1、2025 届高三新起点摸底考试届高三新起点摸底考试数学试卷数学试卷 本试题卷共本试题卷共 4 大题，大题，19小题，满分小题，满分 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.祝考试顺利祝考试顺利注意事项：注意事项：1.答卷前，先将自己的姓名答卷前，先将自己的姓名准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在写在试卷试卷草稿纸和答题卡的非
2、答题区域均无效草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷写在试卷草稿纸和草稿纸和答题卡的非答题区域均无效答题卡的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一一 选择题：本大题共选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.已知全集()06,2,4,6UUABxxAB=N，则集合
3、A=（）A.3,5B.0,3,5C.1,3,5D.0,1,3,52.已知2i（i是虚数单位）是关于x的方程20(,)xbxcb c+=R的一个根，则bc+=（）A.9B.1C.7D.2i53.已知随机变量()22,XN，且(3)0.2P X=，则(13)PX的左右焦点分别为12,F F，过2F的直线与双曲线的右支交于,A B两点，若1ABF的周长为10a，则双曲线离心率的取值范围为（）A.6,2+B.10,2+C.61,2 D.101,2 8.设函数()()()2lnf xaxxb=+，若()0f x，则22ab+的最小值为（）A 15 B.55 C.12 D.22 二二 多选题：本题共多选题
4、：本题共 3小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，部分选对的得部分.9.某班有男生 30人，女生 20 人.在某次考试中，男生成绩的均分和女生成绩的均分分别为()1212,x xxx；方差分别为2212,ss，该班成绩的均分和方差为2,x s，则下列结论一定正确的是（）A.123255xxx=+B.123255xxx+C.222123255sss=+D.222123255sss+10.在平面直角坐标系中，()()2,0,0,2AB，则下列曲线
5、中存在两个不同的点,M N使得MAMB=且NANB=的有（）A.221(1)2xy+=B.2212xy+=C.221xy=D.22yx=11.已知函数()()22*sincosnnnfxxx n=+N，记()nfx最小值为na，则（）A.12378aaa+=B.()*,nnfx N的图象关于直线4x=对称 C.()1nfx D ()1ln 12niia=+时，不等式()()f xg x恒成立.17.如图，在三棱锥PABC中，2 3,6,30,90,PABCPCABPBABCD=为AC上的动点.（1）若3AD=，求证：PD 平面ABC；（2）若平面PAD与平面PBD的夹角为4，求CD的长.18.
6、已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率32e=，连接四个顶点所得菱形的面积为 4.斜率为k的直线交椭圆于,A B两点.（1）求椭圆C的方程；的第4页/共4页 学科网（北京）股份有限公司（2）若1k=，求AB的最大值；（3）设O为坐标原点，若,A B O三点不共线，且,OA OB的斜率满足2OAOBkkk=，求证：22|OAOB+为定值.19.若有穷数列 na满足：10niia=且11niia=，则称其为“n阶0 1数列”.（1）若“6 阶0 1数列”为等比数列，写出该数列的各项；（2）若某“21k+阶0 1数列”为等差数列，求该数列的通项na（121nk+，用,n k表示）；（3
7、）记“n阶0 1数列”na的前k项和为()1,2,3,kSkn=，若存在1,2,3,mn，使12mS=，试问：数列()1,2,3,iSin=能否为“n阶0 1数列”？若能，求出所有这样的数列 na；若不能，请说明理由.第1页/共18页 学科网（北京）股份有限公司2025 届高三新起点摸底考试届高三新起点摸底考试数学试卷数学试卷 本试题卷共本试题卷共 4 大题，大题，19小题，满分小题，满分 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.祝考试顺利祝考试顺利注意事项：注意事项：1.答卷前，先将自己的姓名答卷前，先将自己的姓名准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题准考证号填写
8、在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在写在试卷试卷草稿纸和答题卡的非答题区域均无效草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷写在试卷草稿纸和草稿纸和答题卡的非答题区域均无效答题卡的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
9、一一 选择题：本大题共选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.已知全集()06,2,4,6UUABxxAB=N，则集合A=（）A.3,5B.0,3,5C.1,3,5D.0,1,3,5【答案】D【解析】【分析】根据集合的交集、并集、补集运算规则，以及结合子集的定义即可得解.【详解】因为()2,4,6UAB=，所以2,4,6B且246AAA、又060,1,2,3,4,5,6UABxx=N 所以2,4,6B=，0,1,3,5A=故选：D.2.已知2i（i是虚
10、数单位）是关于x的方程20(,)xbxcb c+=R的一个根，则bc+=（）A.9B.1C.7D.2i5【答案】B【解析】第2页/共18页 学科网（北京）股份有限公司【分析】把方程的根代入方程，利用复数相等的列方程组求解.【详解】已知2i（i是虚数单位）是关于x的方程20(,)xbxcb c+=R的一个根，则2(2 i)(2 i)0bc+=，即44i 12i0bbc+=，即32040bcb+=，解得45bc=，故1bc+=.故选：B 3.已知随机变量()22,XN，且(3)0.2P X=，则(13)PX=（）A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.3【答案】B【解析】【分析】根据正态分布曲
11、线的对称性性质可得【详解】因为()22,XN，正态分布图象的对称性可知，()()130.2P XP X=，所以()()(13)1130.6PXP XP X=.故选：B.4.已知数列 na满足1111,14nnaaa+=，则6a=（）A.14 B.45 C.54 D.5【答案】B【解析】【分析】由递推数列的性质，代值求解即可.【详解】123211114,15,1,45aaaaa=456345111141,15,145aaaaaa=，故选：B.5.已知1,2,3abab=，则a在b上的投影向量为（）第3页/共18页 学科网（北京）股份有限公司 A.12b B.12a C.14b D.14a【答案】
12、C【解析】【分析】先根据数量积的运算律求出a b，再根据投影向量的定义即可得解.【详解】由3ab=，得()2222523ababa ba b=+=，所以1a b=，所以a在b上的投影向量为14a b bbbb=.故选：C.6.已知()sin2sin2=+，且tan2=，则()tan+=（）A.6 B.2 C.2 D.6【答案】A【解析】【分析】关键是角的构造，将()sin2sin2=+构造成()()sin2sin+=+，再由正弦的和差角公式展开化简求解.【详解】由题，()sin2sin2=+，则()()sin2sin+=+，()()()()sincoscossin2sincos2cossin+
13、=+，()()sincos3cossin+=+，()tan3tan6+=，故选：A.7.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的左右焦点分别为12,F F，过2F的直线与双曲线的右支交于,A B两点，若1ABF的周长为10a，则双曲线离心率的取值范围为（）A.6,2+B.10,2+C.61,2 D.101,2【答案】D 第4页/共18页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】根据双曲线定义及焦点三角形周长、焦点弦性质有24410baaa+，即可求离心率范围.【详解】根据双曲线定义知：1AFB的周长为42aAB+，而22bABa，所以24424baABaa+，而1AFB的周长为10
14、a，所以24410baaa+，即2223ba，所以()22223caa，解得102e，双曲线离心率的取值范围是101,2.故选：D 8.设函数()()()2lnf xaxxb=+，若()0f x，则22ab+的最小值为（）A.15 B.55 C.12 D.22【答案】A【解析】【分析】由()0f x 结合对数的运算性质与不等式解集运算可得21ab+=，代入消元后求解二次函数最值即可.【详解】()f x的定义域为(,)b+，令()ln0 xb+=，得1xb=，当1xb=时，()0f x=满足题意，2aR；当1bxb 时，ln()0 xb+时，ln()0 xb+，由()0f x，得2xa，要使任意
15、(1,)xb+，()0f x 恒成立，则)(1,)2,ba+，所以21ab；综上，21ab=，即21ab+=.又22222221(12)541555abaaaaa+=+=+=+，aR，当且仅当2515ab=时，取最小值15.所以22ab+的最小值为15.故选：A.二二 多选题：本题共多选题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，部分选对的得部分.9.某班有男生 30人，女生 20 人.在某次考试中，男生成绩的均分和女生成绩的均分分别
16、为()1212,x xxx；方差分别为2212,ss，该班成绩的均分和方差为2,x s，则下列结论一定正确的是（）A.123255xxx=+B.123255xxx+C.222123255sss=+D.222123255sss+【答案】AD【解析】【分析】利用公式计算平均数与标准差判断各个选项;【详解】某班有男生 30 人，女生 20 人.在某次考试中，男生成绩的均分和女生成绩的均分分别为()1212,x xxx；方差分别为2212,ss，对于 A、B，该班成绩均分为1212302032505055xxxxx=+=+，所以 A正确，B 错误；对于 C、D，2222211121313011()()
17、()()30sxxxxxxxx=+2222212330123301112()30()30 xxxxxxxxxx=+的 第6页/共18页 学科网（北京）股份有限公司 2222221233011160()30()30 xxxxxx=+22222123301130()30 xxxxx=+302211()iixx=，所以302221111(),30iisxx=同理5022222311()20iisxx=，该班成绩的方差为2222211223020()()5050ssxxsxx=+222211122212332232()()555555sxxxsxxx=+222222121221123222333255
18、555555ssxxxxss=+，所以 D 正确，C错误；故选：AD.10.在平面直角坐标系中，()()2,0,0,2AB，则下列曲线中存在两个不同的点,M N使得MAMB=且NANB=的有（）A.221(1)2xy+=B.2212xy+=C.221xy=D.22yx=【答案】BD【解析】【分析】将条件转化为曲线与线段AB的垂直平分线有两个不同的交点,依次验证即可.【详解】由题，线段AB的垂直平分线为：0 xy=，与曲线有两个不同的交点，对于 A选项，圆心()21,0,2r=，圆心到直线的距离为22r=，直线与圆只有一个交点，不合题意，故A选项错误；对于 B选项，联立226633,166233
19、yxxxxyyy=+=，故 B选项正确；第7页/共18页 学科网（北京）股份有限公司 对于 C选项，221yxxy=无解，故 C选项错误；对于 D选项，202,202yxxxyxyy=，故 D选项正确.故选：BD.11.已知函数()()22*sincosnnnfxxx n=+N，记()nfx的最小值为na，则（）A.12378aaa+=B.()*,nnfx N的图象关于直线4x=对称 C.()1nfx D.()1ln 12niia=+时，设2sin xt=，令()()1nnh ttt=+，求得()()111nnh tn tt=，求得()h t的函数的单调性与()1min12nh t=，求得11
20、2nna=，可判定 A 错误；由()2nnfxfx=，可判定 B 正确；由 A 选项，即可求出()nfx的最大值为 1，可判定 C正确；由()ln1xx+，得到()ln 1iiaa+，进而得到()11ln 1iiiinnaa=+时，设2sin xt=，则2cos1xt=，令()()1nnh ttt=+，可得()()()111111nnnnh tntntn tt=，其中0,1t，当102t 时，011tt ，所以()111nntt，可得()0h t；当112t，所以()1min1122nh th=，即112nna=，所以1231171244aaa+=+=，所以 A 错误；对于 B中，因为()22
21、22sincoscossin222nnnnnnfxxxxxfx=+=+=，第8页/共18页 学科网（北京）股份有限公司 所以函数()nfx的图象都关于直线4x=对称，所以 B正确；对于 C中，由 A选项知，()()001 01nnh=+=，()()111 11nnh=+=，所以()h t的最大值为 1，即()nfx的最大值为 1，故 C正确；对于 D中，设()ln1g xxx=+，可得()111xgxxx=，当()0,1x时，()0gx，()g x单调递增；当()1,x+时，()0gx，()g x单调递减，又由()10g=，所以()()10g xg=，即ln1xx，所以()ln1xx+，可得(
22、)ln 1iiaa+，所以()1111112ln 1221212iiniinnnaa=+=，所以 D正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：该题 A,C 选项的关键是，通过换元构造函数，借助导数，求出函数的最大值最小值，从而得解，对于 B 选项的关键是把对称问题，转化为证明等式恒成立问题，对于 D选项的关键是构造函数，再一次借助导数，证明不等式()ln1xx+，从而借助不等式性质，和数列求和即可得证.三三 填空题：本题共填空题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.()52xy+的展开式中32x y的系数是_.（用数字作答）【答案】40【解析】【分析】利用通项
23、中,x y的指数确定r，然后可得.【详解】因为()52xy+展开式的通项()55155C22 CrrrrrrrrTxyxy+=，所以含32x y的项为第 3项，即2r=，所以32x y的系数是2252 C40=.故答案为：40 13.底面边长为 4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2，高为 3 的正四棱锥，所得棱台的体积为_【答案】28【解析】第9页/共18页 学科网（北京）股份有限公司【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解.【详解】方法一：由于2142=，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥
24、的高为6，所以正四棱锥的体积为()14 46323=，截去的正四棱锥的体积为()12 2343=，所以棱台的体积为32428=.方法二：棱台的体积为()1316416 4283+=.故答案为：28.14.将编号为1,2,3,4,55 个小球随机放置在圆周的 5 个等分点上，每个等分点上各有一个小球.则使圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和最小的放法的概率为_.【答案】13【解析】【分析】先求出基本事件的总个数，设12,kx xx是依次排列于这段弧上的小球号码，根据绝对值不等式可得11215kxxxx+的最小值及取最小值时12,1,5,kx xx的关系，再结合古典概型即可得出答案.【详解】五个
25、编号不同的小球放在圆周的五个等分点上，每点放一个相当于五个不同元素在圆周上的一个圆形排列，共有55A4!5=种放法，考虑到翻转因素，故本质不同的放法有4!2种，的 第10页/共18页 学科网（北京）股份有限公司 下求使圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和最小的放法数：在圆周上，从 1 到 5有优弧和劣弧两条路径，对其中任一条路径，设12,kx xx是依次排列于这段弧上的小球号码，则()()()11211215151 54kkxxxxxxxx+=，当且仅当1215kxxx时，不等式()()f xg x恒成立.【答案】（1）单调递增区间为(),1，单调递减区间为()1,+，函数()f x的极大值
26、为1e，无极小值 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，根据导函数的符号确定函数的递增递减区间，继而得到极大值；（2）令()()(),1h xf xg x x=，求导利用单调性即得结论.【小问 1 详解】由()exf xx=可得：()(1)exfxx=,故当(),1x 时，0fx，函数()f x单调递增，当()1,x+时，()0fx，则222()(1)(1)(1)(1),1xxxxh xx exexeex=+=则当1x 时，()0h x，故函数()h x单调递增，于是，当1x 时，()(1)0h xh=，故当1x 时，不等式()()f xg x恒成立.17.如图，在三棱锥PABC中
27、，2 3,6,30,90,PABCPCABPBABCD=为AC上的动点.（1）若3AD=，求证：PD 平面ABC；（2）若平面PAD与平面PBD的夹角为4，求CD的长.【答案】（1）证明见解析 （2）11 34CD=【解析】【分析】（1）两次利用勾股定理分别证明PDAD，PDBD，即可得证；（2）由（1）问可知，确定空间直角坐标系的原点位置，然后建系，利用已知的二面角建立等式关系，求出动点 D的坐标，即可得出答案.小问 1 详解】在RtABC中，6,2 3ABBC=，则4 3AC=，【第13页/共18页 学科网（北京）股份有限公司 又2 3,6PAPC=，所以222ACPCPA=+由勾股定理可
28、得APC为直角三角形，90APC=,所以tan3PCPACPA=，所以60PAC=在PAD中，因为3AD=，由余弦定理可得：222222cos(2 3)(3)2 2 33cos609PDAPADAP ADPAD=+=+=则222PDADPA+=，所以PDAD，又3 3,60CDACB=，在DCB中由余弦定理可得：()()222222cos2 33 32 2 33 3cos6021BDBCCDBC CDACB=+=+=，则222PDBDPB+=，所以PDBD，又ADBDDAD=，平面ABCBD，平面ABC，所以PD 平面ABC【小问 2 详解】AC上取一点O，使3AO=由（1）可得PO平面ABC
29、，作OEAC，如图以O为坐标原点，,OE OC OP所在的直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.则点()()()()()0,0,0,1,0,0,0,0,3,3,2 3,0,0,0OEPBDt，因为OE 平面APD，所以()1,0,0OE=为平面APD的一个法向量，设平面PDB的一个法向量为()()(),3,2 3,3,3,2 3,0nx y zPBDBt=，由00n PBn DB=可得()32 33032 30 xyzxt y+=+=，取3y=，则2 3,xtzt=，所以()2 3,3,ntt=，在 第14页/共18页 学科网（北京）股份有限公司 因为cos4n OEnOE=，所以2
30、22 322(2 3)9ttt=+，解得34t=，即34OD=，又4 333 3OCACAO=，所以311 33 344CDOCOD=,所以当11 34CD=时，则二面角APDB的大小为4.18.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率32e=，连接四个顶点所得菱形的面积为 4.斜率为k的直线交椭圆于,A B两点.（1）求椭圆C的方程；（2）若1k=，求AB的最大值；（3）设O为坐标原点，若,A B O三点不共线，且,OA OB的斜率满足2OAOBkkk=，求证：22|OAOB+为定值.【答案】（1）2214xy+=（2）4 105.（3）证明见解析【解析】【分析】(1)由椭圆的基
31、本性质，连接四个顶点所得菱形的面积为12242ab=，即可求解;(2)联立2214xyyxm+=+，可得：2258440 xmxm+=，由韦达定理，弦长公式求解；(3)联立2214xyykxt+=+，可得：()222148440kxktxt+=，由韦达定理，又由2OAOBkkk=，所以212122,22xxt x xt+=，代入22|OAOB+为定值.【小问 1 详解】第15页/共18页 学科网（北京）股份有限公司因为32cea=，所以2214ba=，又连接四个顶点所得菱形的面积为12242ab=，可得2ab=，解得2,1ab=，所以椭圆方程为2214xy+=.【小问 2 详解】如图所示：设直
32、线AB的方程为：()()1122,yxm A x yB xy=+联立2214xyyxm+=+，可得：2258440 xmxm+=，则()216 5055mm=由韦达定理可得：2121222844,1414kttxxx xkk+=+，又由()()122121212OAOBkxtkxty ykkkx xx x+=，可得()2120kt xxt+=，代入可得22 240ktt=，即214k=.所以212122,22xxt x xt+=，所以()()2222222221122121233|22(2)2 222544OAOBxyxyxxx xtt+=+=+=+=故22|OAOB+为定值.19.若有穷数列
33、 na满足：10niia=且11niia=，则称其为“n阶0 1数列”.（1）若“6 阶0 1数列”为等比数列，写出该数列的各项；（2）若某“21k+阶0 1数列”为等差数列，求该数列的通项na（121nk+，用,n k表示）；（3）记“n阶0 1数列”na的前k项和为()1,2,3,kSkn=，若存在1,2,3,mn，使12mS=，试问：数列()1,2,3,iSin=能否为“n阶0 1数列”？若能，求出所有这样的数列 na；若不能，请说明理由.【答案】（1）11 11 11,66 66 66或1 11 11 1,6 66 66 6 （2）答案见解析 （3）不是，理由见解析【解析】【分析】（1
34、）根“n阶0 1数列”的定义求解即可；（2）结合“n阶0 1数列”的定义，首先得120,kkaad+=，然后分公差是大于 0、等于 0、小于 0 进行讨论即可求解；（3）记12,na aa中非负项和为A，负项和为B，则0,1ABAB+=，进一步()11,2,3,2kSkn=，结合前面的结论以及“n阶0 1数列”的定义得出矛盾即可求解.【小问 1 详解】设123456,a a a a a a成公比为q的等比数列，显然1q，第17页/共18页 学科网（北京）股份有限公司 则有1234560aaaaaa+=，得()61101aqq=，解得1q=，由1234561aaaaaa+=，得161a=，解得1
35、16a=，所以数列11 11 11,66 66 66或1 11 11 1,6 66 66 6为所求；【小问 2 详解】设等差数列()12321,1ka a aak+的公差为d，123210kaaaa+=，()()11221210,02kkdkaakd+=+=，即120,kkaad+=，当0d=时，矛盾，当0d 时，()23211212kkkkaaaaaa+=+，()1122k kkdd+=，即()11dk k=+，由10ka+=得()1101akk k+=+，即111ak=+，()()()()*1111,21111nnannnkkk kk kk=+=+N，当0d 时，()()*1,211nna
36、nnkk kk=+N，当0d 时，()()*1,211nnannkk kk=+N；【小问 3 详解】第18页/共18页 学科网（北京）股份有限公司 记12,na aa中非负项和为 A，负项和为B，则0,1ABAB+=，得1111,2222kABBSA=，即()11,2,3,2kSkn=，若存在1,2,3,mn，使12mS=，可知：12120,0,0,0,0,0mmmnaaaaaa+，且1212mmnaaa+=，1km 时，0,0;1kkaSmkn+时，0,0kknaSS=123123nnSSSSSSSS+=+，又1230nSSSS+=与1231nSSSS+=不能同时成立，数列()1,2,3,iSin=不为“n阶0 1数列”.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到10a，20a，0ma，10ma+，20ma+，0na，且1212mmnaaa+=，由此即可顺利得解.
