1、2016-2017 学年辽宁省抚顺市六校联合体高一（上）期末数学试卷一.选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （5 分）若全集 U=1，2，3，4，5，6，A=1， 2，B= 2，3，4 ，则A UB（ ）A1 ，2 ，5 ，6 B 1 C2 D1，2，3，42 （5 分）2003 年至 2015 年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这 13 年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）Af （x）=ax 2+bx+c Bf（x）=ae x+b Cf（x） =eax+b Df （x）=al
2、nx +b3 （5 分）过点（1，3）且与直线 x2y+3=0 平行的直线方程为（ ）Ax 2y+7=0B2x+y1=0 Cf（x） Df（5x）f（3x +4）4 （5 分）函数 f（x ）= ，若 f（a ）=1，则 a 的值是（ ）A2 B1 C1 或 2 D1 或 25 （5 分）已知幂函数 y=f（x）的图象经过点（2， ） ，则 f（4）的值为（ ）A16 B2 C D6 （5 分）已知点 P（a，b ）和点 Q（b 1，a +1）是关于直线 l 对称的两点，则直线 l 的方程为（ ）Ax +y=0 Bxy=0 Cxy+1=0 Dx+y 1=07 （5 分）设 a=log410，b
3、=log 23，c=2 0.5，则（ ）Aa c b Bbca Cab c Dcba8 （5 分）设 ， 是两个不同的平面， m，n 是两条不同的直线，给出下列四个论断mn；m；n以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，则一共可以写出真命题的个数为（ ）A1 B2 C3 D49 （5 分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，那么此几何体的表面积（单位：cm 2）是（ ）A102 B128 C144 D18410 （5 分）已知函数 y=f（x） （x R）是奇函数且当 x（0，+）时是减函数，若 f（1）=0，则函数 y=f（x 22x）的零点共有（ ）A4 个 B6 个 C3
4、个 D5 个11 （5 分）利用“长方体 ABCDA1B1C1D1 中，四面体 A1BC1D”的特点，求得四面体 PMNR（其中 PM=NR= ，PN=MR= ，MN=PR= ）的外接球的表面积为（ ）A14 B16 C13 D1512 （5 分）对于函数 f（ x） ，若在其定义域内存在两个实数 a，b（a b） ，当xa，b时， f（x）的值域也是a，b ，则称函数 f（x）为“Kobe 函数”若函数 f（x）=k+ 是“Kobe 函数” ，则实数 k 的取值范围是（ ）A 1，0 B1，+） C D二.填空题（本大题共 4 道小题，每道小题 5 分，满分 20 分. ）13 （5 分）已
5、知集合 A=x|x22x+a0，且 1A，则实数 a 的取值范围是 14 （5 分）在ABC 中， AB=2，BC=1 ，ABC=120若将ABC 绕直线 BC 旋转一周，则所形的旋转体的体积是 15 （5 分）直线 和 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，以线段 AB 为一边在第一象限内作等边ABC，则点 C 的坐标为 16 （5 分）下列四个命题中，正确的是 （写出所有正确命题的序号）函数 f（x ）的定义域为 0，2，则函数 f（2x）的定义域为0，4；设集合 A=1，0，1，B= 1，1，则在 A 到 B 的所有映射中，偶函数共有 4个；不存在实数 a，使函数 的值域为（0，1函数 在2
6、，+）上是减函数，则4a4三.解答题（本大题共 6 道小题，满分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17 （10 分）如图，在平行四边形 OABC 中，过点 C（1，3）做 CDAB，垂足为点 D，试求 CD 所在直线的一般式方程18 （12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=16，BC=10，AA 1=8，点 E，F分别在 A1B1，D 1C1 上，A 1E=D1F=4过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（）在图中画出这个正方形（保留画图痕迹，不用说明画法和理由）（）求平面 把该长方体分成的两部分中较小部分的体积19 （12 分）
7、已知集合 A=（， 1）（3，+） ，B=x|x 24x+a=0，aR （）若 AB ，求 a 的取值范围；（）若 AB=B，求 a 的取值范围20 （12 分）为了绿化城市，准备在如图所示的区域 ABCDE 内修建一个矩形PQRD 的草坪，其中AED=EDC=DCB=90 ，点 Q 在 AB 上，且PQ CD，QRCD ，经测量 BC=70m，CD=80m ，DE=100m ，AE=60m 问应如何设计才能使草坪的占地面积最大？并求出最大面积（精确到 1m2） 21 （12 分）如图，PA 垂直于矩形 ABCD 所在平面， AEPB，垂足为E， EF PC 垂足为 F（）设平面 AEFPD=
8、G，求证：PCAG；（）设 PA= ，M 是线段 PC 的中点，求证：DM平面 AEC22 （12 分）已知 f（x）是定义在 1，1上的奇函数，且 f（1）=1，若m，n1，1，m+n0 时，有 0（）证明 f（x）在1，1上是增函数；（）解不等式 f（x 21） +f（3 3x）0（）若 f（x）t 22at+1 对x 1，1，a1，1恒成立，求实数 t 的取值范围2016-2017 学年辽宁省抚顺市六校联合体高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （5 分）若全集 U=1，2，3，
9、4，5，6，A=1， 2，B= 2，3，4 ，则A UB（ ）A1 ，2 ，5 ，6 B 1 C2 D1，2，3，4【解答】解：全集 U=1，2，3，4，5，6，A=1，2，B=2，3，4，C UB=1，5，6，A UB=1故选：B2 （5 分）2003 年至 2015 年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这 13 年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）Af （x）=ax 2+bx+c Bf（x）=ae x+b Cf（x） =eax+b Df （x）=alnx +b【解答】解：由图象可得：这 13 年间电影放映场次逐年变化规律的是随着 x 的增大，
10、f（x ）逐渐增大，图象逐渐上升对于 Af（x）=ax 2+bx+c，取 a0， 0，可得满足条件的函数；对于 B取 a0，b0，可得满足条件的函数；对于 C取 a0 ，b0，可得满足条件的函数；对于 Da0 时，为“ 上凸函数 ”，不符合图象的特征；a0 时，为单调递减函数，不符合图象的特征故选：D3 （5 分）过点（1，3）且与直线 x2y+3=0 平行的直线方程为（ ）Ax 2y+7=0B2x+y1=0 Cf（x） Df（5x）f（3x +4）【解答】解：设过点（1，3）且与直线 x2y+3=0 平行的直线方程为 x2y+m=0，把点（ 1，3）代入直线方程得123+m=0，m=7，故所
11、求的直线方程为 x2y+7=0，故选 A4 （5 分）函数 f（x ）= ，若 f（a ）=1，则 a 的值是（ ）A2 B1 C1 或 2 D1 或 2【解答】解：若 a2，则由 f（a）=1 得，3 a2=1，即 a2=0，a=2此时不成立若 a2，则由 f（a）=1 得， log =1，得 a21=3，即 a2=4，a=2，故选：A5 （5 分）已知幂函数 y=f（x）的图象经过点（2， ） ，则 f（4）的值为（ ）A16 B2 C D【解答】解：设幂函数为 y=x，幂函数 y=f（x）的图象经过点（2， ） ， =2，解得 = y=x f（4）= = 故选：C6 （5 分）已知点 P
12、（a，b ）和点 Q（b 1，a +1）是关于直线 l 对称的两点，则直线 l 的方程为（ ）Ax +y=0 Bxy=0 Cxy+1=0 Dx+y 1=0【解答】解：点 P（a， b）与 Q（b 1，a+1） （ab1）关于直线 l 对称，直线 l 为线段 PQ 的中垂线， PQ 的中点为（ ， ） ，PQ 的斜率为=1，直线 l 的斜率为 1，即直线 l 的方程为 y1（x ） ，化简可得 xy+1=0故选：C7 （5 分）设 a=log410，b=log 23，c=2 0.5，则（ ）Aa c b Bbca Cab c Dcba【解答】解：a=log 410= b=log 23 =1.5
13、，c=20.5= ，a b c 故选：C8 （5 分）设 ， 是两个不同的平面， m，n 是两条不同的直线，给出下列四个论断mn；m；n以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，则一共可以写出真命题的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【解答】解：同垂直于一个平面的两条直线互相平行，同垂直于两个平行平面的两条直线也互相平行故同理， ， 为真命题故选 D9 （5 分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，那么此几何体的表面积（单位：cm 2）是（ ）A102 B128 C144 D184【解答】解：由三视图知几何体为正四棱锥，且底面正方形的边长为 8，斜高为 5，其直观图如图：几何体的表
14、面积 S=82+4 85=144故选 C10 （5 分）已知函数 y=f（x） （x R）是奇函数且当 x（0，+）时是减函数，若 f（1）=0，则函数 y=f（x 22x）的零点共有（ ）A4 个 B6 个 C3 个 D5 个【解答】解：根据题意，函数 y=f（x ）是定义域为 R 的奇函数，则 f（0）=0，当 x（0，+）时是减函数，且 f（1）=0，则函数在（ 0，+）上只有一个零点，若函数 y=f（x）是奇函数且当 x（0，+）时是减函数，则 f（x）在（，0）为减函数，又由 f（ 1）=0，则 f（1）= f（1）=0 ，则函数在（ ，0）上只有一个零点，故函数 y=f（x）共有
15、3 个零点，依次为 1、0、1，对于 y=f（x 22x） ，当 x22x=1，解可得 x=1，当 x22x=0，解可得 x=0 或 2，当 x22x=1，解可得 x=1+ 或 1 ，故 y=f（x 22x）的零点共有 5 个；故选：D11 （5 分）利用“长方体 ABCDA1B1C1D1 中，四面体 A1BC1D”的特点，求得四面体 PMNR（其中 PM=NR= ，PN=MR= ，MN=PR= ）的外接球的表面积为（ ）A14 B16 C13 D15【解答】解：由题意，构造长方体，使得面上的对角线长分别为 ， ，则长方体的对角线长等于四面体 PMNR 外接球的直径设长方体的棱长分别为 x，y
16、 ，z，则 x2+y2=10，y 2+z2=13，x 2+z2=5，x 2+y2+z2=14三棱锥 OABC 外接球的直径为 ，三棱锥 SABC 外接球的表面积为 14=14，故选 A12 （5 分）对于函数 f（ x） ，若在其定义域内存在两个实数 a，b（a b） ，当xa，b时， f（x）的值域也是a，b ，则称函数 f（x）为“Kobe 函数”若函数 f（x）=k+ 是“Kobe 函数” ，则实数 k 的取值范围是（ ）A 1，0 B1，+） C D【解答】解：由题意，当 xa，b 时，f（x ）的值域也是a ，b，可知函数f（x）是增函数，其图象与 y=x 有两个不同的交点，可得：x
17、=k + ，必有两个不相等的实数根即：xk= ， ，即 x1，1 k0，可得 k1那么：（xk） 2=x1 有两个不相等的实数根其判别式0，即（2k+1） 24k240，解得：k ，实数 k 的取值范围是（ ，1故选 D二.填空题（本大题共 4 道小题，每道小题 5 分，满分 20 分. ）13 （5 分）已知集合 A=x|x22x+a0，且 1A，则实数 a 的取值范围是 （，1 【解答】解：根据 1A，可知，集合 A 在实数集当中没有元素 1，又集合 A 中的元素是由一元二次不等式构成的解集，故问题可转化为一元二次不等式没有实数 1由 122+a0解得 a1故答案为：（，114 （5 分）
18、在ABC 中， AB=2，BC=1 ，ABC=120若将ABC 绕直线 BC 旋转一周，则所形的旋转体的体积是 【解答】解：依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以 OA= ， OB=1，所以旋转体的体积： =，故答案为：15 （5 分）直线 和 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，以线段 AB 为一边在第一象限内作等边ABC，则点 C 的坐标为 【解答】解：由题意，A（ ，0） ，B （0，1） ，则|AB|=2，ACx 轴，点 C 的坐标为 故答案为 16 （5 分）下列四个命题中，正确的是 （写出所有正确命题的序号）函数 f（x ）的定义域为 0，2，则函数 f（2x）的定义域为
19、0，4；设集合 A=1，0，1，B= 1，1，则在 A 到 B 的所有映射中，偶函数共有 4个；不存在实数 a，使函数 的值域为（0，1函数 在2，+）上是减函数，则4a4【解答】解：对于，函数 f（x ）的定义域为0， 2，02x2，则函数f（2x）的定义域为0，1，故错；对于，依题意可知 f（1）=f（1） ，进而分值域中有 1、2 个元素进行讨论当值域中只有一个元素时，此时满足题意的映射有 2 种，当值域中有两个元素时，此时满足题意的映射有 2 个，共有 4 个，故正确；对于，若存在实数 a，使函数 的值域为（0，1时，ax2+2ax+3 的值域为（，0，即 ，a，故正确；对于，函数 在
20、2，+）上是减函数，则令t=x2ax+3a，则由函数 f（x ）=g（t）= 在区间2，+）上为减函数，可得函数 t 在区间 2，+ ）上为增函数且 t（2） 0，解得 4a 4，故正确故答案为：三.解答题（本大题共 6 道小题，满分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17 （10 分）如图，在平行四边形 OABC 中，过点 C（1，3）做 CDAB，垂足为点 D，试求 CD 所在直线的一般式方程【解答】解：因为点 O（0 ，0） ，点 C（1，3） ，所以 OC 所在直线的斜率为 （2 分） ，在平行四边形 OABC 中，AB OC，因为 CDAB，所以 CDOC 所以 C
21、D 所在直线的斜率为 （6 分）所以 CD 所在直线方程为 ，即 x+3y10=0 （10 分）18 （12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=16，BC=10，AA 1=8，点 E，F分别在 A1B1，D 1C1 上，A 1E=D1F=4过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（）在图中画出这个正方形（保留画图痕迹，不用说明画法和理由）（）求平面 把该长方体分成的两部分中较小部分的体积【解答】解：（）交线围成的正方形 EHGF，如图，在面 ABCD 中做 HG 平行于 BC，连接 EH，FG 且 HB=GC=6，则 EF 平行且等于 HG，所以四边形
22、EFGH 是平行四边形，EF 平行于 A1D1，所以 EF 垂直面 A1AB1B，所以 EF 垂直于 EH，且由题意得 EH=FG=10，所以 EFGH 是正方形 （6 分）（）由图形可以看出左半部分体积小（2 分） ，所以平面 把该长方体分成的两部分中较小部分的体积：（6 分）19 （12 分）已知集合 A=（， 1）（3，+） ，B=x|x 24x+a=0，aR （）若 AB ，求 a 的取值范围；（）若 AB=B，求 a 的取值范围【解答】解：令 f（x）=x 24x+a=（x 2） 2+a4，则对称轴为 x=2，（）由题意得 B，=164a0，解得 a4 AB，又 A= （， 1）（3
23、，+） ，f（ 3）0，解得 a3，由得，实数 a 的取值范围为（，3） （）AB=B，BA，当=164a0，即 a4 时，B=，这时满足 AB=B，当=164a0 时，B，此时 a4，BA，f（ 1）0，解得 a5，由，得 a5综上所述，得实数 a 的取值范围为（， 5）4，+） 20 （12 分）为了绿化城市，准备在如图所示的区域 ABCDE 内修建一个矩形PQRD 的草坪，其中AED=EDC=DCB=90 ，点 Q 在 AB 上，且PQ CD，QRCD ，经测量 BC=70m，CD=80m ，DE=100m ，AE=60m 问应如何设计才能使草坪的占地面积最大？并求出最大面积（精确到 1
24、m2） 【解答】解：如图，以 BC 边所在直线为 x 轴， ，以 AE 边所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A（0，20） ，B （30，0） 所以直线 AB 的方程为：+ =1， （4 分）即设 ，则矩形 PQRD 的面积为（0x30） （8 分）化简，得 （0x30 ）配方， （0x30 ） （12 分）易得当 x=5，y= 时，S 最大，其最大值为 Smax 6017m2（14 分）21 （12 分）如图，PA 垂直于矩形 ABCD 所在平面， AEPB，垂足为E， EF PC 垂足为 F（）设平面 AEFPD=G，求证：PCAG；（）设 PA= ，M 是线段 PC 的中点，求证
25、：DM平面 AEC【解答】证明：（）PA平面 ABCD，BC平面 ABCD，BC PA；又BCAB，PAAB=A，BC 平面 ABP；而 AE平面 ABP，AE BC ，又AEPB ，PB BC=B ，AE 平面 PBC；PC平面 PBC，PC AE，又PCEF，EFAE=E，PC平面 AEFG，AG平面 AEFG，PC AG（6 分）（） ，PE=2，BE=1，即 PE=2EB，取 PE 中点 N，连结 MN，ND，BD，AC，设 BDAC=O，连结 EO，则在PEC 中，PN=NE，PM=MC，MNEC，同理 NDEO ，MNND=N，平面 MND平面 AEC，又DM 平面 DMN，DM平
26、面 AEC（12 分）22 （12 分）已知 f（x）是定义在 1，1上的奇函数，且 f（1）=1，若m，n1，1，m+n0 时，有 0（）证明 f（x）在1，1上是增函数；（）解不等式 f（x 21） +f（3 3x）0（）若 f（x）t 22at+1 对x 1，1，a1，1恒成立，求实数 t 的取值范围【解答】解：（）任取1x 1x 21，则 ，1 x 1x 21，x 1+（ x2）0，由已知 ，f（ x1）f（x 2）0 ，即 f（x 1）f（x 2） ，f（ x）在1，1上是增函数；（）f（x）是定义在 1，1上的奇函数，且在1，1上是增函数，不等式化为 f（x 21） f（3x3） ， ，解得 ；（）由（）知 f（x）在 1，1上是增函数，f（ x）在1，1上的最大值为 f（1）=1 ，要使 f（ x）t 22at+1 对 x1，1恒成立，只要 t22at+11 t22at0，设 g（ a）=t 22at，对a 1，1，g（a）0 恒成立， ，t2 或 t2 或 t=0
