1、2016-2017 学年湖北省武汉市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1 （5 分）设集合 M=x|x2=x，N=x |lgx0，则 MN=（ ）A0 ，1 B （0，1 C0，1） D （ ，12 （5 分）已知函数 f（x）=x 2+1，那么 f（a+1）的值为（ ）Aa 2+a+2 Ba 2+1 Ca 2+2a+2 Da 2+2a+13 （5 分） 的值是（ ）A B C D4 （5 分）要得到函数 y=sinx 的图象，只需将函数 y=cos（x ）的图象（ ）A向右平移 个单位
2、B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向左平移 个单位5 （5 分）设 a=20.1，b=lg ，c=log 3 ，则 a，b ，c 的大小关系是（ ）Ab c a Bacb Cb ac Dab c6 （5 分）函数 y= 的最小正周期为（ ）A2 B C D7 （5 分）已知函数 是定义在（b ，b）上的奇函数， （a ，bR 且a 2） ，则 ab 的取值范围是（ ）A B C D8 （5 分）若 sin（ ）= ，且 a（， ） ，则 sin（ + ）= （ ）A B C D9 （5 分）若函数 f（x ）的零点与 g（x ）=lnx +2x8 的零点之差的绝对值不超过0.5，则 f（
3、x）可以是（ ）A Bf（x）=（x 4） 2 Cf（x） =ex21 Df （x）=3x 610 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）对任意 0x 2x 1 都有1且函数 y=f（x）的图象关于原点对称，若 f（2）=2 ，则不等式 f（ x）x0 的解集是（ ）A （ 2，0）（0，2 ） B （ ，2）（2，+） C （ ，2）（0，2）D （2， 0）（2，+）11 （5 分）f（x ）=Asin （ x+） （A 0，0）在 上单调，则 的最大值为（ ）A B C1 D12 （5 分）若函数 f（x ） =x2+ex （x0）与 g（x）=x 2+ln（x+a）图象上存在关于 y
4、 轴对称的点，则 a 的取值范围是（ ）A （ ） B （ ） C （ ） D （ ）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）若函数 f（x ） = 的定义域为0，2，则函数 g（x）=的定义域为 14 （5 分）计算： = 15 （5 分）已知 （ ，） ， + =2 ，则 cos（2+ ）的值为 16 （5 分）已知集合 |f（x）=sin （x2 ）+cos（x2 ） 为奇函数，且|loga|1的子集个数为 4，则 a 的取值范围为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17 （10 分）已知幂函数
5、f（x ）=x （m N*）的图象经过点 （1）试求 m 的值并写出该幂函数的解析式；（2）试求满足 f（1 +a）f （3 ）的实数 a 的取值范围18 （12 分）已知 （1）化简 f（） ；（2）若 是第三象限角，且 ，求 f（）的值19 （12 分）已知函数 f（ x）=2 x （）若 f（x）=2，求 x 的值；（）若 2tf（ 2t）+mf（t）0 对于 t1，2恒成立，求实数 m 的取值范围20 （12 分）已知函数为偶函数，且函数的y=f（x）图象相邻的两条对称轴间的距离为 （1）求 的值；（2）将 y=f（x）的图象向右平移 个单位后，再将所得的图象上个点的横坐标伸长为原来的
6、 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g（x）的图象，求 y=g（x）的单调区间，并求其在 上的最值21 （12 分）现有一圆心角为 ，半径为 12cm 的扇形铁皮（如图） P，Q 是弧 AB 上的动点且劣弧 的长为 2cm，过 P，Q 分别作与 OA，OB 平行或垂直的线，从扇形上裁剪出多边形 OHPRQT，将该多边形面积表示为角 的函数，并求出其最大面积是多少？22 （12 分）函数 fn（x）=x n+bx+c（nZ，b，cR） （1）若 n=1，且 f1（1）=f 1（ ）=4 ，试求实数 b，c 的值；（2）设 n=2，若对任意 x1，x 21，1有|f 2（x 1）f 2（x 2）|
7、4 恒成立，求 b的取值范围；（3）当 n=1 时，已知 bx2+cxa=0，设 g（x ）= ，是否存在正数 a，使得对于区间 上的任意三个实数 m，n，p ，都存在以 f1（g（m） ） ，f1（g （ n） ） ，f 1（g（p ） ）为边长的三角形？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由2016-2017 学年湖北省武汉市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1 （5 分）设集合 M=x|x2=x，N=x |lgx0，则 MN=（ ）A0 ，1 B （0，
8、1 C0，1） D （ ，1【解答】解：由 M=x|x2=x=0，1，N=x|lgx0 =（0，1 ，得 M N=0，1（0 ，1= 0，1故选：A2 （5 分）已知函数 f（x）=x 2+1，那么 f（a+1）的值为（ ）Aa 2+a+2 Ba 2+1 Ca 2+2a+2 Da 2+2a+1【解答】解：函数 f（x ）=x 2+1，f（ a+1）=（a+1） 2+1=a2+2a+2故选：C3 （5 分） 的值是（ ）A B C D【解答】解：原式=sin （+ ）cos（ ）tan（ ）= sin （cos ）（ tan ） = （ ）（ ）= 故选 A4 （5 分）要得到函数 y=sinx
9、 的图象，只需将函数 y=cos（x ）的图象（ ）A向右平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向左平移 个单位【解答】解：由于函数 y=sinx=cos（x ） ，故只需将函数 的图象象右平移 可得函数 y=cos（x ）的图象，故选 A5 （5 分）设 a=20.1，b=lg ，c=log 3 ，则 a，b ，c 的大小关系是（ ）Ab c a Bacb Cb ac Dab c【解答】解：2 0.12 0=1=lg10lg 0log 3 ，a b c ，故选：D6 （5 分）函数 y= 的最小正周期为（ ）A2 B C D【解答】解：y= = =tan（2x+ ） ，T=
10、故选 C7 （5 分）已知函数 是定义在（b ，b）上的奇函数， （a ，bR 且a 2） ，则 ab 的取值范围是（ ）A B C D【解答】解： 是奇函数，f（ x）= f（x） ，解得 a=2f（ x）=lg ，其定义域是（ ， ）0b ，1a b ，故选：A8 （5 分）若 sin（ ）= ，且 a（， ） ，则 sin（ + ）= （ ）A B C D【解答】解：sin（） =sin= ，且 （， ） ，cos= = = ，cos=2cos 2 1， （ ， ） ，cos = = = ，则 sin（ + ）=cos = 故选 B9 （5 分）若函数 f（x ）的零点与 g（x ）=l
11、nx +2x8 的零点之差的绝对值不超过0.5，则 f（x）可以是（ ）A Bf（x）=（x 4） 2 Cf（x） =ex21 Df （x）=3x 6【解答】解：由于 g（x）=lnx+2x8 为（0，+）上的增函数，且 g（ 3）=ln320，g （4）=ln4 0，故函数 g（x ）的零点在区间（3，4）内由于函数 y=ln（x ）的零点为 x=3.5，故函数 g（x ）的零点与函数 y=ln（x ）的零点差的绝对值不超过 0.5，故 f（x）可以是 ln（x ） ，另外三个均不符合，故选：A10 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）对任意 0x 2x 1 都有1且函数 y=f（x）的
12、图象关于原点对称，若 f（2）=2 ，则不等式 f（ x）x0 的解集是（ ）A （ 2，0）（0，2 ） B （ ，2）（2，+） C （ ，2）（0，2）D （2， 0）（2，+）【解答】解：令 x1=x2，x 2=2，则 0x 2x 1，则有 = = 1，即 f（x）2 x2，即 x2 时，f（x）x0，令 0x=x 2 2，x 1=2，则 0x 2x 1，则有 = = 1，即 f（x）2 x2，即 0x2 时，f（x）x0，又由函数 y=f（x）的图象关于原点对称，2 x0 时，f（x）x 0，x2 时，f（x）x0，综上可得：不等式 f（x） x0 的解集（ ，2）（0，2） ，故选
13、：C11 （5 分）f（x ）=Asin （ x+） （A 0，0）在 上单调，则 的最大值为（ ）A B C1 D【解答】解：画出函数 f（x ）=Asin （x+） （A0 ，0）的图象，如图所示；令 Asin（x+）=A，得 x+= ，解得 x= ；函数 f（x ）=Asin （x+） （A0，0）在 ， 上单调，故 ，1， 的最大值是 max=1故选：C12 （5 分）若函数 f（x ） =x2+ex （x0）与 g（x）=x 2+ln（x+a）图象上存在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是（ ）A （ ） B （ ） C （ ） D （ ）【解答】解：由题意可得：存在 x0（，
14、0） ，满足 x02+ex0 =（ x0） 2+ln（x 0+a） ，即 ex0 ln（ x0+a）=0 有负根，当 x 趋近于负无穷大时， ex0 ln（ x0+a）也趋近于负无穷大，且函数 h（x）=e x ln（x+a ）为增函数，h（0）=e 0 lna0，lnaln ，a ，a 的取值范围是（， ） ，故选：A二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）若函数 f（x ） = 的定义域为0，2，则函数 g（x）=的定义域为 0，1） 【解答】解：函数 f（x ）的定义域为0，2，函数 y=f（2x）的定义域为 2x0，2，解得 0x1，因此函数 g（
15、 x）= 的定义域满足： ，可得 0x 1函数 g（x ）= 的定义域为： 0，1 ） 故答案为：0，1） 14 （5 分）计算： = 2 【解答】解：原式=lg4+lg9 +2（1 lg6）= +2=2故答案为：215 （5 分）已知 （ ，） ， + =2 ，则 cos（2+ ）的值为 【解答】解： ，sin0，cos0， =2 ，即 sin+cos=2 sincos0，（ ，） ，2（，2） 再根据 sin+cos= = ，2 sincos= ，sincos= （舍去） ，或 sincos= ，即 sin2= ，2= ，cos2= = 则 =cos2cos sin2sin = （ ）=
16、，故答案为： 16 （5 分）已知集合 |f（x）=sin （x2 ）+cos（x2 ） 为奇函数，且|loga|1的子集个数为 4，则 a 的取值范围为 （ ）（ ） 【解答】解：集合|f（x）=sin（x 2）+cos（x2）为奇函数，f（ 0）=sin（2）+cos（ 2）=cos2sin2=0，cos2=sin2，即 tan2=1，2=k + ，则 = + ，k Z验证 = + ，kZ 时，f （x）=sin（x 2）+cos（x 2）=sin（xk ）+cos（x k ） =sin（x ）+cos（ ）= 为奇函数= + ，kZ集合|f（x ）=sin （x 2）+cos（x 2）为
17、奇函数，且|log a|1的子集个数为 4，满足|log a|1 的 有 2 个，即满足1log a1 的 有 2 个分别取 k=0，1，2，3，得到 = ， ， ， ，若 0a1 ，可得 a（ ）时，满足 1log a1 的 有 2 个；若 a1，可得 a（ ）时，满足 1log a1 的 有 2 个则 a 的取值范围为（ ）（ ） 故答案为：（ ）（ ） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17 （10 分）已知幂函数 f（x ）=x （m N*）的图象经过点 （1）试求 m 的值并写出该幂函数的解析式；（2）试求满足 f（1 +a）f
18、（3 ）的实数 a 的取值范围【解答】解：（1）幂函数 f（x ）的图象经过点 ， = ，即 m2+m=2，解得：m=1 或 m=2，mN *，故 m=1，故 f（x）= ，x 0，+ ） ；（2）f（x ）在0，+ ）递增，由 f（1+a） f（3 ） ，得 ，解得：1a9，故 a 的范围是（1，918 （12 分）已知 （1）化简 f（） ；（2）若 是第三象限角，且 ，求 f（）的值【解答】解：（1） =cos（2）若 是第三象限角，且 0，+ 为第四象限角，sin （ + ）= = ，f（ ）= cos=cos（ + ） =cos（+ ）cos sin（+ ）sin =19 （12 分
19、）已知函数 f（ x）=2 x （）若 f（x）=2，求 x 的值；（）若 2tf（ 2t）+mf（t）0 对于 t1，2恒成立，求实数 m 的取值范围【解答】解：（）当 x0 时 f（x）=0，当 x0 时， ，有条件可得， ，即 22x22x1=0，解得 ，2 x0 ， ， （）当 t1，2时， ，即 m（2 2t1）（2 4t1） 2 2t10，m（2 2t+1） t 1，2， （1 +22t）17， 5，故 m 的取值范围是5，+） 20 （12 分）已知函数为偶函数，且函数的y=f（x）图象相邻的两条对称轴间的距离为 （1）求 的值；（2）将 y=f（x）的图象向右平移 个单位后，再
20、将所得的图象上个点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g（x）的图象，求 y=g（x）的单调区间，并求其在 上的最值【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）函数 f（x）= sin（x +）cos （x+）=2sin（x + ） ，1 分因为函数是偶函数，所以 =k+ ，kZ，解得： =k+ ，k Z， 0 ，= 函数 y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为 ，所以 T=，T= =，所以 =2；f（x）=2sin （2x ）= 2cos2x，5 分则 f（ ）=2cos（2 ）=2cos （ ）= ，6 分（2）由函数图象的变换可知，y=g（x ）=2cos （ x
21、） ，8 分由 2k x 2k +， kZ，解得：4k+ x4k+ ，k Z，即函数 y=g（x）的单调递增区间为：4k+ ，4k + kZ，由 2k+ x 2k+2，k Z，解得：4k+ x4k+ ，k Z，即函数 y=g（x）的单调递减区间为：4k+ ，4k + kZ，10 分x ，结合函数的单调性可知：当 x =0，即 x= 时，y=g（x ）最小值为 211 分当 x = ，即 x= 时，y=g（x）最大值为 012 分21 （12 分）现有一圆心角为 ，半径为 12cm 的扇形铁皮（如图） P，Q 是弧 AB 上的动点且劣弧 的长为 2cm，过 P，Q 分别作与 OA，OB 平行或垂
22、直的线，从扇形上裁剪出多边形 OHPRQT，将该多边形面积表示为角 的函数，并求出其最大面积是多少？【解答】解：连接 OQ，OP，则POQ= 设QOB=，多边形 OHPRQT 的面积为 S，则POB=+ ， （0， ） ，S=12sin12cos+12sin（+ ）12cos （+ ）12sin12cos（+ ）=（7272）sin（2+ ）+36，= ，即POA=QOB= 时，多边形 OHPRQT 的面积的最大值为72 36（cm 2） 22 （12 分）函数 fn（x）=x n+bx+c（nZ，b，cR） （1）若 n=1，且 f1（1）=f 1（ ）=4 ，试求实数 b，c 的值；（2）
23、设 n=2，若对任意 x1，x 21，1有|f 2（x 1）f 2（x 2）|4 恒成立，求 b的取值范围；（3）当 n=1 时，已知 bx2+cxa=0，设 g（x ）= ，是否存在正数 a，使得对于区间 上的任意三个实数 m，n，p ，都存在以 f1（g（m） ） ，f1（g （ n） ） ，f 1（g（p ） ）为边长的三角形？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）n=1，且 ，可得 1+b+c=4，2+ b+c=4，解得 b=2，c=1；（2）当 n=2 时，f 2（x）=x 2+bx+c，对任意 x1，x 21，1有|f 2（x 1）f 2（x 2）|4
24、 恒成立等价于f2（x）在1 ， 1上的最大值与最小值之差 M4当 1，即 b2 时， f2（x ）在 1，1递增，f2（x） min=f2（ 1）=1b+c，f 2（x） max=f2（1）=1 +b+c，M=2b4（舍去） ；当1 0，即 0b 2 时，f 2（x ）在 1， 递减，在（ ，1递增，f2（x） min=f2（ ）=c ，f 2（x） max=f2（1）=1+b+c，M=（ +1） 24 恒成立，故 0b2；当 0 1 即2b 0 时，f 2（x ）在 1， 递减，在（ ，1递增，f2（x） min=f2（ ）=c ，f 2（x） max=f2（ 1）=1 b+c，M=（ 1
25、） 24 恒成立，故2 b0 ；当 1，即 b2 时， f2（x ）在 1，1递减，f2（x） min=f2（ 1）=1+b+c，f 2（x） max=f2（1）=1b+c，M=2b4 矛盾综上可得，b 的取值范围是 2b2；（3）设 t=g（ x）= = = ，由 x ，可得 t ，1则 y=t+ 在 ，1上恒有 2yminy max当 a（0， 时，y=t+ 在 ，1上递增，ymin= +3a，y max=a+1，又 2yminy max则 a ，即有 a ；当 a（ ， 时，y=t+ 在 ， ）递减， （ ，1 ）递增，可得 ymin=2 ，y max=max3a+ ，a+1=a+1，又 2yminy max解得 74 a7+4 ，即有 a ；当 a（ ，1）时，y=t+ 在 ， ）递减， （ ，1）递增，可得 ymin=2 ，y max=max3a+ ，a+1=3a + ，又 2yminy max解得 a ，即有 a1；当 a1，+）时，y=t+ 在 ，1上递减，ymin=a+1，y max=3a+ ，又 2yminy max则 a ，即有 1a 综上可得，存在这样的三角形，a 的取值范围是 a
