1、第4章等可能条件下的概率一、选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1（2分）（2022秋丛台区校级期末）一个不透明的袋子里有3个白球，7个黑球，这些球除颜色外完全相同如果从袋子里随机摸出一个球，那么摸到白球的概率是（）A3BCD2（2分）（2023顺德区三模）如图是由6个全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取一点，那么这个点取在阴影部分的概率是（）ABCD13（2分）如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60，90，210让转盘自由转动，转盘停止后指针（指针指向分隔线，则重新转动转盘）落在红色区域的概率是（）ABCD4（2分）（2023太平区二模）如图，在一块
2、正三角形飞镖游戏板上画一个正六边形（图中阴影部分），假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影部分的概率为（）ABCD5（2分）（2023宝安区校级一模）“天宫课堂”第二课3月23日在中国空间站开讲，包括六个项目：太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验、空间科学设施介绍与展示、天地互动环节若随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是（）ABCD6（2分）（2023安徽三模）如图，E，F，G，H是菱形ABCD边的中点，EG，FH交于点O在菱形ABCD内任取一点，该点恰好落在OEH或OFG内的
3、概率为（）ABCD7（2分）（2023兴宁区校级模拟）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各面分别标有数字1、2、3、4、5、6，则出现朝上的数字小于3的概率是（）ABCD8（2分）（2023工业园区校级二模）如图是面积为6的正六边形ABCDEF飞镖游戏板，点M，N分别为边EF，BC上的一点，若向该六边形飞镖游戏板投掷一枚飞镖，假设飞镖击中正六边形内的每一个位置是等可能的（击中图中阴影部分的边界或没有击中正六边形板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中图中阴影部分的概率是（）ABCD9（2分）（2023城厢区校级模拟）在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中红球3个、黄球2个和白球1
4、个，从袋中任意摸出一个球，是红球的概率为（）ABCD10（2分）（2023容城县校级一模）如图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如图，现将不同质量的一“”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为y甲（g）和y乙（g），则下列关系可能出现的是（）Ay甲y乙By甲2y乙C5y甲6y乙D3y甲5y乙二、填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11（2分）（2023舟山二模）为了弘扬中华传统文化，营造书香校园文化氛围，某学校举行中华传统文化知识大赛活动，该学校从两名女生和一名男生中随机选出两名同学担任本次活动的主持人，选
5、出的恰好为一男一女的概率是_12（2分）在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别从袋子中随机取出1个球，则取出红球的概率是_13（2分）（2023利津县二模）如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是_14（2分）（2023历城区模拟）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是_15（2分）（2023滨江区一模）如图，转盘被分成5个面积相等的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率为_16（2分）（2023
6、春威海期末）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，最终停在阴影区域的概率为_17（2分）（2023鄞州区校级开学）某单位内线电话号码由3个数字组成，每个数字可以是1、2、3中的任一个，如果不知道某人的内线电话号码，任意拨一个电话号码，正好说此人内线电话号码的概率是_18（2分）（2023鄞州区校级模拟）如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且EOF90，随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是_19（2分）（2023高新区一模）东汉时期的数学家赵爽在注解周髀算经时，给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图1，四个直角三角形是全等的，且直角三角形的长直角边与短直角边
7、之比为2：1，现连接四条线段得到图2的新的图案若随机向该图形内掷一枚针，则针尖落在图2中阴影区域的概率为_20（2分）有五张正面分别标有数2，0，1，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程ax13（x+1）3x的解是正整数的概率_三、解答题（共8小题，满分60分）21（6分）（2023香洲区校级三模）某校学生会向全校2000名学生发起了“文化书香”阅读活动为了解学生在阅读上的花费情况，学生会随机调查了部分学生的上月每周末平均花费金额，并用得到的数据绘制了如下统计图1和图2，请根据相关信息，解答下列问题：（1）本
8、次接受随机抽样调查的学生人数为_，图1中m的值是_（2）本次调查获取的样本数据的平均数为_元，众数为_元，中位数为_元（3）已知平均花费在15元的12名初中生中有4名男生和8名女生，若从这12名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是_（4）根据样本数据，估计该校本次活动花费金额为10元的学生有_人22（6分）（2023迎泽区校级三模）某餐厅新开业，为了吸引顾客，推出“摸球有礼”优惠活动餐厅在一个不透明的纸箱中装入除颜色外完全相同的小球共50个，其中红色球3个、黄色球5个、蓝色球12个，剩余为绿色用餐结束后，顾客在结账前有一次摸奖机会，可以从纸箱中任意
9、摸出一球（记下颜色后放回），根据摸到的小球颜色决定这一次用餐可享受的优惠（如表所示）求某顾客通过摸球获得餐费打折优惠的概率小球颜色所享优惠红色餐费七折黄色餐费八折蓝色餐费九折绿色赠纸巾一盒23（8分）（2023温州模拟）某校共抽取50名同学参加学校举办的“预防新冠肺炎”知识测验，所得成绩分别记作60分、70分、80分、90分、100分，并将统计结果绘制成不完整的扇形统计图（如图）（1）若n72，则成绩为60分的人数为_；（2）若从这50位同学中随机抽取一人，则抽到的同学分数不高于70分的概率为_；（3）若成绩的唯一众数为70分，求这个班平均成绩的最小值24（8分）（2023方城县模拟）十九大给
10、中原发展提供了新动力小刚同学就本班学生对中原经济区知识的了解程度进行了一次调查统计，如图为其收集数据后绘制的两幅不完整的统计图请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）该班共有多少名学生？并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；（3）若该校共有2000名学生，则对中原经济区知识的了解程度应为“不了解”的同学大约是多少人？（4）从该班中任选一人，其对中原经济区知识的了解程度应为“熟悉”的概率是多少？25（8分）（2023龙华区校级模拟）“端午节”是我国的传统节日，民间历来有吃“粽子”的习俗我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的猪肉馅粽、豆沙馅粽、蛋黄馅
11、粽、蜜枣馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图的两幅统计图：请根据以上信息回答：（1）本次调查中，样本容量是_；（2）爱吃A粽的人数的百分比是_；（3）扇形统计图中“B”所对应的扇形圆心角是_度；（4）若居民区有6000人，估计爱吃C粽的人数为_；（5）若有外形完全相同的A、B、C、D粽子各一个，煮熟后，小王吃了两个，吃到C粽的概率为_26（8分）（2023海南）某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务，随机抽取若干名学生进行了问卷调查调查问卷如下：调查问卷在下列课外活动中，你最喜欢的是（）（单选）A文学B科技C艺术D体育填完后
12、，请将问卷交给教务处根据统计得到的数据，绘制成下面两幅不完整的统计图请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题：（1）本次调查采用的调查方式为_（填写“普查”或“抽样调查”）；（2）在这次调查中，抽取的学生一共有_人；扇形统计图中n的值为_；（3）已知选择“科技”类课外活动的50名学生中有30名男生和20名女生若从这50名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是_；（4）若该校共有1000名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生有_人27（8分）（2023振兴区校级二模）某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查
13、，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：（1）在调查活动中，教育局采取的调查方式是_（填写“普查”或“抽样调查”）；（2）教育局抽取的初中生有_人，扇形统计图中m的值是_；（3）若该市共有初中生10000名，求平均每天完成作业时长在“70t80”分钟的初中生约有多少人？（4）已知平均每天完成作业时长在“100t110”分钟的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，请用树状图或表格法求出恰好抽到男生的概率是多少？28（8分）随机抛掷图中均匀的正四面体（正四面体的
14、各面依次标有1，2，3，4四个数字），并且自由转动图中的转盘（转盘被分成面积相等的五个扇形区域）（1）求正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的概率；（2）设正四面体着地的数字为a，转盘指针所指区域内的数字为b，求关于x的方程ax2+3x+0有实数根的概率参考答案一、选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1B解：从袋子里随机摸出一个球共有10种等可能结果，其中摸到白球的有3种结果，摸到白球的概率为，故选：B2B解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的，即这个点取在阴影部分的概率是，故选：B3C解：由题意可得，故选：C4D解：如图，根据等边三角形和正六边形的性质，可知图中所有小三
15、角形的面积都相等，任意投掷飞镖一次，飞镖投中阴影部分的概率为故选：D5C解：共6个项目，“实验”项目有太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验共4个，随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是，故选：C6B解：如图，E、F、G、H是菱形ABCD边的中点，EG，FH交于点OO是AC的中点，EH、EO、HO是ABC的中位线，EHOABC，同理，在菱形ABCD内任取一点，该点恰好落在OEH或OFG内的概率为故选：B7B解：抛掷六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6的骰子有6种结果，其中朝上一面的数字小于3的有2种，朝上一面的数字小于3的倍数概率是故选：B8A解：如图
16、，连接AD，CE，BF，交点为O，由正六边形ABCDEF可得，EFAD，ADEFBC，设EFAODOa，设EF与AD的距离为h，四边形ADEF的面积63，3ah3，ah2，SADM2ah2，同理可得SADN2，S阴影S正六边形ABCDEFSADMSADN2，任意投掷飞镖一次，飞镖击中图中阴影部分的概率是故选：A9B解：从袋中任意摸出一个球，共有6种等可能结果，其中是红球的有3种结果，从袋中任意摸出一个球，是红球的概率为故选：B10C解：由左图可知2个“”与1个“”的质量等于2个“”的质量，1个“”的质量等于2个“”的质量右图中，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，共有4种情况：（1）“
17、”和“”都落到左边的托盘时：左边有3个“”2个“”，相当于7个“”，右边有2个“”，相当于4个“”，此时4y甲7y乙；（2）“”和“”都落到右边的托盘时：左边有2个“”1个“”，相当于4个“”，右边有3个“”1个“”，相当于7个“”，此时7y甲4y乙；（3）“”落到左边的托盘，“”落到右边的托盘时：左边有3个“”1个“”，相当于5个“”，右边有3个“”，相当于6个“”，此时6y甲5y乙；（4）“”落到右边的托盘，“”落到左边的托盘时：左边有2个“”2个“”，相当于6个“”，右边有2个“”1个“”，相当于5个“”，此时5y甲6y乙；观察四个选项可知，只有选项C符合题意，故选：C二、填空题（共10
18、小题，满分20分，每小题2分）11解：根据题意画树状图如下：共有6种机会均等的结果，其中一男一女占4种，则恰好抽中一男一女的概率是；故答案为：12解：在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，共5个球，取出红球的概率是故答案为：13解：游戏板的面积为339，其中黑色区域为3，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是，故答案为：14解：若将每个方格地砖的面积记为1，则图中地砖的总面积为9，其中阴影部分的面积为2，所以该小球停留在黑色区域的概率是故答案为：15解：转盘被分成5个面积相等的扇形，其中阴影部分占2份，指针落在阴影区域的概率为，故答案为：16解：由图可知，黑色方砖5块，共有25块
19、方砖，黑色方砖在整个地板中所占的比值，它停在黑色区域的概率是故答案为：17解：号码由1，2，3三个数字组成的内线电话，共有6种等可能出现的结构情况，所以概率是；故答案为：18解：设正方形为ABCD，故点O作OHBC于点H，作OGAB于点G，EOG+GOF90，GOF+FOH90，EOGHOF，OGEOHF90，OHOG，OGEOHF（AAS），SOGESOHF，S阴影S正方形OGBHS正方形ABCD，在正方形中，满足点E、F分别在正方形的边上（此处采用极限思想），且EOF90的图形如图所示：因此EOF的面积是正方形总面积的，因此米粒落在图中阴影部分的概率是19解：如图2，设直角三角形的长直角边
20、与短直角边分别为2x和x，则ACx，BDx，ABCD，ABD是直角三角形，则大正方形面积AC25x2，ADC面积xxx2，阴影部分的面积S5x24x23x2，针尖落在阴影区域的概率为故答案为：20解：将原方程整理可得ax4，当a1、4时，方程的解为正整数，使关于x的方程ax13（x+1）3x的解是正整数的概率为，故答案为：三、解答题（共8小题，满分60分）21解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为：48%50（人），m%18%16%20%24%32%，即m32；故答案为：50，32；（2）10出现了16次，出现的次数最多，本次调查获取的样本数据的众数是10元；共有50人，中位数是第25、2
21、6个数的平均数，本次调查获取的样本数据的中位数是15（元）；本次调查获取的样本数据的平均数是16（元），故答案为：16，10，15；（3）平均花费在15元的12名初中生中有4名男生和8名女生，从这12名学生中随机抽取一名进行访谈，则恰好抽到男生的概率是故答案为：；（4）200032%640（人），答：估计该校本次活动花费金额为10元的学生有640人22解：一共有50个小球，其中红色球3个、黄色球5个、蓝色球12个，获得餐费打折的共有20个，某顾客通过摸球获得餐费打折优惠的概率为23解：（1）若n72，则100%20%，故60分的学生所占比例为：120%30%20%8%22%，则60分的人数为：
22、22%5011（人），故答案为：11；（2）不高于70分的人数为：50（130%20%8%）21（人），则抽到的同学分数不高于70分的概率为：；（3）70分的人数为：5020%10（人），且70分为成绩的唯一众数，当90分的人数为1人时，这个班的平均数最小，平均成绩的最小值为：（508%100+5022%60+5020%70+90+5030%80 ）5061（分）答：这个班平均成绩的最小值为61分24解：（1）510%50（人），“一般了解”的学生有：5030%15（名），“熟悉”的学生有：505152010（名），故该班共有50名学生如图所示：（2）故“了解较多”部分所对应的圆心角的度数为1
23、44；（3）（人）故对中原经济区知识的了解程度应为“不了解”的同学大约是200人；（4）故该班任选一人对中原经济区知识的了解程度为“熟悉”的概率为25解：（1）6010%600（人），故答案为：600；（2）180600100%30%，故答案为：30%；（3）36036，故答案为：36；（4）60001200（人），故答案为：1200人；（5）从外形完全相同的A、B、C、D粽子各一个，任选2个，所有等可能出现的结果如下：共有12种等可能出现的结果，其中含有粽子C的有6种，所以从外形完全相同的A、B、C、D粽子各一个，煮熟后，小王吃了两个吃到C粽的概率为，故答案为：26解：（1）本次调查采用的调
24、查方式为抽样调查；故答案为：抽样调查；（2）7035%200（人），100%22%，在这次调查中，抽取的学生一共有200人；扇形统计图中n的值为22；故答案为：200，22；（3）恰好抽到女生的概率是；故答案为：；（4）估计选择“文学”类课外活动的学生有100035%350（人），故答案为：35027解：（1）在调查活动中，教育局采取的调查方式是抽样调查；故答案为：抽样调查；（2）4515%300（人），所以教育局抽取的初中生有300人，m%115%3%7%45%30%，所以m30；故答案为：300，30；（3）1000030%3000（人），所以估计平均每天完成作业时长在“70t80”分钟的
25、初中生约有3000人；（4）从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率为28解；（1）画树状图得出：总共有20种结果，每种结果出现的可能性相同，正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的有3种情况，故正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的概率为：；（2）方程ax2+3x+0有实数根的条件为：9ab0，满足ab9的结果共有14种：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2）关于x的方程ax2+3x+0有实数根的概率为：
