1、2016-2017 学年广东省东莞市高一（上）期末数学试卷（A 卷）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1 （5 分）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，7，集合 A=1，3，5，6，7，B=1，2，3，4，6，7，则 A UB=（ ）A3 ，6 B5 C 2，4 D2，52 （5 分）若直线经过两点 A（m，2） ，B （m，2m 1）且倾斜角为 45，则 m的值为（ ）A B1 C2 D3 （5 分）函数 f（x ）=x 3+lnx2 零点所在的大致区间是（ ）A （0 ，1 ） B （1，2） C （2，3）
2、D （3，4）4 （5 分）一梯形的直观图是如图是欧式的等腰梯形，且直观图 OABC的面积为 2，则原梯形的面积为（ ）A2 B2 C4 D45 （5 分）已知 a= ，b=2 0.4，c=0.4 0.2，则 a，b，c 三者的大小关系是（ ）Ab c a Bbac Cab c Dcba6 （5 分）过点 P（3，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）Ax y1=0 Bx+y5=0 或 2x3y=0C x+y5=0 Dxy1=0 或 2x3y=07 （5 分）已知函数 f（x）= ，若对于任意的两个不相等实数x1， x2 都有 0，则实数 a 的取值范围是（ ）A （1 ，6 ） B
3、（1，+） C （3，6） D3，6）8 （5 分）如图正方体 ABCDA1B1C1D1，M，N 分别为 A1D1 和 AA1 的中点，则下列说法中正确的个数为（ ）C 1MAC；BD 1AC；BC 1 与 AC 的所成角为 60；B 1A1、C 1M、BN 三条直线交于一点A1 B2 C3 D49 （5 分）如图，定义在2，2的偶函数 f（x）的图象如图所示，则方程f（f（x） ）=0 的实根个数为（ ）A3 B4 C5 D710 （5 分）直线 l 过点 A（ 1，2） ，且不经过第四象限，则直线 l 的斜率的取值范围为（ ）A （0 ， B2，+） C （0，2 D （ ，211 （5
4、分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A8 B C D12 （5 分）定义域是一切实数的函数 y=f（x） ，其图象是连续不断的，且存在常数 （R ）使得 f（x+）+f（x）=0 对任意实数 x 都成立，则称 f（x）实数一个“ 一半随函数 ”，有下列关于“ 一半随函数”的结论：若 f（x ）为“1 一半随函数”，则 f（0）=f（2） ；存在 a（1，+）使得 f（x ）=a x 为一个“ 一半随函数；“ 一半随函数” 至少有一个零点；f （ x）=x 2 是一个“ 一班随函数”；其中正确的结论的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3
5、个 D4 个二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）函数 f（x ）= + 的定义域为 14 （5 分）已知幂函数 y=f（x）的图象经过点（ ， ） ，则 lgf（2）+lgf（5）= 15 （5 分）若某圆锥的母线长为 2，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为 16 （5 分）若直线 l1：x+ky +1=0（kR ）与 l2：（m+1）x y+1=0（mR）相互平行，则这两直线之间距离的最大值为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程17 （10 分）已知集合 A=x|log2xm，B=x|4x44（1）
6、当 m=2 时，求 AB ，AB ；（2）若 ARB，求实数 m 的取值范围18 （12 分）已知 f（x）为定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f （x）=x2（a+4 ）x+a（1）求实数 a 的值及 f（x ）的解析式；（2）求使得 f（x）=x +6 成立的 x 的值19 （12 分）已知两条直线 l1：2x+y2=0 与 l2：2xmy +4=0（1）若直线 l1l 2，求直线 l1 与 l2 交点 P 的坐标；（2）若 l1，l 2 以及 x 轴围成三角形的面积为 1，求实数 m 的值20 （12 分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在的平面相
7、交于 CD，AE平面 CDE，且 AE=1（1）求证：AB平面 CDE；（2）求证：DE平面 ABE；（3）求点 A 到平面 BDE 的距离21 （12 分）春节是旅游消费旺季，某大型商场通过对春节前后 20 天的调查，得到部分日经济收入 Q 与这 20 天中的第 x 天（xN +）的部分数据如表：天数 x（天） 3 5 7 9 11 13 15日经济收入Q（万元）154 180 198 208 210 204 190（1）根据表中数据，结合函数图象的性质，从下列函数模型中选取一个最恰当的函数模型描述 Q 与 x 的变化关系，只需说明理由，不用证明Q=ax +b， Q=x2+ax+b，Q=a
8、x+b，Q=b+log ax（2）结合表中的数据，根据你选择的函数模型，求出该函数的解析式，并确定日经济收入最高的是第几天；并求出这个最高值22 （12 分）已知函数 f（ x）=x+ 1（x0 ） ，k R（1）当 k=3 时，试判断 f（x）在（，0）上的单调性，并用定义证明；（2）若对任意 xR，不等式 f（2 x）0 恒成立，求实数 k 的取值范围；（3）当 kR 时，试讨论 f（x）的零点个数2016-2017 学年广东省东莞市高一（上）期末数学试卷（A 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要
9、求的1 （5 分）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，7，集合 A=1，3，5，6，7，B=1，2，3，4，6，7，则 A UB=（ ）A3 ，6 B5 C 2，4 D2，5【解答】解：U=1，2 ，3，4，5，6，7，集合 A=1，3，5 ，6，7，B=1，2，3，4，6，7， UB=5，则 A UB=5，故选：B2 （5 分）若直线经过两点 A（m，2） ，B （m，2m 1）且倾斜角为 45，则 m的值为（ ）A B1 C2 D【解答】解：经过两点 A（m ，2 ） ，B （m ，2m1）的直线的斜率为k= 又直线的倾斜角为 45， =tan45=1，即 m= 故选：A3 （5 分）函
10、数 f（x ）=x 3+lnx2 零点所在的大致区间是（ ）A （0 ，1 ） B （1，2） C （2，3） D （3，4）【解答】解：函数 f（x ）=x 3+lnx2，定义域为：x0；函数是连续函数，f（ 1）=120，f （2）=6 +ln20，f（ 2）f（ 1）0，根据函数的零点的判定定理，故选：B4 （5 分）一梯形的直观图是如图是欧式的等腰梯形，且直观图 OABC的面积为 2，则原梯形的面积为（ ）A2 B2 C4 D4【解答】解：把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示；设该梯形的上底为 a，下底为 b，高为 h，则直观图中等腰梯形的高为 h= hsin45；等腰梯形的体积
11、为 （a+b）h= （a+b） hsin45=2， （a+b）h= =4该梯形的面积为 4 故选：D5 （5 分）已知 a= ，b=2 0.4，c=0.4 0.2，则 a，b，c 三者的大小关系是（ ）Ab c a Bbac Cab c Dcba【解答】解：a= （0，1） ，b=2 0.4 2 0=1， c=0.40.2 （0，1） ，故 a、b、c 中，b 最大由于函数 y=0.4x 在 R 上是减函数，故 =0.40.5 0.4 0.2 0.4 0=1，1c a 故有 bc a，故选 A6 （5 分）过点 P（3，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）Ax y1=0 Bx+y5=
12、0 或 2x3y=0C x+y5=0 Dxy1=0 或 2x3y=0【解答】解：当横截距 a=0 时，纵截距 b=a=0，此时直线方程过点 P（3，2）和原点（0，0 ） ，直线方程为： ，整理，得 2x3y=0；当横截距 a0 时，纵截距 b=a，此时直线方程为 ，把 P（ 3，2）代入，得： ，解得 a=5，直线方程为 ，即 x+y5=0过点 P（3 ，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是 x+y5=0 或2x3y=0故选：B7 （5 分）已知函数 f（x）= ，若对于任意的两个不相等实数x1， x2 都有 0，则实数 a 的取值范围是（ ）A （1 ，6 ） B （1，+） C （3
13、，6） D3，6）【解答】解：对于任意的两个不相等实数 x1，x 2 都有 0，可知函数是增函数，可得： ，解得 a3，6） 故选：D8 （5 分）如图正方体 ABCDA1B1C1D1，M，N 分别为 A1D1 和 AA1 的中点，则下列说法中正确的个数为（ ）C 1MAC；BD 1AC；BC 1 与 AC 的所成角为 60；B 1A1、C 1M、BN 三条直线交于一点A1 B2 C3 D4【解答】解：正方体 ABCDA1B1C1D1，M，N 分别为 A1D1 和 AA1 的中点，A 1C1AC，C 1M 与 A1C1 相交，故错误；BDAC，DD 1AC，故 AC平面 BDD1，故 BD1A
14、C ，故正确；、连接 BA1，则A 1BC1 为等边三角形，即 BC1 与 A1C1 的所成角为 60；由中 A1C1 AC，可得 BC1 与 AC 的所成角为 60，故正确；由 MNAD 1BC 1，可得 C1M、BN 共面，则 C1M、BN 必交于一点，且该交点，必在 B1A1 上，故 B1A1、C 1M、BN 三条直线交于一点，故 正确；故选：C9 （5 分）如图，定义在2，2的偶函数 f（x）的图象如图所示，则方程f（f（x） ）=0 的实根个数为（ ）A3 B4 C5 D7【解答】解：定义在2， 2的偶函数 f（x）的图象如图：函数是偶函数，函数的值域为：f（x） 2，1 ，函数的零
15、点为： x1，0，x 2，x1（2，1 ） ，x 2（1，2） ，令 t=f（x） ，则 f（f（x） ）=0 ，即 f（t）=0 可得，t=x 1，0，x 2，f（x）=x 1（2， 1）时，存在 ff（x 1）=0，此时方程的根有 2 个x2（1，2）时，不存在 ff（x 2）=0，方根程没有根ff（ 0）=f（0）=f（x 1）=f （x 2）=0，有 3 个所以方程 f（f （x ） ）=0 的实根个数为：5 个故选：C10 （5 分）直线 l 过点 A（ 1，2） ，且不经过第四象限，则直线 l 的斜率的取值范围为（ ）A （0 ， B2，+） C （0，2 D （ ，2【解答】解：
16、直线 l 过点 A（1，2） ，k OA=2，又直线 l 不经过第四象限，直线 l 的斜率的取值范围为2，+） ，故选：B11 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A8 B C D【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，底面面积 S=22=4，高 h=2，故体积 V= = ，故选：C12 （5 分）定义域是一切实数的函数 y=f（x） ，其图象是连续不断的，且存在常数 （R ）使得 f（x+）+f（x）=0 对任意实数 x 都成立，则称 f（x）实数一个“ 一半随函数 ”，有下列关于“ 一半随函数”
17、的结论：若 f（x ）为“1 一半随函数”，则 f（0）=f（2） ；存在 a（1，+）使得 f（x ）=a x 为一个“ 一半随函数；“ 一半随函数” 至少有一个零点；f （ x）=x 2 是一个“ 一班随函数”；其中正确的结论的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【解答】解：、若 f（x ）为“1 一半随函数”，则 f（x+1）+f （x）=0，可得f（x+1 ）= f（ x） ，可得 f（ x+2）=f（x+1）=f（x） ，因此 x=0，可得 f（0 ）=f（2） ；故正确；、假设 f（x）=a x 是一个 “ 一半随函数”，则 ax+ax=0 对任意实数 x 成立，则有
18、 a+=0，而此式有解，所以 f（x）=a x 是“ 一半随函数”，故正确、令 x=0，得 f（ ）+ f（0）=0 所以 f（ ）= f（0） ，若 f（0）=0，显然 f（x ）=0 有实数根；若 f（0）0，f （ ）f （0）= （f（0） ） 20，又因为 f（x ）的函数图象是连续不断，所以 f（x）在（ 0， ）上必有实数根，因此任意的“ 一半随函数”必有根，即任意“ 一半随函数”至少有一个零点故正确、假设 f（x）=x 2 是一个“ 一半随函数”，则（x+ ） 2+x2=0，即（1+）x 2+2x+2=0 对任意实数 x 成立，所以 +1=2=2=0，而此式无解，所以 f（x）
19、=x 2 不是一个“同伴函数 ”故错误正确判断：故选：C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）函数 f（x ）= + 的定义域为 （0，1） 【解答】解：函数 f（x） = + 有意义，只需 22x0，lnx 0 ，x 0，解得 x1，且 x1，x0，则函数的定义域为（0，1） 故答案为：（0，1） 14 （5 分）已知幂函数 y=f（x）的图象经过点（ ， ） ，则 lgf（2）+lgf（5）= 【解答】解：设幂函数 f（x ）=x ，把点（ ， ）代入可得= ，解得 = ；f（ x）= ；lgf （2）+ lgf（5）=lg +lg =lg = lg
20、10= 故答案为： 15 （5 分）若某圆锥的母线长为 2，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为 3 【解答】解：一个圆锥的母线长为 2，它的侧面展开图为半圆，圆的弧长为：2，即圆锥的底面周长为：2，设圆锥的底面半径是 r，则得到 2r=2，解得：r=1，这个圆锥的底面半径是 1，圆锥的表面积为：12+1 2=3，故答案为：316 （5 分）若直线 l1：x+ky +1=0（kR ）与 l2：（m+1）x y+1=0（mR）相互平行，则这两直线之间距离的最大值为 【解答】解：由题意，直线 l1：x +ky+1=0（kR ）过定点（1，0）l2：（m+1） xy+1=0（mR ）过定点（0，
21、1） ，这两直线之间距离的最大值为 = ，故答案为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程17 （10 分）已知集合 A=x|log2xm，B=x|4x44（1）当 m=2 时，求 AB ，AB ；（2）若 ARB，求实数 m 的取值范围【解答】解：（1）当 m=2 时，A=x |log2xm=x|x4，B=x|4x44= x|0 x8AB=x |x0 ，AB=x|4x 8；（2）A=x |log2xm= x|x2 m， RB=x|x0 或 x8若 ARB，则 2m8， m318 （12 分）已知 f（x）为定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f
22、（x）=x2（a+4 ）x+a（1）求实数 a 的值及 f（x ）的解析式；（2）求使得 f（x）=x +6 成立的 x 的值【解答】解：（1）f（x ）为定义在 R 上的奇函数，f（ 0）=a=0，由题意 x0 时：f（x）=x 24x，设 x0，则x0，则 f（x ）=x 2+4x=f（x ） ，故 x0 时，f（x）=x 24x，故 f（x）= （2）当 x0 时，x 24x=x+6，可得 x=6；x0 时，f （x）=x 24x=x+6，可得 x=2 或 3综上所述，方程的解为 6，2 或 319 （12 分）已知两条直线 l1：2x+y2=0 与 l2：2xmy +4=0（1）若直线
23、 l1l 2，求直线 l1 与 l2 交点 P 的坐标；（2）若 l1，l 2 以及 x 轴围成三角形的面积为 1，求实数 m 的值【解答】解：（1）直线 l1l 2，4 m=0，m=4，联立两条直线 l1：2x+y2=0 与 l2：2x4y +4=0 可得 P（0.4，1.2） ；（2）直线 l1：2x+y2=0 与 x 轴的交点坐标为（1，0） ，l 2：2xmy+4=0 与 x 轴的交点坐标为（2，0） ，l 1，l 2 以及 x 轴围成三角形的面积为 1，三角形的高为 ，代入直线 l1：2x+y2=0 可得 x= ，（ ， ）代入 l2：2xmy+4=0 可得 m=820 （12 分）
24、如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在的平面相交于 CD，AE平面 CDE，且 AE=1（1）求证：AB平面 CDE；（2）求证：DE平面 ABE；（3）求点 A 到平面 BDE 的距离【解答】证明：（1）正方形 ABCD 中，ABCD，AB平面 CDE，CD平面 CDE，AB平面 CDE（2）AE 平面 CDE，CD平面 CDE，DE平面 CDE，AE CD，DEAE，在正方形 ABCD 中，CD AD，ADAE=A ，CD平面 ADEDE平面 ADE，CD DE，ABCD，DE AB ，ABAE=E，DE平面 ABE解：（3）ABAD，AB DE ，ADDE=
25、D，AB平面 ADE，三棱锥 BADE 的体积 VBADE= = = ，= = ，设点 A 到平面 BDE 的距离为 d，V ABDE=VBADE， = ，解得 d= ，点 A 到平面 BDE 的距离为 21 （12 分）春节是旅游消费旺季，某大型商场通过对春节前后 20 天的调查，得到部分日经济收入 Q 与这 20 天中的第 x 天（xN +）的部分数据如表：天数 x（天） 3 5 7 9 11 13 15日经济收入Q（万元）154 180 198 208 210 204 190（1）根据表中数据，结合函数图象的性质，从下列函数模型中选取一个最恰当的函数模型描述 Q 与 x 的变化关系，只需
26、说明理由，不用证明Q=ax +b， Q=x2+ax+b，Q=a x+b，Q=b+log ax（2）结合表中的数据，根据你选择的函数模型，求出该函数的解析式，并确定日经济收入最高的是第几天；并求出这个最高值【解答】解：（1）由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入 Q 与天数的变化关系的函数不可能为常数函数，从而用四个中的任意一个进行描述时都应有，而 Q=at+b，Q=a x+b，Q=b+log ax 三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，选取二次函数进行描述最恰当；将（3，154 ） 、 （5，180 ）代入 Q=x2+ax+b，可得 ，解得 a=21，b=100 Q= x2+21x+
27、100， （1x 20，x N*） ；（2）Q=x 2+21x+100=（t ） 2+ ，1x20，xN *，t=10 或 11 时，Q 取得最大值 210 万元22 （12 分）已知函数 f（ x）=x+ 1（x0 ） ，k R（1）当 k=3 时，试判断 f（x）在（，0）上的单调性，并用定义证明；（2）若对任意 xR，不等式 f（2 x）0 恒成立，求实数 k 的取值范围；（3）当 kR 时，试讨论 f（x）的零点个数【解答】解：（1）当 k=3，x（，0）时，f（x）=x ，0，f（ x）在（，0）上单调递增证明：在（，0）上任取 x1，x 2，令 x1x 2，f（x 1）f（x 2）
28、=（ ）（ ）=（x 1x2） （1+ ） ，x 1，x 2（ ，0 ） ，x 1 x2， ，f（ x1）f（x 2）0 ，f（ x）在（，0）上单调递增（2）设 2x=t，则 t0，f （t ）=t+ ，当 k0 时，f（t）=1 ，t= 时， f（t ）=0，且 f（t ）取最小值，f（ ） = =2 1，当 k 时，f （ ）=2 10，当 0k 时，f （ ）=2 10，k 时，f （2 x）0 成立；0k 时，f（2 x）0 不成立当 k=0 时，f（t）=t1，t （0 ，+ ） ，不满足 f（t）恒大于 0，舍去当 k0 时，f 恒大于 0， ，且 f（x ）在（0，+）内连续，不满足 f（t）0 恒成立综上，k 的取值范围是（ ，+） （3）由 f（x）=x + 1=0， （x 0） ，kR 得 x+ 1=0，k=|x |（1 x） ，x0，当 x0 时，k=x（1x） ，当 x0 时，k=x（1x） ，结合图象得：当 k 或 k0 时，f（x）有 1 个零点；当 k= 时，f （x）有 2 个零点；当 0k 时，f （x ）有 3 个零点
