1、2023年浙江省宁波市海曙区七年级数学竞赛试题一、单项选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分）1. 已知x为实数，且值是一个确定的常数，则这个常数是（ ）A. 5B. 10C. 15D. 752. 如图，在数轴上标出若干点，每相邻两点长为1，P，Q，R，S，T对应的整数分别为p，q，r，s，t，且，则原点对应的点是（ ）A. PB. QC. RD. S3. 某大学毕业生为自主创业于2021年8月初向银行贷款360000元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2021年9月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为，现因经营状况良好，准备向银行申请提前还款，计划于2026年8月初
2、将剩余贷款全部一次还清，则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少（ ）（注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数；另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率1年按12个月计算）A. 18300元B. 22450元C. 27450元D. 28300元4. 由1、2、3、4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足这样的四位数共有（ ）A. 36个B. 40个C. 44个D. 48个5. 方程解是x（）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）6.
3、如图，BF，DF分别平分和，与互补，则的度数为_7. 如图所示：已知，现有点和点分别从，两点出发相向运动，点速度为，点速度为，当到达点后掉头向点运动，点在向运动过程中经过点时，速度变为，两点中有一点到达点时，全部停止运动，那么经过_后的距离为8. 已知等边ABC的高为6，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到直线AB的距离是1，点P到直线AC的距离是3，则点P到直线BC的距离可能是_9. 如图，直线分别与直线，相交于点G，H，且点M在直线，之间，连接，射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若，则的度数为_10. 如图，在三角形中，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点，连接（1）阴
4、影部分的周长为_；（2）若三角形的面积比三角形的面积大，则的值为_11. 现有浓度不同的A、B、C三种盐水，其中B种盐水质量为10千克，A、C两种盐水的质量都为整数如果从A、B两种盐水中倒出2m千克，将倒出的A种盐水与B种盐水余下的部分混合，将倒出的B种盐水与A种盐水余下的部分混合，那么混合后两种盐水浓度相同；如果从A、C两种盐水中各倒出m千克，将倒出的A种盐水与C种盐水余下的部分混合，将倒出的C种盐水与A种盐水余下的部分混合，那么混合后两种盐水浓度相同则A种盐水原来的质量为_千克三、解答题（本大题共5小题，共61分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）12. 解方程，（1）（2）1
5、3. 将1，2，3，16这16个数分成8组若求的最小值必要时可以利用排序不等式（又称排序原理）：设，为两组实数，是的任一排列，则14. 下列m个整数中恰有69个不同的整数，问自然数m的最大值和最小值分别是多少？.15. 将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒（1）当_秒时，平分；（2）如图2，旋转三角板，使得、同时在直线的异侧，则与数量关系为_；如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由（3）若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每
6、秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止请直接写出在旋转过程中，与的数量关系16 如图，直线/，一副直角三角板，中，（1）若如图1摆放，当ED平分时，证明：FD平分（2）若，如图2摆放时，求的度数（3）若图2中固定将沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作和角平分线GH、FH相交于点（如图3），求的度数（4）若图2中固定，（如图4）将绕点A顺时针旋转，2分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与的一条边平行时，请求出旋转的时间2023年浙江省宁波市海曙区七年级数学竞赛试题一、单项选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分）1. 已知x为实数，且的值是一个确定的常
7、数，则这个常数是（ ）A. 5B. 10C. 15D. 75【答案】A【解析】【分析】将按照每一段的取值范围进行分类讨论，即可得到答案【详解】解：（1）当时，原式，不是常数；（2）当时，原式，不是常数；（3）当时，原式，不是常数；（4）当时，原式，不是常数；（5）当时，原式，不是常数；（6）当时，原式，不是常数；（7）当时，原式，不是常数；（8）当时，原式，不常数；（9）当时，原式，不是常数；（10）当时，原式，不是常数；（11）当时，原式，是常数；（12）当时，原式，不是常数；（13）当时，原式，不是常数；（14）当时，原式，不是常数；（15）当时，原式，不是常数；（16）当时，原式，不是常
8、数故选：A【点睛】本题考查了绝对值的性质，解决本题的关键是弄清绝对值的性质以及具有分类讨论的意识2. 如图，在数轴上标出若干点，每相邻两点长为1，P，Q，R，S，T对应的整数分别为p，q，r，s，t，且，则原点对应的点是（ ）A. PB. QC. RD. S【答案】B【解析】【分析】【详解】由图形知，因为所以，解得，Q是原点故选B3. 某大学毕业生为自主创业于2021年8月初向银行贷款360000元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2021年9月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为，现因经营状况良好，准备向银行申请提前还款，计划于2026年8月初将剩余贷款全部一次还清，则
9、该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少（ ）（注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数；另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率1年按12个月计算）A. 18300元B. 22450元C. 27450元D. 28300元【答案】C【解析】【分析】截止2026年8月，两种还款方式最终所还本金相同，且两种还款方式所还利息也相同所以按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少的部分为：按原计划还款时，自2026年9月起至原计划结束时所还的利息，即共计60个月的利息根据“等额本金还款法
10、”，算出2026年9月起每个月的利息，然后进行求和就可得后60个月的总利息，从而得出答案【详解】每月应还本金为，2026年8月还完后本金还剩，2026年9月应还利息为：；2026年10月应还利息为：；2026年11月应还利息为：；，最后一次应还利息为：；后60个月的利息合计为：即该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少27450元故选：C【点睛】本题考查了题意理解能力、计算能力和实际问题解决能力，能理解题意并准确地进行有理数运算是做出本题的关键4. 由1、2、3、4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足这样的四位数共有（ ）A. 36个B. 40个C. 44个D.
11、48个【答案】C【解析】【分析】由题意可知这样的四位数可分别从使用的不同数字的个数分类考虑：只用1个数字，使用2个不同的数字，使用3个不同的数字，使用4个不同的数字，然后分别分析求解，即可求得答案【详解】根据使用的不同数字的个数分类考虑：只用1个数字，组成的四位数可以是：1111，2222，3333，4444，共有4个；使用2个不同数字，使用的数字有6种可能：1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4，如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是：1122，1221，2112，2211，共有4个，同样地，如果使用数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个，因此，这样的四位数共有64=24个；
12、使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是：1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个；使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是：1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个满足要求的四位数共有：4+24+8+8=44个故选C【点睛】本题主要考查数字问题，找出分类标准，掌握分类讨论思想，是解题的关键5. 方程的解是x（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】 ，提取公因式，得，将方程变形，得 ，提取公因式，得，移项，合并同类项，得，系数化为1，得x
13、=.故选C.二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）6. 如图，BF，DF分别平分和，与互补，则的度数为_【答案】#36度【解析】【分析】延长FB交CD于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.【详解】解：如图延长FB交CD于GBFEDF=EDF又DF平分CDE，CDE=2F，BFEDCGF=EDF=2F，ABCDABF=CGF=2F，BF平分ABEABE=2ABF=4F，又F与ABE互补F+ABE=180即5F=180，解得F=36故答案为36.【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键.7. 如图所示：已知，现有点和点分别从，两点出发相向
14、运动，点速度为，点速度为，当到达点后掉头向点运动，点在向的运动过程中经过点时，速度变为，两点中有一点到达点时，全部停止运动，那么经过_后的距离为【答案】0.9或1.1或或【解析】【分析】设经过t秒后PQ距离为0.5cm，然后分情况分别进行考虑：当P、Q在AB上且P在Q左侧时；当P、Q在AB上且P在Q右侧时；当Q从A返回还未到B时；当Q从A返回运动并超过B点时；当Q超过P时【详解】解：设经过t秒后PQ距离为0.5cm，当P、Q在AB上且P在Q左侧时，如图1所示：由题意得：5-2t-3t=0.5，解得：t=0.9s，当P、Q在AB上且P在Q右侧时，如图2所示：由题意得：2t+3t-0.5=5，解得
15、：t=1.1s，Q到达A所用时间为53=s，当Q从A返回还未到B时，如图3所示：由题意得：，解得：t=4.5s，但此时AQ= cm5cm，不符合题意；当Q从A返回运动并超过B点时，如图4所示：此时Q从B-A-B用时为：s，由题意得：，解得：s；当Q超过P时，如图5所示：由题意得：，解得：s，综上所述，当P、Q相距0.5cm时，经过的时间为0.9s或1.1s或或，故答案为：0.9或1.1或或【点睛】本题考查两点间的距离，解一元一次方程，涉及列代数式，分类讨论的思想，解题的关键是分哪几种情况讨论8. 已知等边ABC的高为6，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到直线AB的距离是1，点P到直线A
16、C的距离是3，则点P到直线BC的距离可能是_【答案】2、4、8、10【解析】【分析】根据在这个三角形所在的平面内有一点P，说明P点的位置可能三角形内，也可以三角形外，要同时满足P到直线AB的距离是1和点P到直线AC的距离是3，可通过画平行线找交点的办法找出符合条件P点有四个，再根据等积法求P到直线BC的距离.【详解】解：到AB的距离是1的点P在与AB平行且与AB的距离为1的两条直线a、b上，到AC的距离是2的点P在与AC平行且与AC的距离为2的直线c、d上，直线a、b、c、d的交点即为满足条件的点P，这样的点有4个，如图所示：（1）P点在P2位置时 即点P到BC的距离为2（2）P点在P1位置时
17、即点P到BC的距离为4（3）P点在P3位置时即点P到BC的距离为8（4）P点在P位置时故点P到直线BC的距离可能是：2、4、8、10.【点睛】此题考查了等边三角形的性质，以及平行线间的距离，作出相应的图形是理解本题的关键，等积法是求点P到直线BC的距离的根本方法9. 如图，直线分别与直线，相交于点G，H，且点M在直线，之间，连接，射线是平分线，在的延长线上取点N，连接，若，则的度数为_【答案】#45度【解析】【分析】设，根据角平分线的定义可得，过点作，过点作，根据平行线的性质可得，从而可得，根据角的和差可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得的值，由此即可得出
18、答案【详解】解：设，是的平分线，如图，过点作，过点作，又，即，整理得：，故答案为：【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键10. 如图，在三角形中，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点，连接（1）阴影部分的周长为_；（2）若三角形的面积比三角形的面积大，则的值为_【答案】 . . #【解析】【分析】（1）由平移的性质可得出，再根据，即可求出阴影部分的周长；（2）过A点作于，利用等面积法计算出，由，即可得出，再根据，即可列出关于a的等式，解出a即可【详解】（1）三角形沿方向平移得到三角形， 阴影部分的周长为，故答案为：；（2）过A
19、点作于，如图，BAC=90，即三角形的面积比三角形的面积大，即，解得故答案为：【点睛】本题考查平移的性质，平行四边形的面积，三角形的面积掌握平移的性质是解决（1）的关键，正确作出辅助线是解决（2）的关键11. 现有浓度不同的A、B、C三种盐水，其中B种盐水质量为10千克，A、C两种盐水的质量都为整数如果从A、B两种盐水中倒出2m千克，将倒出的A种盐水与B种盐水余下的部分混合，将倒出的B种盐水与A种盐水余下的部分混合，那么混合后两种盐水浓度相同；如果从A、C两种盐水中各倒出m千克，将倒出的A种盐水与C种盐水余下的部分混合，将倒出的C种盐水与A种盐水余下的部分混合，那么混合后两种盐水浓度相同则A种
20、盐水原来的质量为_千克【答案】5【解析】【分析】设A、B、C三种盐水的浓度分别为，种盐水的质量为千克，中盐水的质量为千克，根据题意列出方程组，解方程组即可求解【详解】解：设A、B、C三种盐水的浓度分别为，种盐水的质量为千克，中盐水的质量为千克，如果从A、B两种盐水中倒出2m千克，设倒出的A种盐水为千克，则倒出的B种盐水为千克则解得如果从A、C两种盐水中各倒出m千克，将倒出的A种盐水与C种盐水余下的部分混合，将倒出的C种盐水与A种盐水余下的部分混合，那么混合后两种盐水浓度相同即代入，解得是整数，则为整数，倒出的B种盐水为千克,即则时，符合题意，此时，都是整数故答案为：5【点睛】本题考查了二元一次
21、方程组的应用，求整数解试根是解题的关键三、解答题（本大题共5小题，共61分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）12. 解方程，（1）（2）【答案】（1）x=6；（2）.【解析】【分析】（1）首先把分子和分母中的小数化为整数，然后按照去分母、去括号、合并同类项、移项、系数化为1的步骤解方程即可；（2）先变形为，再整理得，即可解.【详解】解：（1）方程变形为，去分母得，去括号合并同类项得-10x+60=0,移项得-10x=-60,系数化为1得x=6.（2）方程变形为，.【点睛】此题主要考查了解一元一次方程，正确掌握解方程的方法是解题关键13. 将1，2，3，16这16个数分成8组若求的
22、最小值必要时可以利用排序不等式（又称排序原理）：设，为两组实数，是的任一排列，则【答案】482【解析】【分析】先根据题意设出一组实数，按照题干信息得出，根据排序不等式，当，从小到大排列时，的值最大，的值最小，然后分类进行讨论，得出结果即可【详解】由对称性，不妨设，2，8，且，则，若，则，不符合要求，于是，是8，10，11，12，13，14，15，16的一个排列，且，根据排序不等式，当，从小到大排列时，的值最大，的值最小当，从小到大排列时，的最小值为482或：，当，从小到大排列时，的最小值为482【点睛】本题主要考查力数列最小值计算，根据题干信息得出规律是解决本题得关键14. 下列m个整数中恰有
23、69个不同的整数，问自然数m的最大值和最小值分别是多少？.【答案】最小96，最大100【解析】【分析】由于,做带余除法找规律确定的值即可.【详解】解:由于,故只要确定的值即可.做带余除法:(k为整数),可以发现:当m取1-47时,k的值都是一一对应,相互不同的;当m取48和49时,k的值都是41,此时第一次出现重复;此后,若m再增大,k就会减少,故k下一个不同的值应为40,再下一个为39，也就是说,第48个商为41,那么第69个商应为.因此,只要找到中,m的最大值与最小值即可.因为,即m的最大值为100;因为,即m的最小值为96.答:自然数m的最小值是96,最大值是100.【点睛】此题运用了带
24、余除法以及数论结合的方法解决问题，有一定难度，找到规律确定的值是解题关键.15. 将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒（1）当_秒时，平分；（2）如图2，旋转三角板，使得、同时在直线的异侧，则与数量关系为_；如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由（3）若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止请直接写出在旋转过程中，与的数量关系【答案】（1） （2），理由见详解 （3）【解析】【分析】
25、（1）根据，平分，可得，结合运动特点可得：，解方程即可求解；（2）分别表示出，即有，问题得解；分别表示出，即有，问题得解；（3）分类讨论，第一种情况：、同时在直线的异侧，根据运动的特点：，根据，可得，即有；第二种情况：、同时在直线的右侧，同理可求出，问题得解【小问1详解】，平分，根据运动特点可知：，解得：（秒），故答案为：；【小问2详解】，理由如下：，；，理由如下：，；【小问3详解】，理由如下：分类讨论，第一种情况：、同时在直线的异侧，如图，根据运动的特点：，；第二种情况：、同时在直线的右侧，如图，根据运动的特点：，；综上：【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个
26、量之间的关系求出角的度数是解题的关键16. 如图，直线/，一副直角三角板，中，（1）若如图1摆放，当ED平分时，证明：FD平分（2）若，如图2摆放时，求的度数（3）若图2中固定将沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作和的角平分线GH、FH相交于点（如图3），求的度数（4）若图2中固定，（如图4）将绕点A顺时针旋转，2分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与的一条边平行时，请求出旋转的时间【答案】（1）见解析 （2）PDE的度数为15 （3）GHF67.5 （4）ABC绕点A顺时针旋转的时间为20s或60s或80s时，线段BC与DEF的一条边平行【解析】【分析】（
27、1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；（2）如图2，过点E作EKMN，利用平行线性质即可求得答案；（3）如图3，分别过点F、H作FLMN，HRPQ，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；（4）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为2分钟转半圈，即每秒转1.5，分三种情况：当BCDE时，当BCEF时，当BCDF时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可【小问1详解】解：如图1，在DEF中，EDF90，DFE30，DEF60，ED平分PEF，PEF2PED2DEF260120， PQMN，MFE180PEF18012060，MFDMFEDFE603030， MFDDFE，FD平分EFM；【小问
28、2详解】解：如图2，过点E作EKMN，BAC45，KEABAC45， PQMN，EKMN，PQEK，PDEDEKDEFKEA， 又DEF60PDE604515， 故答案为：15；【小问3详解】解：如图3，分别过点F、H作FLMN，HRPQ，LFABAC45，RHGQGH， FLMN，HRPQ，PQMN，FLPQHR， QGFGFL180，RHFHFLHFALFA，FGQ和GFA的角平分线GH、FH相交于点H，QGHFGQ，HFAGFA， DFE30，GFA180DFE150，HFAGFA75，RHFHFLHFALFA754530， GFLGFALFA15045105，RHGQGHFGQ（180
29、105）375， GHFRHGRHF37.53067.5；【小问4详解】解：设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为2分钟转半圈，即每秒转1.5，分三种情况：当BCDE时，如图5，此时ACDF，CAEDFE30，1.5t30，解得：t20； 当BCEF时，如图6，BCEF，BAEB45，BAMBAEEAM454590，1.5t90，解得：t60； 当BCDF时，如图7，延长BC交MN于K，延长DF交MN于R，PQMN，PDE15，EDF90，DRM（PDEEDF）180DRM75，BCDF，BKADRM75，ACK180ACB90，CAK90BKA907515，CAE180EAMCAK1804515120，1.5t120，解得：t80综上所述：ABC绕点A顺时针旋转的时间为20s或60s或80s时，线段BC与DEF的一条边平行【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键
