1、2024年湖南省长沙市部分学校中考模拟数学试题一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ）A. 3与B. 8与C. 7与D. 5与2. 2023年10月29日，长沙马拉松正式开赛本届长沙马拉松全马、半马参赛人数较往届各增加1000人，其中全马9000人、半马13000人、欢乐跑4000人，参赛总人数增加到26000人数据26000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ）A. B. C D. 4. 长沙宁乡出土的“四羊方尊”是我国商代青铜器工艺品中杰出的代表作之一，现收藏于中国国家博物馆如图，关于它的三视图，下列说法
2、正确的是（ ）A. 三种视图都相同B. 主视图与左视图相同C. 主视图与俯视图相同D. 左视图与俯视图相同5. 如图，直线，相交于点O，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 6. 不等式组解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B. C. D. 7. 2023年国庆期间，某商场举行庆国庆促销活动，商场对一款原价为a元的商品降价销售一段时间后，为加大促销力度，再次降价x%，此时售价降低了b元，则（ ）A. B. C. D. 8. 分式方程的解是（ ）A. B. C. D. 9. 如图，在中考体育模拟测试中，某校10名学生体育模拟测试成绩如图所示，对于这10名学生的体育模拟测试成绩，下列说法错误
3、的是（ ）A. 极差是10B. 众数是90分C. 平均数是91分D. 中位数是90分10. 如图是长沙某4S店新能源车轮胎展厅陈列的轮胎正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形当轮胎正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切若，则此轮胎的半径为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题；每小题3分，共18分）11. 8算术平方根和立方根的积是_12. 在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标为_13. 2023年湘江新区“湘江艺术季”于13月4日在谢子龙影像艺术馆正式启幕，本次“艺术季”涵盖艺术展览、高峰论坛级讲座、公共交流与创作、青少年艺术研学、互动演艺、公共创作等
4、六大种类丰富的公共艺术活动活动按照六部分分类开展，现小静和小珍两人各随机从中选择一类活动先进行观看，则两人选择先观看的活动内容恰好是同一类别的概率为_14. 已知一个扇形的圆心角为，半径是，则此扇形的面积为_15. 兴趣小组为了解某电路中电压U（V）、电流I（A）、电阻R（）三者之间的关系，测得数据如表，根据数据猜想得到三者之间的关系为：由此可得，当电阻时，电流_AR（）50100200400I（A）16. 如图，为四边形的对角线，E是的中点，连接交于点F若，则的长为_三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25
5、题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：18. 先化简，再求值：，其中19. 如图，D是的边上的一点，连接，已知（1）求证：；（2）若，求线段的长20. 我市某中学开展了“强国复兴有我”迎国庆知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩（满分100分），按得分划分为A：，B：，C：，D：四个等级，绘制成如下两幅不完整的统计图表分数段（分）频数（人）频率10ab16c4d请根据以上信息回答下列问题：（1）这次抽样调查的样本容量为_；（2）其中频数分布表中_，_并补全频数分布直方图；（3）若该校共有1200名同学参赛，成绩在80分以上（包括80分）的为
6、“优”等，估计全校学生成绩为“优”等的学生有多少人21. 为优化社区风貌，提升“夜长沙”气质，某小区购进一款新型路灯，如图是路灯架造型示意图已知支撑臂AB与支撑柱的夹角，支撑臂，（参考数据：，）（1）求B点与支撑柱距离；（2）若cm，支撑臂，求路灯C离地面的距离22. 为了培育“一镇一特，一村一品”，加快农民脱贫致富步伐近年来，长沙某镇依托地域优势创办了优质葡萄种植基地，该基地对外销售种植的A，B两种不同品种的葡萄，A品种葡萄每千克的售价比B品种葡萄每千克的售价的2倍少4元，3千克A品种葡萄比4千克B品种葡萄多卖4元（1）问葡萄种植基地销售的A，B两种葡萄每千克的售价各是多少元？（2）某超市计
7、划从葡萄种植基地购进400千克葡萄，其中A品种葡萄不少于80千克，且总费用不超过3600元，超市对购进的葡萄进行包装销售（如下表），全部包装销售完，当包装A品种葡萄多少包时，所获总利润最大？最大总利润为多少元？葡萄品种A品种B品种每包中葡萄重量（千克）12售价（元/包）1820每个包装盒的成本（元）3223. 如图，点E是矩形对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F连接交于点G，（1）试判断线段与的位置关系，并说明理由；（2）若，求的长24. 我们规定：若二次函数（a，b，c为常数，且）与x轴的两个交点的横坐标，满足，则称该二次函数为“强基函数”，其中点，称为该“强基函数”的一对
8、“基点”（1）判断：下列函数中，为“强基函数”的是_（仅填序号）；（2）已知二次函数为“强基函数”，求：当时，函数的最大值（3）已知直线与x轴交于点C，与双曲线交于点A，点B的坐标为若点，是某“强基函数”的一对“基点”，位于内部求的取值范围；若为整数，是否存在满足条件的“强基函数”？若存在，请求出该“强基函数”的解析式；若不存在，请说明理由25. 如图，内接于，是的直径，是的切线，点D是AC上一动点（点D不与点A，B重合），连接BD并延长交AC于点H，交CF于点E，连接AE，AD（1）求的面积；（2）当时，求的长；（3）若的面积记为，的面积记为，的面积记为，的面积记为，请用含k的代数式表示的值
9、2024年湖南省长沙市部分学校中考模拟数学试题一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ）A. 3与B. 8与C. 7与D. 5与【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了相反数的概念，求解绝对值，熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数，是解题的关键根据相反数的定义分别进行解答，即可得出答案【详解】解：A、，故A不符合题意；B、 8与不是相反数，故B不符合题意；C、 7与不是相反数，故C不符合题意；D、 5与互为相反数，故D符合题意故选：D2. 2023年10月29日，长沙马拉松正式开赛本届长沙马拉松的全马、半马参赛人数较往届各增加1000人，其中全马
10、9000人、半马13000人、欢乐跑4000人，参赛总人数增加到26000人数据26000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了科学记数法，一般形式为，其中，n为正整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可【详解】解：故选：C3. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查的是积的乘方运算，合并同类项，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，根据运算运算的运算法则逐一判断即可【详解】解：，故A不符合题意；，故B符合题意；，故C不符合题意；，故D不符合题意；故选B4. 长沙宁乡出土的“四羊方尊”是我国商代青铜器
11、工艺品中杰出的代表作之一，现收藏于中国国家博物馆如图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）A. 三种视图都相同B. 主视图与左视图相同C. 主视图与俯视图相同D. 左视图与俯视图相同【答案】B【解析】【分析】本题考查的是三视图的含义，分别根据三种视图的特点可得答案【详解】解：“四羊方尊”的俯视图与主视图，左视图不同，故A，C，D不符合题意；“四羊方尊”的主视图，左视图相同，故B符合题意；故选B5. 如图，直线，相交于点O，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，对顶角的性质，熟练的运用几何图形中角的和差关系是解本题的关键先求
12、解，结合，求解，再利用对顶角的性质可得答案【详解】解： ， ， 故选C6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找”的原则是解答此题的关键分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可【详解】解：由得，得：，由得：，则不等式组的解集为，在数轴上表示为：故选：D7. 2023年国庆期间，某商场举行庆国庆促销活动，商场对一款原价为a元的商品降价销售一段时间后，为加大促销力度，再次降价x%，此时售价降低了b元，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【
13、分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确地理解题意是解题的关键根据某商场对一款原价位元的商品降价销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价，此时售价降低了元列方程即可得到结论【详解】解：根据题意得，故选：C8. 分式方程的解是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根观察可得方程最简公分母为，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验【详解】解：，两边同乘，得，整理、解得：检验：将代入，方程的解为故选：A9. 如图，在中考体育模拟测试中，某校10名学生体育模拟测试成
14、绩如图所示，对于这10名学生的体育模拟测试成绩，下列说法错误的是（ ）A. 极差是10B. 众数是90分C. 平均数是91分D. 中位数是90分【答案】A【解析】【分析】此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、极差，能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、极差是解题的关键根据众数、中位数、平均数、极差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案【详解】解：A、，极差是，故A符合题意；B、90出现了5次，出现次数最多，众数是90；故此选项不符合题意；C、平均数是；故此选项不符合题意；D、共有10个数，中位数是第5、6个数的平均数，中位数是；故此选项不符合题意故选
15、：A10. 如图是长沙某4S店新能源车轮胎展厅陈列的轮胎正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形当轮胎正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切若，则此轮胎的半径为（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，过点作，交于点，交于点，则点为轮胎与边的切点，由矩形的性质得，则，得，设轮胎的半径为，则，然后由勾股定理列出方程即可求解【详解】解：连接，过点作，交于点，交于点，则，轮胎正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，点为切点，四边形是矩形，设轮胎的半径为，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：，轮胎的半径是故选：C二、填
16、空题（本大题共6个小题；每小题3分，共18分）11. 8的算术平方根和立方根的积是_【答案】【解析】【分析】此题考查了实数的混合运算，求出算术平方根和立方根，再计算乘法即可【详解】解：，8的算术平方根和立方根的积是，故答案为：12. 在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标为_【答案】（2，3）【解析】【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案【详解】解：点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标为（2，3），故答案为：（2，3）【点睛】此题主要考查了关于y轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律13. 2023年湘江新区“湘江艺术季”于13月4
17、日在谢子龙影像艺术馆正式启幕，本次“艺术季”涵盖艺术展览、高峰论坛级讲座、公共交流与创作、青少年艺术研学、互动演艺、公共创作等六大种类丰富的公共艺术活动活动按照六部分分类开展，现小静和小珍两人各随机从中选择一类活动先进行观看，则两人选择先观看的活动内容恰好是同一类别的概率为_【答案】【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率用、， E，F表示艺术展览、高峰论坛级讲座、公共交流与创作、青少年艺术研学、互动演艺、公共创作，画树状图展示所有36种等可能的结果，再找出两人选择恰好是同一类别的结果
18、数，然后根据概率公式计算【详解】解：分别用A，B，C，D，E，F表示艺术展览、高峰论坛级讲座、公共交流与创作、青少年艺术研学、互动演艺、公共创作，列表如下：ABCDEFABCDEF共有种等可能的结果，其中两人选择恰好是同一类别的结果数为，所以两人选择恰好是同一类别的概率故答案为：14. 已知一个扇形的圆心角为，半径是，则此扇形的面积为_【答案】【解析】【分析】此题考查了扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键利用扇形面积公式计算即可【详解】解：扇形的面积为，故答案为：15. 兴趣小组为了解某电路中电压U（V）、电流I（A）、电阻R（）三者之间的关系，测得数据如表，根据数据猜想得到三者之间的关
19、系为：由此可得，当电阻时，电流_AR（）50100200400I（A）【答案】【解析】【分析】本题考查反比例函数应用，解答本题的关键是明确题意，求出U的值根据题意和表格中的数据，可以得到的值是一个定值，然后将代入函数解析式，求出的值即可【详解】解：由题意可得，由表格可知：当时，当时，故答案为：16. 如图，为四边形的对角线，E是的中点，连接交于点F若，则的长为_【答案】【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是先证明，得出，证明，设，则，根据勾股定理得出，根据三角形面积公式得出，求出x的值即可【详解】解：，E是的中点，设，则，根据勾股定理得：，解得：
20、或（舍去），的长为故答案为：三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：【答案】【解析】【分析】此题考查了实数的混合运算，负整数指数幂、立方根、绝对值，代入特殊角的三角函数值并按照相关运算法则计算即可【详解】18. 先化简，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】此题考查了分式的化简求值，根据分式四则混合运算法则化简分式，再把字母的值代入计算即可【详解】当时，原式19. 如图，D是的边上的一点，连接，已知（1）求证：；（2）若，求
21、线段的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键（1）利用相似三角形的判定定理证明即可；（2）根据相似三角形对应边成比例进行计算求出，即可得到线段的长【小问1详解】证明：，；【小问2详解】，得，解得，20. 我市某中学开展了“强国复兴有我”迎国庆知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩（满分100分），按得分划分为A：，B：，C：，D：四个等级，绘制成如下两幅不完整的统计图表分数段（分）频数（人）频率10ab16c4d请根据以上信息回答下列问题：（1）这次抽样调查样本容量为_；（2）其中频数分布表中_，_并补全频数
22、分布直方图；（3）若该校共有1200名同学参赛，成绩在80分以上（包括80分）的为“优”等，估计全校学生成绩为“优”等的学生有多少人【答案】（1） （2）， （3）人【解析】【分析】此题考查了扇形统计图、频数分布表等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题（）由等级的频数除以频率求出参赛学生共有的人数，即可解决问题；（）用总人数减去其它等级的人数即可求出成绩在等级的学生人数，得到a的值，用C等级的人数除以总人数即可得到c的值，根据所求补全统计图即可；（）由C、D等级的人数之和的占比乘以全校人数同学即可小问1详解】参赛学生共有（人），即这次抽样调查的样本容量为，故答案为：【小问2详解
23、】成绩在等级的学生人数为（人），即，故答案为：，补全频数分布直方图如下：【小问3详解】（人）答：估计全校学生成绩为“优”等的学生有人21. 为优化社区风貌，提升“夜长沙”气质，某小区购进一款新型路灯，如图是路灯架造型示意图已知支撑臂AB与支撑柱的夹角，支撑臂，（参考数据：，）（1）求B点与支撑柱的距离；（2）若cm，支撑臂，求路灯C离地面的距离【答案】（1） （2）路灯C离地面的距离为；【解析】【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键（1）直接利用锐角的正弦求解即可；（2）如图，过作交于，过作于，过作于，过作于，证明，求解，求解，可
24、得，再利用线段的和差可得答案【小问1详解】解：如图，由题意可得：，B点与支撑柱的距离为；【小问2详解】如图，过作交于，过作于，过作于，过作于，则，四边形，四边形为矩形，路灯C离地面的距离为22. 为了培育“一镇一特，一村一品”，加快农民脱贫致富步伐近年来，长沙某镇依托地域优势创办了优质葡萄种植基地，该基地对外销售种植的A，B两种不同品种的葡萄，A品种葡萄每千克的售价比B品种葡萄每千克的售价的2倍少4元，3千克A品种葡萄比4千克B品种葡萄多卖4元（1）问葡萄种植基地销售的A，B两种葡萄每千克的售价各是多少元？（2）某超市计划从葡萄种植基地购进400千克葡萄，其中A品种葡萄不少于80千克，且总费用
25、不超过3600元，超市对购进的葡萄进行包装销售（如下表），全部包装销售完，当包装A品种葡萄多少包时，所获总利润最大？最大总利润为多少元？葡萄品种A品种B品种每包中葡萄重量（千克）12售价（元/包）1820每个包装盒的成本（元）32【答案】（1）A，B两种葡萄每千克的售价各是12元，8元 （2）当包装A品种葡萄100包时，所获总利润最大，最大总利润为元【解析】【分析】本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式（1）设葡萄种植基地销售的A，B两种葡萄每千克的售价各是x元，y元，根据“A品种葡萄每千克的售价比B品种葡萄每千克的售价的2倍少4元，3千克A品种葡
26、萄比4千克B品种葡萄多卖4元”列方程组并解方程组即可；（2）设包装A品种葡萄m包，则包装B品种葡萄包，设总利润为w元，列不等式组求出m的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可【小问1详解】解：设葡萄种植基地销售的A，B两种葡萄每千克的售价各是x元，y元，根据题意，得，解得答：A，B两种葡萄每千克的售价各是12元，8元【小问2详解】设包装A品种葡萄m包，则包装B品种葡萄包，设总利润为w元，则，解得，总利润，w随着m的增大而增大，当时，得到最大值，当包装A品种葡萄100包时，所获总利润最大，最大总利润为元23. 如图，点E是矩形对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F连接交于点G，（
27、1）试判断线段与的位置关系，并说明理由；（2）若，求的长【答案】（1），理由见解析 （2）【解析】【分析】（1）先证明是等腰三角形，再证明，则，根据等腰三角形三线合一即可得到结论；（2）根据勾股定理求出，再用等积法求出，证明,则，代入已知线段长度即可得到答案【小问1详解】解：，理由如下：四边形是矩形，是等腰三角形，在和中，；【小问2详解】，,，,，,，即，解得【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，证明和是解题的关键24. 我们规定：若二次函数（a，b，c为常数，且）与x轴的两个交点的横坐标，满足，则称该二次函数为“强基函数”
28、，其中点，称为该“强基函数”的一对“基点”（1）判断：下列函数中，为“强基函数”的是_（仅填序号）；（2）已知二次函数为“强基函数”，求：当时，函数的最大值（3）已知直线与x轴交于点C，与双曲线交于点A，点B的坐标为若点，是某“强基函数”的一对“基点”，位于内部求的取值范围；若为整数，是否存在满足条件的“强基函数”？若存在，请求出该“强基函数”的解析式；若不存在，请说明理由【答案】（1） （2）当时函数最大值为或当时函数最大值为； （3）的取值范围是：或；【解析】【分析】（1）根据抛物线与轴的交点情况的判定方法分别判定与与轴的交点情况，再求解交点坐标，结合新定义，从而可得答案；（2）由时，可得
29、，或，当时，根据新定义可得或，再分情况求解函数的最大值即可；（3）先得到点A、B、C的坐标，然后分或两种情况，列出关于的不等式组，然后解不等式组即可；根据为整数，先求出的值，然后根据二次函数的交点式直接得到二次函数的解析式即可【小问1详解】解：；，抛物线与轴有两个交点，是“强基函数”，抛物线与轴没有交点，不是“强基函数”故答案为：；【小问2详解】二次函数为“强基函数”，时，或，当时，或，解得：或，当时，函数为，如图，此时当时，函数最大值为；当时，函数为，如图，此时当或时，函数最大值为；【小问3详解】联立，解得：，点A的坐标为：，把代入 得：，解得：，点C的坐标为，设直线为，解得：，直线的解析式
30、为：， 点，是某“强基函数”的一对“基点”， 位于内部当时，点P在直线上，点位于以A、B、C三点所构成的三角形内部，如图，解得：；当时，P点坐标为，点P在直线上，点P位于以A、B、C三点所构成的三角形内部，如图，解得：；综上分析可知，的取值范围是：或；存在；理由如下：为整数，当时，此时，此时，“强基函数”的一对“基点”为，“强基函数”为；当时，则没有符合条件的整数的值，不存在符合条件的“强基函数”；综上，“强基函数”为【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的综合应用，新定义的含义，本题难度大，灵活应用各知识点，理解新定义的含义是解题的关键25. 如图，内接于，是的直径，是的切线，点
31、D是AC上一动点（点D不与点A，B重合），连接BD并延长交AC于点H，交CF于点E，连接AE，AD（1）求的面积；（2）当时，求的长；（3）若的面积记为，的面积记为，的面积记为，的面积记为，请用含k的代数式表示的值【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）根据圆周角定理先得到，勾股定理求出，再利用三线合一求出，即可利用面积公式求出答案；（2）根据已知得到，过点E作，交延长线于点G，根据平行线间的距离处处相等得，再根据30度角的性质得到的长；（3）根据相似三角形及勾股定理分别求出，即可得到的值【小问1详解】是的直径，连接，又是的切线，,， ；【小问2详解】，过点E作，交延长线于点G，则，；【小问3详解】，在中，即，【点睛】此题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，直角三角形30度角的性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键
