1、2017-2018 学年安徽省蚌埠市龙子湖区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）1 （4 分）下列函数解析式中，一定为二次函数 的是（ ）Ay=3x1 By=ax 2+bx+c Cs=2t 22t+1 Dy=x 2+2 （4 分）若 = ，则 的值为（ ）A1 B C D3 （4 分）二次函数 y=2（x1） 2+3 的图象的顶点坐标是（ ）A （1 ，3 ） B （1，3） C （1， 3） D （ 1，3）4 （4 分）抛物线 y=2（x1） 23 与 y 轴的交点纵坐标为（ ）A 3 B4 C5 D 15 （4 分）下列四个三角形，与如图的三
2、角形相似的是（ ）A B C D6 （4 分）在平面直角坐标系中，将抛物线 y=x24 先向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位，得到的抛物线的表达式是（ ）Ay= （ x2） 22 By=（x+2） 2+2 Cy=（x2） 2+2Dy=（x +2） 227 （4 分）在同一坐标系中（水平方向是 x 轴） ，函数 y= 和 y=kx+3 的图象大致是（ ）A B C D8 （4 分）若有二次函数 y=ax2+c，当 x 取 x1，x 2（ x1x 2）时，函数值相等，则当 x=x1+x2 时，函数值为（ ）Aa +c Bac Cc Dc9 （4 分）如图所示是二次函数 y=ax2+bx+
3、c 图象的一部分，图象过 A 点（3，0） ，二次函数图象对称轴为 x=1，给出四个结论：b 24ac；bc0；2a +b=0；a+b+c=0 ，其中正确结论是（ ）A B C D10 （4 分）如图，点 G、 E、A、B 在一条直线上， RtEFG 从如图所示的位置出发，沿直线 AB 向右匀速运动，当点 G 与 B 重合时停止运动设EFG 与矩形 ABCD 重合部分的面积为 S，运动时间为 t，则 S 与 t 的图象大致是（ ）A B C D二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）11 （5 分）在平面直角坐标系的第一象限内，边长为 1 的正方形 ABCD 的边均平行于坐标轴
4、，A 点的坐标为（a，a） 如图，若曲线 与此正方形的边有交点，则 a 的取值范围是 12 （5 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上一点，且BE： EC=2：1 ，AE 与 BD 交于点 F，则AFD 与四边形 DFEC 的面积之比是 13 （5 分）把二次函数 y=（x 1） 2+2 的图象绕原点旋转 180后得到的图象的解析式为 14 （5 分）已知：AM ：MD=4 ：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC= 三、本大题共 2 小题 （每小题 8 分，满分 16 分）15 （8 分）已知抛物线的顶点为（1， 3） ，与 y 轴的交点为（0，5） ，求抛物线的解析式1
5、6 （8 分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出A 1B1C1 和 A 2B2C2；（1）把ABC 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位，得到A 1B1C1；（2）以图中的 O 为位似中心，将 A 1B1C1 作位似变换且放大到原来的两倍，得到A 2B2C2四、本大题共 2 小题 （每小题 8 分，满分 16 分）17 （8 分）如图，ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在 BC 上，其余两个顶点分别在边AB、AC 上（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长是宽的 2 倍
6、，则边长是多少？18 （8 分）如图，在ABC 中，EFCD ，DEBC，求证：AFBD=ADFD五、本大题共 2 小题 （每小题 10 分，满分 20 分）19 （10 分）已知抛物线的解析式为 y=x2（2m 1）x +m2m（1）求证：此抛物线与 x 轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线 y=x3m+4 的一个交点在 y 轴上，求 m 的值20 （10 分）某商人如果将进货价为 8 元的商品按每件 10 元出售，每天可销售100 件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价 1 元其销售量就要减少 10 件，问他将售出价（x）定为多少元时，才能使每天所赚的利
7、润（y）最大并求出最大利润六、本大题满分 12 分21 （12 分）如图，在ABC 中，AB=8cm，BC=16cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB向点 B 以 2cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4cm/s 的速度移动，如果点 P、Q 分别从点 A、 B 同时出发，经几秒钟 PBQ 与ABC 相似？试说明理由七、本大题满分 12 分22 （12 分）如图所示，正比例函数 y= x 的图象与反比例函数 y= （k 0）在第一象限的图象交于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 M，已知OAM 的面积为 1（1）求反比例函数的解析式；（2）如果点 B 为
8、反比例函数在第一象限图象上的点（点 B 与点 A 不重合） ，且点 B 的横坐标为 1，在 x 轴上求一点 P，使 PA+PB 最小八、本大题满分 14 分23 （14 分）如图，已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点 P，顶点为 C（ 1， 2） （1）求此函数的解析式；（2）作点 C 关于 x 轴的对称点 D，顺次连接 A、C、B、D若在抛物线上存在点 E，使直线 PE 将四边形 ACBD 分成面积相等的两个四边形，求点 E 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点 F，使得PEF 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点
9、F 的坐标及PEF 的面积；若不存在，请说明理由2017-2018 学年安徽省蚌埠市龙子湖区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）1 （4 分）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）Ay=3x1 By=ax 2+bx+c Cs=2t 22t+1 Dy=x 2+【解答】解：A、y=3x1 是一次函数，故 A 错误；B、y=ax 2+bx+c （a0）是二次函数，故 B 错误；C、 s=2t22t+1 是二次函数，故 C 正确；D、y=x 2+ 不是二次函数，故 D 错误；故选：C2 （4 分）若 = ，则 的值为（ ）A1 B C
10、 D【解答】解： = ， = = 故选：D3 （4 分）二次函数 y=2（x1） 2+3 的图象的顶点坐标是（ ）A （1 ，3 ） B （1，3） C （1， 3） D （ 1，3）【解答】解：二次函数 y=2（x1） 2+3 的图象的顶点坐标为（ 1，3） 故选：A4 （4 分）抛物线 y=2（x1） 23 与 y 轴的交点纵坐标为（ ）A 3 B4 C5 D 1【解答】解：当 x=0 时，y=2 3=5，所以，抛物线与 y 轴的交点纵坐标为5故选：C5 （4 分）下列四个三角形，与如图的三角形相似的是（ ）A B C D【解答】解：设小正方形的边长为 1，那么已知三角形的三边长分别为 ，
11、2， ，所以三边之比为 1：2： A、三角形的三边分别为 2， ，3 ，三边之 比为 ： ：3，故本选项错误；B、三角形的三边分别为 2，4，2 ，三边之比为 1：2： ，故本选项正确；C、三角形的三边分别为 2，3， ，三边之比为 2：3： ，故本选项错误；D、三角形的三边分别为 ， ，4，三边之比为 ： ：4 ，故本选项错误故选：B6 （4 分）在平面直角坐标系中，将抛物线 y=x24 先向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位，得到的抛物线的表达式是（ ）Ay= （ x2） 22 By=（x+2） 2+2 Cy=（x2） 2+2Dy=（x +2） 22【解答】解：函数 y=x24 向
12、右平移 2 个单位，得：y=（x2） 24；再向上平移 2 个单位，得：y=（x 2） 22；故选：A7 （4 分）在同一坐标系中（水平方向是 x 轴） ，函数 y= 和 y=kx+3 的图象大致是（ ）A B C D【解答】解：A、由函数 y= 的图象可知 k0 与 y=kx+3 的图象 k0 一致，故A 选项正确；B、因为 y=kx+3 的图象交 y 轴于正半轴，故 B 选项错误；C、因为 y=kx+3 的图象交 y 轴于正半轴，故 C 选项错误；D、由函数 y= 的图象可知 k0 与 y=kx+3 的图象 k0 矛盾，故 D 选项错误故选：A8 （4 分）若有二次函数 y=ax2+c，当
13、 x 取 x1，x 2（ x1x 2）时，函数值相等，则当 x=x1+x2 时，函数值为（ ）Aa +c Bac Cc Dc【解答】解：二次函数 y=ax2+c 的对称轴是 y 轴，当 x 取 x1，x 2（x 1x 2）时，函数值相等，即以 x1，x 2 为横坐标的点关于 y 轴对称，则 x1+x2=0，此时函数值为 y=ax2+c=0+c=c故选：D9 （4 分）如图所示是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过 A 点（3，0） ，二次函数图象对称轴为 x=1，给出四个结论：b 24ac；bc0；2a +b=0；a+b+c=0 ，其中正确结论是（ ）A B C D【解答】解：
14、图象与 x 轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，b24ac0，b 24ac，正确；因为开口向下，故 a0，有 0，则 b0，又 c0，故 bc0，错误；由对称轴 x= =1，得 2a+b=0，正确；当 x=1 时，a+b+c 0 ，错误；故正确故选：B10 （4 分）如图，点 G、 E、A、B 在一条直线上， RtEFG 从如图所示的位置出发，沿直线 AB 向右匀速运动，当点 G 与 B 重合时停止运动设EFG 与矩形 ABCD 重合部分的面积为 S，运动时间为 t，则 S 与 t 的图象大致是（ ）A B C D【解答】解：设 GE=a，EF=b，AE=m，AB=c，RtEFG 向右匀
15、速运动的速度为1，当 E 点在点 A 左侧时，S=0 ；当点 G 在点 A 左侧，点 E 在点 A 右侧时，如图，AE=tm，GA=a（tm）=a +mt，PA EF，GAP GEF， = ，即 =PA= （a+mt） ，S= （PA+FE）AE= （a+m t）（tm）S 是 t 的二次函数，且二次项系数为负数，所以抛物线开口向下；当点 G 在点 A 右侧，点 E 在点 B 左侧时，S= ab；当点 G 在点 B 左侧，点 E 在点 B 右侧时，如图，GB=a+m+ct，PA EF，GBPGEF， = ，PB= （a+m+ct ） ，S= GBPB= （a+m+c t） （a+m+ct）=
16、（ta mc） 2，S 是 t 的二次函数，且二次项系数为，正数，所以抛物线开口向上，综上所述，S 与 t 的图象分为四段，第一段为 x 轴上的一条线段，第二段为开口向下的抛物线的一部分，第三段为与 x 轴平行的线段，第四段为开口向上的抛物线的一部分故选：D二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）11 （5 分）在平面直角坐标系的第一象限内，边长为 1 的正方形 ABCD 的边均平行于坐标轴，A 点的坐标为（a，a） 如图，若曲线 与此正方形的边有交点，则 a 的取值范围是 a 【解答】解：A 点的坐标为（a，a） 根据题意 C（ a1，a1） ，当 C 在曲线 时，则 a1=
17、 ，解得 a= +1，当 A 在曲线 时，则 a= ，解得 a= ，a 的取值范围是 a 故答案为 a 12 （5 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上一点，且BE： EC=2：1 ，AE 与 BD 交于点 F， 则AFD 与四边形 DF EC 的面积之比是 9：11 【解答】解：设 CE=x，S BEF =a，CE=x，BE：CE=2：1，BE=2x ，AD=BC=CD=AD=3x；BC ADEBF=ADF，又BFE=DFA ；EBFADFS BEF ：S ADF = = = ，那么 SADF = aS BCD SBEF =S 四边形 EFDC=S 正方形 ABCDSAB
18、E SADF ， x2a=9x2 3x2x ，化简可求出 x2= ；S AFD ：S 四边形 DFEC= ： = ： =9：11，故答案为 9：1113 （5 分）把二次函数 y=（x 1） 2+2 的图象绕原点旋转 180后得到的图象的解析式为 y=（x +1） 22 【解答】解：二次函数 y=（x 1） 2+2 顶点坐标为（1，2） ，绕原点旋转 180后得到的二次函数图象的顶点坐标为（ 1，2） ，所以，旋转后的新函数图象的解析式为 y=（x+1） 22故答案为：y=（x +1） 2214 （5 分）已知：AM ：MD=4 ：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC= 8：5 【解答】解：
19、过点 D 作 DFBE 交 AC 于 F，DFBE，AMEADF ，AM：MD=AE：EF=4：1=8：2DFBE，CDFCBE，BD：DC=EF：FC=2：3AE ：EC=AE ：（EF+FC）=8：（2+3）AE ：EC=8 ：5 三、本大题共 2 小题 （每小题 8 分，满分 16 分）15 （8 分）已知抛物线的顶点为（1， 3） ，与 y 轴的交点为（0，5） ，求抛物线的解析式【解答】解：设抛物线为 y=a（x +1） 23，把（0，5）代入得 a3=5，解得 a=2，所以抛物线为 y=2（x+1） 2316 （8 分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画
20、出A 1B1C1 和 A 2B2C2；（1）把ABC 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位，得到A 1B1C1；（2）以图中的 O 为位似中心，将 A 1B1C1 作位似变换且放大到原来的两倍，得到A 2B2C2【解答】解：如图四、本大题共 2 小题 （每小题 8 分，满分 16 分）17 （8 分）如图，ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在 BC 上，其余两个顶点分别在边AB、AC 上（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长是宽的 2 倍，则边长是多少？【解答】解：（1）设边长为 xmm，矩形为正
21、方形，PQ BC，PNAD，根据平行线的性质可以得出： 、 ，由题意知 PN=x，AD=80，BC=120，PQ=x，即 ， ，AP+BP=AB， =1，解得 x=48答：若这个矩形是正方形，那么边长是 48mm来源:Z#xx#k.Com（2）设边宽为 xmm，则长为 2xmm，PNMQ 为矩形，来源:Zxxk.ComPQ BC，PNAD，根据平行线的性质可以得出： 、 ，PN 为长，PQ 为宽：由题意知 PN=2xmm，AD=80mm，BC=120mm，AP=xmm，即 ， ，AP+BP=AB， =1，解得 x=30，2x=60即长为 60mm，宽为 30mmPN 为宽，PQ 为长：由题意知
22、 PN=xmm，AD=80mm，BC=120mm，AP=2xmm，即 ， ，AP+BP=AB， =1，解得 x= ，2x= 即长为 mm，宽为 mm答：矩形的长为 60mm，宽是 30mm 或者长为 mm，宽为 mm18 （8 分）如图，在ABC 中，EFCD ，DEBC，求证：AFBD=ADFD【解答】证明：EFCD，DE BC ， = ， = ， = ，AFBD=ADFD五、本大题共 2 小题 （每小题 10 分，满分 20 分）19 （10 分）已知抛物线的解析式为 y=x2（2m 1）x +m2m来源:Z.xx.k.Com（1）求证：此抛物线与 x 轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物
23、线与直线 y=x3m+4 的一个交点在 y 轴上，求 m 的值【解答】解：（1）证明：令 y=0 得：x 2（2m1）x+m 2m=0 = （ 2m1） 24（m 2m）10，方程有两个不等的实数根，原抛物线与 x 轴有两个不同的交点；（2）令：x=0，根据题意有：m 2m=3m+4，解得 m=1+ 或1 20 （10 分）某商人如果将进货价为 8 元的 商品按每件 10 元出售，每天可销售100 件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价 1 元其销售量就要减少 10 件，问他将售出价（x）定为多少元时，才能使每天所赚的利润（y）最大并求出最大利润【解答】解：由题意得
24、，y=（x 8）10010（x10）=10（x14） 2+360（10a 20 ） ，a=100当 x=14 时，y 有最大值 360答：他将售出价（x）定为 14 元时，才能使每天所赚的利润（y）最大，最大利润是 360 元六、本大题满分 12 分21 （12 分）如图，在ABC 中，AB=8cm，BC=16cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB向点 B 以 2cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4cm/s 的速度移动，如果点 P、Q 分别从点 A、B 同时出发，经几秒钟 PBQ 与ABC 相似？试说明理由【解答】解：设经 x 秒钟 PBQ 与ABC 相似，
25、则 AP=2xcm，BQ=4xcm ，AB=8cm，BC=16cm ，BP=ABAP=（82x）cm，B 是公共角，来源:Z#xx#k.Com当 = ，即 = 时，PBQABC，解得：x=2；当 = ，即 = 时，QBPABC，解得：x=0.8，经 2 或 0.8 秒钟PBQ 与ABC 相似七、本大题满分 12 分22 （12 分）如图所示，正比例函数 y= x 的图象与反比例函数 y= （k 0）在第一象限的图象交于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 M，已知OAM 的面积为 1（1）求反比例函数的解析式；（2）如果点 B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点 B 与点 A 不重合）
26、 ，且点 B 的横坐标为 1，在 x 轴上求一点 P，使 PA+PB 最小来源:学科网 ZXXK【解答】解：（1）设点 A（x，y）OAM 的面积为 1， xy=1，y= x，解得：x= 2，x0，y=1，点 A（2，1） ，将点 A 的坐标代入 y= ，k=2，反比例函数的解析式为：y= ，（2）将 x=1 代入 y= ，y=2，B（1，2） ，设点 A 关于 x 轴的对称点为 C，连接 BC 交 x 轴于点 P，点 C（2， 1） ，设直线 BC 的解析式为： y=mx+n，将点 B（1，2）和 C（2， 1）代入 y=mx+n，解得：直线 BC 的解析式为： y=3x+5令 y=0，x=
27、当点 P（ ，0）时，此时 PA+PB 最小八、本大题满分 14 分23 （14 分）如图，已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点 P，顶点为 C（1， 2） （1）求此函数的解析式；（2）作点 C 关于 x 轴的对称点 D，顺次连接 A、C、B、D若在抛物线上存在点 E，使直线 PE 将四边形 ACBD 分成面积相等的两个四边形，求点 E 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点 F，使得PEF 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点 F 的坐标及PEF 的面积；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）二次函数 y=x2+bx
28、+c 的顶点为 C（1，2） =1， =2，b=2，c= 1，二次函数解析式为 y=x22x1；（2）如图 1，点 C（1， 2）是抛物线的顶点，而点 D 是点 C 关于 x 轴的对称点，D（1，2） ，AB 垂直平分 CD，点 A，B 是抛物线与 x 轴的交点，CD 垂直平分 AB，四边形 ACBD 是菱形，过对角线 AB，CD 的交点的任何一条直线将四边形ACBD 分成面积相等的两个四边形，直线 PE 过线段 AB 的中点（1，0） ，二次函数解析式为 y=x22x1；P（0，1） ，直线 PE 解析式为 y=x1，联立得，E（3，2） ，（3）存在点 F，使得PEF 是以 P 为直角顶点的直角三角形；假设存在点 F，如图 2，由（2）知，直线 PE 解析式为 y=x1，P（0，1） ，直线 PF 解析式为 y=x1，联立解得 F（1，2） ，C （1，2） ，点 F 与点 C 重合，P（0，1） ，E（3，2） ，F（1，2） ，PE= =3 ，PF= = ，S PEF = PEPF= 3 =3
