1、专题强化二追及相遇问题目标要求1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧.2.会在图像中分析追及相遇问题.3.熟练运用运动学公式结合运动图像解决追及相遇的综合问题1追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置2.追及相遇问题的基本物理模型：以甲车追乙车为例(1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲v乙，甲、乙的距离不断减小3分析思路可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”(1)一个临界条件：速度相等它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口4常用分析方
2、法(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图能否追上的判断方法(临界条件法)物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vBvA时，若xBxAx0，则能追上；若xBxAx0，则恰好追上；若xB0，即有两个解，说明可以相遇两次；若0，一个解，说明刚好追上或相遇；若0，无解，说明追不上或不能相遇当t时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像位移时间图像的交点表示相遇，分析速度时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系5常见追及情景(1)速度小者追速度大者情景图像
3、说明匀加速追匀速tt0以前，后面物体与前面物体间距离增大tt0时，两物体相距最远，为x0x(x0为两物体初始距离) tt0以后，后面物体与前面物体间距离减小能追上且只能相遇一次匀速追匀减速匀加速追匀减速特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动.(2)速度大者追速度小者情景图像说明匀减速追匀速开始追赶时，两物体间距离为x0，之后两物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即tt0时刻：若xx0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件若xx0，则相遇两次，设t1时刻xx0，两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇(t2t0t0t1)
4、匀速追匀加速匀减速追匀加速题型一追及相遇问题 考向1速度小者追速度大者例1一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？答案2 s6 m解析解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为x，则有vat所以t2 sxvtat26 m.解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则xvtat2代入已知数据得x6tt2由二次函数求极值的条件知：t2 s时，x有最大
5、值6 m所以t2 s时两车相距最远，为x6 m.解法三(图像法)：自行车和汽车的vt图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，v16 m/s所以有t1 s2 s，x m6 m.例2汽车A以vA4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x07 m处、以vB10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a2 m/s2.从刚刹车开始计时求：(1)A追上B前，A、B间的最远距离；(2)经过多长时间A恰好追上B.答案(1)16 m(2)8 s解析汽车A和B的运动过程如图所示(1)当A、B两汽车速
6、度相等时，两车间的距离最远，即vvBatvA，触得t3 s此时汽车A的位移xAvAt12 m汽车B的位移xBvBtat221 m故最远距离xmaxxBx0xA16 m.(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间t15 s运动的位移xB25 m汽车A在t1时间内运动的位移xAvAt120 m此时相距xxBx0xA12 m汽车A需再运动的时间t23 s故A追上B所用时间t总t1t28 s.拓展延伸(1)若某同学应用关系式vBtat2x0vAt，解得经过t7 s(另解舍去)时A恰好追上B.这个结果合理吗？为什么？(2)若汽车A以vA4 m/s的速度向左匀速运动，其后方相距x07 m处，以vB10 m/
7、s的速度同方向运动的汽车B开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为a2 m/s2，则经过多长时间两车恰好相遇？答案见解析解析(1)这个结果不合理，因为汽车B运动的时间最长为t5 s7 s，说明汽车A追上B时汽车B已停止运动(2)由位移时间关系公式有：vBtat2x0vAt，解得t1(3) s，t2(3) s. 考向2速度大者追速度小者例3(2022山东德州市夏津一中开学考试)一汽车在直线公路段上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则：(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少
8、为多少？(2)若汽车刹车时的加速度大小只有4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？答案(1)5 m/s2(2)1 m/s2解析(1)设汽车的加速度大小为a，初速度v汽54 km/h15 m/s，初始距离d14 m在经过反应时间0.4 s后，汽车与自行车相距dd(v汽v自)t010 m从汽车刹车开始计时，自行车的位移为：x自v自t汽车的位移为：x汽v汽tat2假设汽车能追上自行车，此时有：x汽x自d代入数据整理得：at210t100要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，则：10220a0，解得：a5 m/s2.汽车的加速
9、度大小至少为5 m/s2.(2)设自行车加速度为a，同理可得：x汽x自dx自v自tt2整理得：(a2)t210t100要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，则：10220a800解得：a1 m/s2.自行车的加速度大小至少为1 m/s2. 考向3体育赛事中的追及问题例4如图所示，在一次接力训练中，已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持10 m/s的速度跑完全程设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速运动，加速度大小为3 m/s2.乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒在这次练习中，甲以v10 m/s的速度跑到接力区前端s014.0 m处向乙发出起跑口令已知接力区的长度为L20
10、 m.(1)求此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离；(2)为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口令？(3)在(2)中，棒经过接力区的时间是多少？答案(1)6 m(2)16.7 m(3)2 s解析(1)设乙加速到交接棒处时运动时间为t，则在甲追及乙过程中有：s0at2vt代入数据得：t12 s，t24.67 s(大于乙加速最长时间tm s，故舍去)此次练习中交接棒处离接力区前端的距离为：xat126 m(2)乙加速时间为：t乙 s设甲在距离接力区前端为s时对乙发出起跑口令则在甲追及乙过程中有：svt乙vt乙代入数据得：s
11、16.7 m(3)棒在(2)情形下以v10 m/s的速度运动，所以有：t2 s.题型二图像法在追及相遇问题中的应用1xt图像、vt图像中的追及相遇问题：(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解2利用vt图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出vt图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷3若为xt图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为at图像，可转化为vt图像进行分析 考向1xt图像、vt图像中的追及相遇问题例5甲、乙两辆玩具车在同一平直路面上行驶，二者运动的位移时间图
12、像如图所示，其中乙车的位移时间图线是关于x轴对称的抛物线的一部分，则下列说法正确的是()A甲车先做匀减速直线运动后做匀速直线运动B乙车一定做初速度为零的匀加速直线运动C甲车在010 s内的平均速度为1.5 m/sD在010 s内甲、乙两车相遇两次，且相遇时速度可能相等答案B解析甲车先做匀速运动后静止不动，选项A错误；乙车的xt图像为关于x轴对称的抛物线的一部分，由此得位移方程xat2，可知乙车做初速度为零的匀加速直线运动，选项B正确；甲车在10 s内的平均速度 v0.6 m/s，选项C错误；从图像中可知图线相交两次，则两车相遇两次，图线的斜率表示速度，可知两次相遇时甲、乙速度都不同，选项D错误
13、例6(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其vt图像如图所示已知两车在t3 s时并排行驶，则()A在t1 s时，甲车在乙车后B在t0时，甲车在乙车前7.5 mC两车另一次并排行驶的时刻是t2 sD甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m答案BD解析根据vt图像知，甲、乙两车都沿正方向运动t3 s时，甲、乙两车并排行驶，此时v甲30 m/s，v乙25 m/s，由vt图线与时间轴所围“面积”对应位移知，03 s内甲车位移x甲330 m45 m，乙车位移x乙3(1025) m52.5 m故t0时，甲、乙两车相距x1x乙x甲7.5 m，即甲车在乙车前方7.5 m，选项B正确；01 s
14、内，x甲110 m5 m，x乙1(1015) m12.5 m，x2x乙x甲7.5 mx1，说明在t1 s时甲、乙两车第一次并排行驶，选项A、C错误；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的距离为xx甲x甲45 m5 m40 m，选项D正确 考向2利用vt图像分析追及相遇问题例7假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶甲车在前，乙车在后，速度均为v030 m/s.甲、乙相距x0100 m，t0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化分别如图甲、乙所示取运动方向为正方向下列说法正确的是()At3 s时两车相距最近Bt6 s时两车速度不相等Ct6 s时两车距离最近，且最近距离为10 mD两
15、车在09 s内会相撞答案C解析由题给图像画出两车的vt图像如图所示，由图像可知，t6 s时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积为06 s内两车位移之差，即xx乙x甲30330(63) m90 mx022 m，故两车会相撞法2：函数法假设两车在t时刻相撞，由解法1知，两车相撞时，x1x2x0即v1ta1t2v2tx0整理得t215t220这是一个关于时间t的一元二次方程，(15)242250，说明该方程有实数解，即两车会相撞法3：图像法作出两车运动的vt图像，图中阴影面积x表示两车速度相等时的位移差，由图可知x315 m22.5 m22 m，说明两车会相撞8一辆值勤的警车停在公路边，当警员发
16、现从他旁边以10 m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5 s后警车发动起来，并以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内求：(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离；(2)警车发动后要多长时间才能追上货车答案(1)75 m(2)12 s解析(1)当两车速度相等时，它们的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等则：t1 s4 sx货v110(5.54) m95 mx警at122.542 m20 m所以两车间的最大距离xx货x警75 m(2)警车达到最大速度v90 km/h25 m/s所用的时间：t210 s此时两车的
17、位移分别为x警 m125 mx货v110(5.510) m155 m两车距离xx货x警30 m警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过t时间追上货车，则：t2 s所以警车发动后要经过tt2t12 s，才能追上货车9(2022广东汕头市质检)某一长直的赛道上，一辆F1赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶(1)求赛车出发3 s末的瞬时速度大小；(2)求赛车何时追上安全车及追上之前与安全车的最远距离；(3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以
18、从安全车旁经过而不相碰)答案(1)6 m/s(2)20 s225 m(3)20 s解析(1)赛车3 s末的速度v1a1t123 m/s6 m/s.(2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得v0t2200 ma1t22解得t220 s此时赛车的速度va1t2220 m/s40 m/s当两车速度相等时，两车相距最远由v0a1t3得两车速度相等时，经过的时间t3 s5 s两车最远相距sv0t3200 ma1t32(105200252) m225 m.(3)假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)由位移关系得vt4a2t42v0t4解得t415 s赛车停下来的时间t s10 s所以t415 s不合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动设再经时间t5两车第二次相遇，应满足v0t5解得t520 s.
