1、江苏省南京市玄武区二校联考2022-2023学年九年级上期中数学试题一、选择题（共6题，每题2分，共12分）1. 关于x的方程是一元二次方程，则（ ）A. B. C. D. 2. 一元二次方程的一根为2，则另一根为（ ）A. B. C. 1D. 33. 已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则此圆锥的侧面积为 ( )A. 15cm2B. 20cm2C. 25cm2D. 30cm24. 小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（）A. B. C. D. 均不可能5. 如图，ABC的顶点均在O上，若ABC+AOC=84，则A
2、OC的度数是（ ）A. 45B. 28C. 56D. 606. 若a是方程x2x1=0的一个根，则a3+2a+2021的值为（ ）A. 2020B. 2020C. 2021D. 2021二、填空题（共10题，每题2分，共20分）7. 方程的根是_8. 用配方法解方程，方程可变形为，则_，_9. 若关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_10. 如图，AB是半圆的直径，BAC=20，D是 的中点，则DAC的度数是_11. 某种过季绿茶的价格两次大幅下降，原来每袋250元，现在每袋90元，则平均每次下降的百分率是_12. 已知点到上各点的最大距离为，最小距离为，则
3、的半径为_13. 如图，四边形ABCD内接于O，DA=DC，CBE=50，则DAC的大小为_度.14. 如图，直线、分别与相切于点、，的周长是_15. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，点是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为_m16. 如图，在等腰直角三角形中，点是边上一动点，连结，以为直径的圆交于点，则长度的最小值是_ 三、解答题（共11题，88分）17. 解下列方程：（1）；（2）18. 已知关于的一元二次方程（1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为、，满足，求的值19. 如图，一块长，宽矩形铁皮在铁皮的四角各切去一个同样的正方
4、形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为的无盖方盒，请求出切去的正方形的边长20. 如图所示，ABC内接于O，ABAC，D在上，连接CD交AB于点E，B是的中点，求证：BBEC.21. 如图，分别切、于点、切于点，交于点与不重合）（1）用直尺和圆规作出；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若半径为1，求的长22. 一元二次方程中，根的判别式通常用来判断方程实根个数，在实际应用当中，我们亦可用来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数，当为何值时，取最小值，最小值是多少？解答：已知函数，（把当作参数，将函数转化为关于的一元二次方程），即，（当为何值时，存在相应的与之对应，即方程有根）因此的最
5、小值为，此时，解得，符合题意，所以当时，应用：（1）已知函数，当_时，最大值是_（2）已知函数，当为何值时，取最小值，最小值是多少？23. “绿化校园，书香开州”，今年三月份，开州区某校计划购买梧桐树苗和杉树苗共棵，其中梧桐树苗每棵元，杉树苗每棵元，经预算，此次购买两种树苗一共至少需要元（1）计划购买梧桐树苗最少是多少棵？（2）在实际购买中，因受树苗积压以及市场影响，为此商家降低了两种树苗的售价，且降价相同，但降价金额不得高于元/棵，经统计发现，两种树苗的售价每降低元，梧桐树苗的销售量会增加棵，杉树苗的销售量会增加棵若该校实际购进这两种树苗一共所需费用比计划购买的最低费用多了元，则两种树苗都降
6、低多少元？24. 作图：如图，已知点、和直线（保留作图痕迹，不写作法）（1）在图（1）中，利用尺规在直线上作出点，使得；（2）图（2）中，利用尺规在直线上作出点，使得25. 如图，在O上依次有A、B、C三点，BO延长线交O于E，过点C作CDAB交BE的延长线于D，AD交O于点F（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）连接OA、OF，若AOF3FOE且AF3，求的长26. 在学习2.1圆时，小明遇到了这样一个问题：如图1（1）、1（2）所示，和中，试证明、四点在同一圆上小明想到了如下证法：在图1（1）、1（2）中取中点，连接、则有及，即，所以、四点在以为圆心，为半径的圆上根据以上探究问题得出结论
7、，解决下列问题：（1）如图2，在中，三条高、相交于点，连接、，若，则_（2）如图3，已知是的直径，是的弦，为的中点，于，于（、不重合）若，求证：27. 如图：已知线段，射线AS垂直于AM，点N在射线AS上，设，点P在经过点N且平行于AM的直线上运动，的平分线交直线NP于点Q，过点Q作，交线段AM于点B，连接PB交AQ于点C，以Q为圆心，QC为半径作圆（1）求证：PB与相切；（2）已知的半径为3，当AM所求直线与相切时，求n的值及PA的长；（3）当时，若与线段AM只有一个公共点，则的半径的取值范围是_江苏省南京市玄武区二校联考2022-2023学年九年级上期中数学试题一、选择题（共6题，每题2分
8、，共12分）1. 关于x的方程是一元二次方程，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的二次项系数不等于零得到a-10，由此求得a的取值范围【详解】依题意得：a-10，解得a1故选：C【点睛】本题利用了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a0）特别要注意a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点2. 一元二次方程的一根为2，则另一根为（ ）A. B. C. 1D. 3【答案】D【解析】【分析】设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到2t5，求出t即可【详解】解：设方程的另一根为t，
9、根据题意得2t5，解得t3故选D【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2bxc0（a0）的两根时，则x1x2，x1x23. 已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则此圆锥的侧面积为 ( )A. 15cm2B. 20cm2C. 25cm2D. 30cm2【答案】A【解析】【详解】解：圆锥的侧面积=底面周长母线长2， 所以圆锥的侧面积=2352=15故选A.4. 小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（）A. B. C. D. 均不可能【答案】A【解析】【分析】要确定圆的大小需知道其半
10、径根据垂径定理知第块可确定半径的大小【详解】第块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长故选：A【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心5. 如图，ABC的顶点均在O上，若ABC+AOC=84，则AOC的度数是（ ）A. 45B. 28C. 56D. 60【答案】C【解析】【分析】根据圆周角定理得出AOC2ABC，即可求出AOC56，【详解】解：根据圆周角定理得：AOC2ABC，ABC+AOC84，AOC8456，故选C【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理解此题
11、的关键6. 若a是方程x2x1=0的一个根，则a3+2a+2021的值为（ ）A. 2020B. 2020C. 2021D. 2021【答案】A【解析】【分析】利用a是方程x2x1=0的一个根，可知a2-a=1，对式子进行变形，整体代入即可进行求值【详解】解：a是方程x2-x-1=0的一个根，a2-a-1=0，a2-a=1，原式=2020故选A【点睛】本题主要考查的是一元二次方程根的定义，以及整式的代入求值，灵活运用整体代入进行计算是解题的关键二、填空题（共10题，每题2分，共20分）7. 方程的根是_【答案】，【解析】【详解】方程变形得：x2+2x=0，即x（x+2）=0，可得x=0或x+2
12、=0，解得：x1=0，x2=2故答案是：x1=0，x2=28. 用配方法解方程，方程可变形为，则_，_【答案】 . 5 . 32【解析】【分析】利用配方法解答，即可求解【详解】解：，即，故答案为：5，32【点睛】本题主要考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握利用配方法解一元二次方程的方法是解题的关键9. 若关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_【答案】k1且k0【解析】【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列不等式即可求得k的取值范围【详解】关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根，=0，且，解得：k1且k0，故答案：k1且k0【点睛】本题考
13、查了一元二次方程的定义及根的判别式对于一元二次方程，根的判别式=，当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根；要注意这个隐含条件，避免漏解10. 如图，AB是半圆的直径，BAC=20，D是 的中点，则DAC的度数是_【答案】35【解析】【详解】试题解析：连接OC，OD，如图所示：BAC与BOC所对的弧都为，BAC=20，BOC=2BAC=40，AOC=140，又，COD=AOD=AOC=70，DAC与DOC所对的弧都为，DAC=COD=35考点：1圆周角定理；2圆心角、弧、弦的关系11. 某种过季绿茶的价格两次大幅下降，原来每袋250元，现在每袋
14、90元，则平均每次下降的百分率是_【答案】40%【解析】【分析】设平均下降的百分率为x，则第一次降低后价格为，那么第二次降价后的价格为，最后列出方程即可解答【详解】解：设平均每次下调的百分率为x，则第一次降低后价格为，那么第二次降价后的价格为，(舍)，平均每次下降的百分率是40%故答案为：40%【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解决本题的关键是正确列出的方程式求解12. 已知点到上各点的最大距离为，最小距离为，则的半径为_【答案】或#或【解析】【分析】分类讨论，当点在圆外时，根据圆外一点到圆上各点的最大距离减去最小距离等于圆的直径，当点在圆内时，根据圆内一点到圆上各点的最大距离加上最小
15、距离等于圆的直径即可求解【详解】解：当点在圆外时，外一点到上各点的最大距离为，最小距离为，的直径为，的半径为，当点在圆内时，内一点到上各点的最大距离为，最小距离为，的直径为，的半径为，故答案为：或【点睛】本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆上各点的最大距离和最小距离求出直径是解答的关键13. 如图，四边形ABCD内接于O，DA=DC，CBE=50，则DAC的大小为_度.【答案】65【解析】【详解】解：CBE=50，ABC=180CBE=18050=130，四边形ABCD为O的内接四边形，D=180ABC=180130=50，DA=DC，DAC=65故答案为：6514. 如图，直线、分别与相切于
16、点、，的周长是_【答案】#16厘米【解析】【分析】根据切线长定理，可得，从而得到，即可求解【详解】解：直线、分别与相切于点、，的周长是故答案为：【点睛】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键15. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，点是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为_m【答案】#【解析】【分析】根据垂径定理可得设圆的半径为x，则在Rt中，根据勾股定理列方程即可求出x的值.【详解】点C是 的中点，且设圆O的半径为x，则在Rt中，解得（舍去) 故答案为：【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理及一元二次方程.平分弦（非直径）直径垂直于弦，并且平分弦所
17、对的两条弧.熟练掌握垂径定理是解题的关键.16. 如图，在等腰直角三角形中，点是边上一动点，连结，以为直径的圆交于点，则长度的最小值是_ 【答案】【解析】【分析】连接，根据圆周角定理，由为直径得到，接着由得到点E在以为直径的圆O上，于是当点O、E、C共线时，最小，在中利用勾股定理计算出，从而得到的最小值【详解】解：连接，如图，为直径，点E在以为直径的圆O上，圆O的半径为2，当点O、E、 C共线时，最小，在中，即线段长度的最小值为故答案为：【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题关键在于结合实际运用圆的相关性质三、解答题（共11题，88分）17. 解下列方程：（1）；（2
18、）【答案】（1）x1=2，x2=4 （2）x1=2+，x2=2-【解析】【分析】（1）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可【小问1详解】（x-2）2-2x+4=0，（x-2）2-2（x-2）=0，（x-2）（x-2-2）=0，x-2=0或x-2-2=0，解得：x1=2，x2=4；【小问2详解】x2-4x-1=0，x2-4x=1，配方，得x2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，开方得：x-2=，解得：x1=2+，x2=2-【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，
19、解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等18. 已知关于的一元二次方程（1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为、，满足，求的值【答案】（1）见详解 （2）【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，先求出，若，则此方程总有两个实数根.（2）根据根与系数的关系，先求出和的值，将 整理成，然后将，的值代入即可求出k的值.【小问1详解】证明：无论k为任何实数时，即无论k为任何实数，此方程总有两个实数根.【小问2详解】根据根与系数的关系可得由 得得【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键.1
20、9. 如图，一块长，宽的矩形铁皮在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为的无盖方盒，请求出切去的正方形的边长【答案】【解析】【分析】设切去的正方形的边长为，根据制作成一个底面积为的无盖方盒列出等量关系式即可解得【详解】解：设切去的正方形的边长为，(舍去)答：去的正方形的边长为【点睛】此题考查了一元二次的方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出等量关系式20. 如图所示，ABC内接于O，ABAC，D在上，连接CD交AB于点E，B是的中点，求证：BBEC.【答案】证明见解析.【解析】【分析】由B是的中点，根据等弧所对的圆周角相等可得BCE=BAC，即可得B
21、EC=ACB，然后由等腰三角形的性质，证得结论本题解析：【详解】点B是弧CD的中点，BCDBAC，BCDACDBACACD，即ACBBEC.又ABAC，BACB，BBEC.【点睛】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用21. 如图，分别切、于点、切于点，交于点与不重合）（1）用直尺和圆规作出；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若半径为1，求的长【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）以A为圆心，为半径画弧交于，作直线交于点，直线即为所求（2）设，利用勾股定理构建方程即可解决问题【详解】解：（1）如图，直线即为所求（2）连接，是的内切圆，是切点，
22、四边形是矩形，四边形是正方形，设，在中，【点睛】本题考查作图复杂作图，切线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型22. 一元二次方程中，根的判别式通常用来判断方程实根个数，在实际应用当中，我们亦可用来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数，当为何值时，取最小值，最小值是多少？解答：已知函数，（把当作参数，将函数转化为关于的一元二次方程），即，（当为何值时，存在相应的与之对应，即方程有根）因此的最小值为，此时，解得，符合题意，所以当时，应用：（1）已知函数，当_时，的最大值是_（2）已知函数，当为何值时，取最小值，最小值是多少？【答案】（1），；
23、 （2）即x为-1时，y取最小值，最小值是.【解析】【分析】（1）仿照题目所给的解题方法解答即可.（2）先将转化成一元二次方程的形式，其中y是参数，然后按照题目所给的方法解答即可.【小问1详解】解：已知函数因此，y的最大值为，此时-解得，符合题意.当时，故答案为： 【小问2详解】已知函数得整理得因此y的最小值为 ，此时 得得符合题意.当，即x为-1时，y取最小值，最小值是【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，当时，一元二次方程有实根，当时，一元二次方程无实根.另外读懂题目所给的方法是解题的关键.23. “绿化校园，书香开州”，今年三月份，开州区某校计划购买梧桐树苗和杉树苗共棵，其中梧桐
24、树苗每棵元，杉树苗每棵元，经预算，此次购买两种树苗一共至少需要元（1）计划购买梧桐树苗最少是多少棵？（2）在实际购买中，因受树苗积压以及市场影响，为此商家降低了两种树苗的售价，且降价相同，但降价金额不得高于元/棵，经统计发现，两种树苗的售价每降低元，梧桐树苗的销售量会增加棵，杉树苗的销售量会增加棵若该校实际购进这两种树苗一共所需费用比计划购买的最低费用多了元，则两种树苗都降低多少元？【答案】（1）计划购买梧桐树苗最少是棵 （2）两种树苗都降低元【解析】【分析】（1）可设计划购买梧桐树苗是棵，根据题意可列出相应的一元一次不等式，求解即可；（2）设两种树苗都降低元，从而可列出相应的一元二次方程，求
25、解即可【小问1详解】解：设计划购买梧桐树苗是棵，依题意得：，解得：，答：计划购买梧桐树苗最少是棵；【小问2详解】两种树苗都降低a元，依题意得：，整理得：，解得：或（不符合题意舍去），答：两种树苗都降低元【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系24. 作图：如图，已知点、和直线（保留作图痕迹，不写作法）（1）在图（1）中，利用尺规在直线上作出点，使得；（2）在图（2）中，利用尺规在直线上作出点，使得【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）作的垂直平分线，以的中点为圆心，为直径，作圆，交于点，连接，则；（2）分别以为圆心，为
26、半径作圆，两圆交于点，连接，则是等边三角形，分别作的垂直平分线，找到的外心，作的外接圆，交于点，连接，则【小问1详解】如图所示，点即为所求；【小问2详解】如图所示，点即为所求【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，等弧所对的圆周角线段，作线段的垂直平分线，作圆，掌握以上知识是解题的关键25. 如图，在O上依次有A、B、C三点，BO的延长线交O于E，过点C作CDAB交BE的延长线于D，AD交O于点F（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）连接OA、OF，若AOF3FOE且AF3，求的长【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】【分析】（1）先根据圆的性质得：CBD=ABD，由平行线的性质得：A
27、BD=CDB，根据直径和等式的性质得：，由一组对边平行且相等可得四边形ABCD是平行四边形，由AB=BC可得结论；（2）先设FOE=x，则AOF=3x，根据ABC+BAD=180，列方程得：4x+2x+ （180-3x）=180，求出x的值，接着求所对的圆心角和半径的长，根据弧长公式可得结论【详解】（1）证明：，CBDABD，CDAB，ABDCDB，CBDCDB，CBCD，BE是O的直径，ABBCCD，CDAB，四边形ABCD是菱形；（2）AOF3FOE，设FOEx，则AOF3x，AODFOE+AOF4x，OAOF，OAFOFA（1803x），OAOB，OABOBA2x，ABC4x，BCAD，
28、ABC+BAD180，4x+2x+（1803x）180，x20，AOF3x60，AOE80，COF80260100，OAOF，AOF是等边三角形，OFAF3，长【点睛】本题考查平行四边形和菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、弧长公式，平行线的性质等知识，解题的关键是学会设未知数，列方程求角的度数，证明三角形是等边三角形是解题的突破点，属于中考常考题型26. 在学习2.1圆时，小明遇到了这样一个问题：如图1（1）、1（2）所示，和中，试证明、四点在同一圆上小明想到了如下证法：在图1（1）、1（2）中取中点，连接、则有及，即，所以、四点在以为圆心，为半径的圆上根据以上探究问题得出的结论，解决
29、下列问题：（1）如图2，中，三条高、相交于点，连接、，若，则_（2）如图3，已知是的直径，是的弦，为的中点，于，于（、不重合）若，求证：【答案】（1）； （2）见解析【解析】【分析】（1）在中，、是高，可知点E、H、D、B四点共圆，点E、H、D、C四点共圆，然后在每一个圆中运用等弦对等角进行角的转换即可求解；（2）连接、,是的弦，为的中点，根据垂径定理可知，结合于，于，点C、E、O、G四点共圆，点D、F、O、G四点共圆，然后在每一个圆中运用等弦对等角进行角的转换即可求解，最后证明是等边三角形即可【小问1详解】解：在中，、是高，,点E、H、D、B四点共圆，,点E、H、D、C四点共圆，故答案为：【
30、小问2详解】证明：连接、,为的中点，于，于，,点C、E、O、G四点共圆，点D、F、O、G四点共圆，,，是等边三角形，【点睛】本题考查了四点共圆的判定、垂径定理、等弦对等角以、等边三角形的判定以及与三角形有关的教的计算；结合题意证明四点共圆并运用圆的相关知识解决问题是解题的关键27. 如图：已知线段，射线AS垂直于AM，点N在射线AS上，设，点P在经过点N且平行于AM的直线上运动，的平分线交直线NP于点Q，过点Q作，交线段AM于点B，连接PB交AQ于点C，以Q为圆心，QC为半径作圆（1）求证：PB与相切；（2）已知的半径为3，当AM所求直线与相切时，求n的值及PA的长；（3）当时，若与线段AM只
31、有一个公共点，则的半径的取值范围是_【答案】（1）见解析 （2）， （3）或【解析】【分析】（1）由角平分线和平行可证，从而得出四边形为菱形；则，垂足为，即可证明与相切；（2）由，可得，设，则，在RtBDQ中，解方程即可；（3）当与相切时，此时与只有一个公共点，当过点时，连接，作于，设，则，由得，解方程即可，当第二次经过点时，同理可得【小问1详解】证明：的角平分线交直线于点，又，四边形为平行四边形，四边形为菱形；，垂足为，与相切；小问2详解】如图，当与相切于点时，在RtADQ中，设，则，在RtBDQ中，解得，即，；【小问3详解】当与相切时，此时与只有一个公共点，当过点时，如图，连接，作于，设，则，由得，设，则方程转化为，解得，（舍，当第二次经过点时，作于，设，则，由得，设，则方程转化为，解得，（舍，与线段只有一个公共点，则的半径的取值范围是或故答案为：2或【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系，菱形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程等知识，求出过点时半径的长是解题的关键，属于中考压轴题
