 2k ，且 +2k+ ，kZ，即 2k+ ，且 +2k+ ， kZ
14、，把可得 ，12，故有奇数 的最大值为 11当 =11 时， +=k， kZ，| ，= 此时 f（ x）=sin（11x ）在（ ， ）上不单调，不满足题意当 =9 时， +=k， kZ，| ，= ，此时 f（ x）=sin（9x+ ）在（ ， ）上单调递减，不满足题意；故此时 无解（2）若 f（x）在（ ， ）单调递减，则 + 2k+ ，且 +2k+ ，k Z，即 2k ，且 +2k+ ， kZ ，把可得 ，12，故有奇数 的最大值为 11当 =11 时， +=k， kZ，| ，= 此时 f（ x）=sin（11x ）在（ ， ）上不单调，不满足题意当 =9 时， +=k， kZ，| ，=
15、，此时 f（ x）=sin（9x+ ）在（ ， ）上单调递减，满足题意；故 的最大值为 9故答案为：9二、解答题：本大题共 6 题，共 90 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分）设函数 ，其中 02 ；（）若 f（x）的最小正周期为 ，求 f（x ）的单调增区间；（）若函数 f（x）的图象的一条对称轴为 ，求 的值【解答】解：（）f（x ）= sin2x+ （2 分）=sin（2x+ ）+ （3 分）T=，0， ，=1（ 4 分）令 ，（5 分）得 ，（6 分）所以 f（ x）的单调增区间为： （7 分）（） 的一条对称轴方程为 ， （9 分） （11 分）又 02，
16、k=0， （13 分）16 （14 分）已知ABC 中（1）设 = ，求证：ABC 是等腰三角形；（2）设向量 =（2sinC， ） ， =（sin2C，2cos 2 1） ，且 ，若 sinA= ，求 sin（ B）的值【解答】 （1）证明： = ， ， ，即 ABC 是等腰三角形；（2）解： =（2sinC， ） ， =（sin2C，2cos 2 1） ，且 ，则 ，则 ，得 ，sin2C=0，C （0，） ， ， ， ， 17 （14 分）如图，半径为 1，圆心角为 的圆弧 上有一点 C（1）若 C 为圆弧 AB 的中点，点 D 在线段 OA 上运动，求 | + |的最小值；（2）若 D
17、，E 分别为线段 OA，OB 的中点，当 C 在圆弧 上运动时，求 的取值范围【解答】解：（1）以 O 为原点，OA 为 x 轴建立直角坐标系，则设 D（t，0） （0t1） ，则 ，所以 ，当 时， （2）由题意 ，设 C（cos，sin） ，所以 =因为 ，则 ，所以18 （16 分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该设施的下部 ABCD 是矩形，其中 AB=2 米，BC=0.5 米上部CmD 是个半圆，固定点 E 为 CD 的中点EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风） ，MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩
18、横杆（MN 和 AB、DC 不重合） （1）当 MN 和 AB 之间的距离为 1 米时，求此时三角通风窗 EMN 的通风面积；（2）设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米，试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S（平方米）表示成关于 x 的函数 S=f（x） ；（3）当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗 EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积【解答】解：（1）由题意，当 MN 和 AB 之间的距离为 1 米时，MN 应位于 DC上方，且此时EMN 中 MN 边上的高为 0.5 米，又因为 EM=EN=1 米，所以MN= 米，所以 ，即三角通风窗 EMN 的通风面积为（2）当
19、 MN 在矩形区域内滑动，即 时，EMN 的面积；当 MN 在半圆形区域内滑动，即 时， EMN 的面积综上可得 ；（3）当 MN 在矩形区域内滑动时，f（x）在区间 上单调递减，则f（x）f（0）= ；当 MN 在半圆形区域内滑动，等号成立时，因此当 （米）时，每个三角形得到最大通风面积为 平方米19 （16 分）如图，正方形 ABCD 中边长为 1，P 、Q 分别为 BC、CD 上的点，CPQ 周长为 2（1）求 PQ 的最小值；（2）试探究求PAQ 是否为定值，若是给出证明；不是说明理由【解答】解：设CPQ= ，则 CP=PQcos，CQ=PQsin（1） （ ）（2）分别以 AB，AD
20、 所在直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设 Q（ x，1） ，P （1，y） ，设 DAQ=，PAB= ，即 xy+（x+y ）=1又 tan=x，tan=y ，20 （16 分）已知函数 f（ x）=x|x a|+2x（1）若函数 f（x）在 R 上是增函数，求实数 a 的取值范围；（2）求所有的实数 a，使得对任意 x1，2时，函数 f（x ）的图象恒在函数g（ x）=2x+1 图象的下方；（3）若存在 a4，4，使得关于 x 的方程 f（x） =tf（a）有三个不相等的实数根，求实数 t 的取值范围【解答】解：（1）由 f（x）在 R 上是增函数，则 即2a2，则 a 范围为2
21、a 2；（ 4 分）（2）由题意得对任意的实数 x1，2，f（x）g（x）恒成立，即 x|xa|1，当 x1，2恒成立，即 ， ，故只要 且 在 x1，2上恒成立即可，在 x1，2时，只要 的最大值小于 a 且 的最小值大于 a 即可， （6 分）而当 x1，2时， ， 为增函数， ；当 x1，2时， ， 为增函数， ，所以 ；（10 分）（3）当2a2 时，f （x）在 R 上是增函数，则关于 x 的方程 f（x）=tf（a ）不可能有三个不等的实数根；（11 分）则当 a（2，4时，由 得 xa 时，f（x）=x2+（2a ）x 对称轴 ，则 f（x）在 xa，+）为增函数，此时 f（x）的值域为f（a） ，+）=2a，+） ，xa 时，f（x ）= x2+（2+a）x 对称轴 ，则 f（x）在 为增函数，此时 f（x）的值域为 ，f（x）在 为减函数，此时 f（x）的值域为 ；由存在 a（2，4，方程 f（x）=tf（a）=2ta 有三个不相等的实根，则，即存在 a（2，4，使得 即可，令 ，只要使 t（ g（a） ） max 即可，而 g（a）在 a（2，4上是增函数，故实数 t 的取值范围为 ；（15 分）同理可求当 a4，2）时，t 的取值范围为 ；综上所述，实数 t 的取值范围为 （16 分）
