1、2016-2017 学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1 （5 分）2sin15cos15= 2 （5 分）一组数据 1，3，2，5，4 的方差是 3 （5 分）若 x（0，1）则 x（1x）的最大值为 4 （5 分）如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是 5 （5 分）两根相距 6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于 2m 的概率是 6 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则目标函数 z=xy 的最小值为 7 （5 分）在ABC 中， A，B ，C 所对的边分别是 a，b ，c，如果a：
2、b：c=2： 3：4，那么 cosC= 8 （5 分）若 tan=2，tan（+）= ，则 tan 的值是 9 （5 分）已知a n是等差数列， Sn 是其前 n 项和，若 2a7a53=0，则 S17 的值是 10 （5 分）已知ABC 中， AB= ，BC=1 ，A=30，则 AC= 11 （5 分）在数列a n中， a1=2，a n+1=2an，S n 为a n的前 n 项和若 sn=254，则 n= 12 （5 分）已知a n是等差数列， a1=1 公差 d0 ，S n 为其前 n 项的和，若a1， a2， a5 成等比数列，S 10= 13 （5 分）在锐角ABC 中，sinA=si
3、nBsinC ，则 tanB+2tanC 的最小值是 14 （5 分）已知ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，若 a，b，c成等比数列，则 的取值范围为 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15 （14 分）已知 sin= （1）求 的值；（2）求 的值16 （14 分）已知等差数列a n中，其前 n 项和为 Sn，a 2=4，S 5=30（1）求a n的首项 a1 和公差 d 的值；（2）设数列b n满足 bn= ，求数列b n的前项和 Tn17 （14 分）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了 50 名就餐
4、的教师和学生根据这 50 名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示） ，其中样本数据分组为40，50） ，50，60） ，90，100（1）求频率分布直方图中 a 的值；（2）从评分在40，60）的师生中，随机抽取 2 人，求此人中恰好有 1 人评分在40，50 ）上的概率；（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于 75 分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿18 （16 分）已知函数 f（ x）=ax 2+（a2）x2，aR（1）若关于 x 的不等式 f（x）0 的解集为1， 2，求实数 a
5、 的值；（2）当 a0 时，解关于 x 的不等式 f（x）019 （16 分）如图，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在 GH 上的一点 B 的正北方向的 A 处建设一仓库，设 AB=ykm，并在公路北侧建造边长为 xkm 的正方形无顶中转站 CDEF（其中 EF 在 GH 上） ，现从仓库 A 向 GH 和中转站分别修两条道路 AB， AC，已知 AB=AC+1，且 ABC=60 （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并求出定义域；（2）如果中转站四堵围墙造价为 10 万元/km，两条道路造价为 30 万元/km，问：x 取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价 M 最低2
6、0 （16 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn=n24n，数列b n中，b 1=对任意正整数 （1）求数列a n的通项公式；（2）是否存在实数 ，使得数列3 nbn+是等比数列？若存在，请求出实数 及公比 q 的值，若不存在，请说明理由；（3）求证： 2016-2017 学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1 （5 分）2sin15cos15= 【解答】解：原式=sin30= ，故答案为： 2 （5 分）一组数据 1，3，2，5，4 的方差是 2 【解答】解： =（1+2+3+ 4+5）5
7、=3，S2= （ 13） 2+（23） 2+（3 3） 2+（4 3） 2+（5 3） 2=2故答案为：23 （5 分）若 x（0，1）则 x（1x）的最大值为 【解答】解：x（1x）= ，x （0，1）当 x= 时， x（1x）的最大值为故答案为： 4 （5 分）如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是 9 【解答】解：当 a=1，b=9 时，不满足 ab ，故 a=5，b=7，当 a=5，b=7 时，不满足 ab ，故 a=9，b=5当 a=9，b=5 时，满足 ab ，故输出的 a 值为 9，故答案为：95 （5 分）两根相距 6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端
8、距离都大于 2m 的概率是 【解答】解：设事件 A=“灯与两端距离都大于 2m”根据题意，事件 A 对应的长度为 6m 长的线段位于中间的、长度为 2 米的部分因此，事件 A 发生的概率为 P（A ）= =故答案为：6 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则目标函数 z=xy 的最小值为 3 【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=xy，得 y=xz 表示，斜率为 1 纵截距为 z 的一组平行直线，平移直线 y=xz，当直线经过点 A 时，此时直线 y=xz 截距最大，z 最小由 ，得 ，此时 zmin=14=3故答案为：37 （5 分）在ABC 中， A，B ，C 所对的边分别
9、是 a，b ，c，如果a： b：c=2： 3：4，那么 cosC= 【解答】解：因为 a：b： c=2：3：4，所以设 a=2k，b=3k，c=4k，则根据余弦定理得：cosC= = = 故答案为：8 （5 分）若 tan=2，tan（+）= ，则 tan 的值是 7 【解答】解：由 tan=2，tan （+）= ，得 tan=tan（+）= 故答案为：79 （5 分）已知a n是等差数列， Sn 是其前 n 项和，若 2a7a53=0，则 S17 的值是 51 【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，2a 7a53=0，2（a 1+6d）（a 1+4d）3=0，化为：a 1+8d=3，即
10、a9=3则 S17= =17a9=173=51故答案为：5110 （5 分）已知ABC 中， AB= ，BC=1 ，A=30，则 AC= 1 或 2 【解答】解：AB=c= ，BC=a=1，cosA= ，由余弦定理得：a 2=b2+c22bccosA，即 1=b2+33b，解得：b=1 或 2，则 AC=1 或 2故答案为：1 或 211 （5 分）在数列a n中， a1=2，a n+1=2an，S n 为a n的前 n 项和若 sn=254，则 n= 7 【解答】解：由数列a n中，a 1=2，a n+1=2an，可知：此数列为等比数列，首项为 2，公比为 2又 sn=254，254= ，化
11、为 2n=128，解得 n=7故答案为：712 （5 分）已知a n是等差数列， a1=1 公差 d0 ，S n 为其前 n 项的和，若a1， a2， a5 成等比数列，S 10= 100 【解答】解：若 a1，a 2，a 5 成等比数列，则 a1a5=（a 2） 2，即 a1（a 1+4d）= （a 1+d） 2，则 1+4d=（1+d） 2，即 2d=d2，解得 d=2 或 d=0（舍去） ，则 S10= =10+90=100，故答案为：10013 （5 分）在锐角ABC 中，sinA=sinBsinC ，则 tanB+2tanC 的最小值是 3+2【解答】解：锐角ABC 中，sinA=s
12、inBsinC ，sin （B+C）=sinBsinC，即 sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC，cosBsinC=sinB（sinCcosC） ，sinC= （sinCcosC ） ，两边都除以 cosC，得 tanC=tanB（tanC 1） ，tanB= ；又 tanB0，tanC10，tanB+2tanC= +2tanC= +2tanC=1+ +2（tanC1）+ 23+2 =3+2 ，当且仅当 =2（tanC 1） ，即 tanC=1+ 时取“=”；tanB+2tanC 的最小值是 3+2 故答案为：3+2 14 （5 分）已知ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分
13、别为 a，b ，c ，若 a，b，c成等比数列，则 的取值范围为 2， ） 【解答】解：a，b，c 成等比数列，设 = =q，q 0 ，则 b=aq，c=aq 2， ，解得 q 则 = + = +q，由 f（q）= +q 在（ ，1）递减，在（1， ）递增，可得 f（ 1）取得最小值 2，由 f（ ）=f （ ）= ，即有 f（ q）2， ） 故答案为：2， ） 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15 （14 分）已知 sin= （1）求 的值；（2）求 的值【解答】解：（1）（ ） ，sin= ，cos= =sin cos+cos sin
14、= ；（2）sin2=2sincos= ，cos2=cos2sin2= ， = 16 （14 分）已知等差数列a n中，其前 n 项和为 Sn，a 2=4，S 5=30（1）求a n的首项 a1 和公差 d 的值；（2）设数列b n满足 bn= ，求数列b n的前项和 Tn【解答】解：（1）因为a n是等差数列，a 2=4，S 5=30，所以 解得 a1=2，d=2（2）由（1）知 即 所以 bn= =于是数列b n的前 n 项和 Tn=b1+b2+b3+bn=（1 ）+（ ）+（ ）=1 =17 （14 分）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了 50 名就餐的教师和学生根据这 50 名
15、师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示） ，其中样本数据分组为40，50） ，50，60） ，90，100（1）求频率分布直方图中 a 的值；（2）从评分在40，60）的师生中，随机抽取 2 人，求此人中恰好有 1 人评分在40，50 ）上的概率；（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于 75 分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿【解答】解：（1）由（0.004+a+0.022 +0.028+0.022+0.018）10=1 ，解得 a=0.006 （4 分）（2）设被抽取的 2 人中恰好有
16、一人评分在40，50）上为事件 A（5 分）因为样本中评分在40，50）的师生人数为：m 1=0.0041050=2，记为 1，2号样本中评分在50，60）的师生人数为：m 2=0.0061050=3，记为 3，4，5号（7 分）所以从 5 人中任意取 2 人共有：（1，2） ， （1，3） ， （1，4） ， （1，5） ， （2，3） ， （2，4） ，（2，5） ， （3，4） ， （3，5） ， （4，5）共 10 种等可能情况，2 人中恰有 1 人评分在40，50）上有：（1，3） ， （1，4） ， （1，5） ， （2，3） ， （2，4） ， （2，5）共 6 种等可能情况2
17、人中恰好有 1 人评分在40，50）上的概率为 P（A）= = （10 分）（3）服务质量评分的平均分为：=450.00410+550.00610+650.02210+750.02810+850.02210+950.01810=76.2（13 分）76.275 ， 食堂不需要内部整顿（14 分）18 （16 分）已知函数 f（ x）=ax 2+（a2）x2，aR（1）若关于 x 的不等式 f（x）0 的解集为1， 2，求实数 a 的值；（2）当 a0 时，解关于 x 的不等式 f（x）0【解答】解：（1）因为不等式 ax2+（a2）x20 的解集为1，2，所以方程 ax2+（a2）x2=0 有
18、两根且分别为1，2，所以=（a 2） 24a（2）0 且12= ，解得：a=1；（2）由 ax2+（a2）x20，得（x+1） （ax 2）0，当2 a 0 时，解集为 x|x 或 x 1，当 a=2 时，解集为 R； 当 a2 时，解集为 x|x1 或 x 19 （16 分）如图，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在 GH 上的一点 B 的正北方向的 A 处建设一仓库，设 AB=ykm，并在公路北侧建造边长为 xkm 的正方形无顶中转站 CDEF（其中 EF 在 GH 上） ，现从仓库 A 向 GH 和中转站分别修两条道路 AB， AC，已知 AB=AC+1，且 ABC=60 （
19、1）求 y 关于 x 的函数解析式，并求出定义域；（2）如果中转站四堵围墙造价为 10 万元/km，两条道路造价为 30 万元/km，问：x 取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价 M 最低【解答】 （1）在BCF 中，CF=x，FBC=30 ，CF BF，所以 BC=2x在ABC 中，AB=y，AC=y1，ABC=60，由余弦定理，得 AC2=BA2+BC22BABCcosABC，（2 分）即 （y1） 2=y2+（2x） 22y2xcos60，所以 （5 分）由 ABACBC，得 又因为 0，所以 x1所以函数 的定义域是（1，+） （6 分）（2）M=30（2y1）+40x（8
20、分）因为 （x1） ，所以 M=30即 M=10 （10 分）令 t=x1，则 t0于是 M（t）=10 （16t+ ） ，t0，（12 分）由基本不等式得 M（t）10（2 ）=490，当且仅当 t= ，即 x= 时取等号（15 分）答：当 x= km 时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价 M 为 490 万元（16 分）20 （16 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn=n24n，数列b n中，b 1=对任意正整数 （1）求数列a n的通项公式；（2）是否存在实数 ，使得数列3 nbn+是等比数列？若存在，请求出实数 及公比 q 的值，若不存在，请说明理由；（3）求证
21、： 【解答】解：（1）当 n=1 时，a 1=S1=3，（1 分）当 n2 时，a n=SnSn1=n24n（n 1） 2+4（n 1） ，即 an=2n5，（3 分）n=1 也适合，所以 an=2n5（4 分）（2）法一：假设存在实数 ，使数列 3nbn+是等比数列，且公比为 q（5 分）因为对任意正整数 ， ，可令 n=2，3，得 b2= ，b 3= （6 分）因为3 nbn+是等比数列，所以 = ，解得 = （7 分）从而 = = =3 （n2）（9 分）所以存在实数 = ，公比为 q=3（10 分）法二：因为对任意正整数 所以 ，设 3nbn+=3（3 n1bn1+） ，则4=1，（8 分）所以存在 ，且公比 （10 分）（3）因为 a2=1，a 3=1，所以 ， ，所以 ，即 ，（12 分）于是 b1+b2+bn= + + += = =（13 分）当是奇数时：b 1+b2+bn= ，关于递增，得 b 1+b2+bn （14 分）当是偶数时：b 1+b2+bn= ，关于递增，得 b 1+b2+bn （15 分）综上， b 1+b2+bn （16 分）
