1、2023年黑龙江省大庆市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 2023的相反数是（ ）A. B. C. D. 2. 搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 大庆油田发现预测地质储量12.68亿吨的页岩油，这标志着我国页岩油勘探开发取得重大战略突破数字1268000000用科学记数法表示为（ ）A B. C. D. 4. 一个长方体被截去一部分后，得到的几何体如图水平放置，其俯视
2、图是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 6. 某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数、中位数、平均数分别为（ ） A. 9，9，B. 9，9，C. 8，8，D. 9，8，7. 下列说法正确的是（ ）A. 一个函数一次函数就一定是正比例函数B. 有一组对角相等的四边形一定是平行四边形C. 两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等D. 一组数据的方差一定大于标准差8. 端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子
3、的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（ ）A. B. C. D. 9. 将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在平行四边形中，已知点在边上，以1m/s的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11. 为了调查某品牌护眼灯的使用
4、寿命，比较适合的调查方式是_（填“普查”或“抽样调查”）12. 一个圆锥的底面半径为5，高为12，则它的体积为_13. 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是_ 14. 已知，则x的值为_15. 新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为_16. 若关于的不等式组有三个整数
5、解，则实数的取值范围为_17. 1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作详解九章算法中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角” 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为_18. 如图，在中，将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至，得到，使，我们称是“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”下列结论正确的有_与面积相同；若，连接和，则；若，则三、解答题（本大题共10小题，共66分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. 计算：20. 先化简，再求值：，其中21. 为营造良好体育运动氛围，某
6、学校用元购买了一批足球，又用元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的倍，但单价降了元，请问该学校两批共购买了多少个足球?22. 某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点出发，途经点后到达山顶，其中米，米，且段的运行路线与水平方向的夹角为，段的运行路线与水平方向的夹角为，求垂直高度（结果精确到米，参考数据：，） 23. 为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图，若我校共有1000名学生，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生人数为_，扇形统计图中的_；（2）求所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数；（3）学校为本
7、学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，请估计我校获“志愿者勋章”的学生人数24. 如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，延长，交于点，连接， （1）求证：四边形是矩形；（2）若，求四边形的面积25. 一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为 （1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求的面积；（3）过动点作轴垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当在的上方时，请直接写出的取值范围26. 某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，点、分别是边、的中点；下半部分四边形是矩形，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米 （1）求与之间的
8、函数关系式，并求出自变量的取值范围；（2）当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积27. 如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点，交于点，延长，交于点 （1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）若，求的值28. 如图，二次函数的图象与轴交于A，两点，且自变量的部分取值与对应函数值如下表： 备用图（1）求二次函数的表达式；（2）若将线段向下平移，得到的线段与二次函数的图象交于，两点（在左边），为二次函数的图象上的一点，当点的横坐标为，点的横坐标为时，求的值；（3）若将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次
9、函数的图象只有一个交点，其中为常数，请直接写出的取值范围2023年黑龙江省大庆市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 的相反数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得【详解】解：的相反数是，故选：B【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键2. 搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【
10、解析】【分析】根据中心对称图形的定义判断即可【详解】、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；、是中心对称图形，此选项符合题意；、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；故答案为：【点睛】此题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是如何判断中心对称图形，旋转度后与原图重合3. 大庆油田发现预测地质储量12.68亿吨的页岩油，这标志着我国页岩油勘探开发取得重大战略突破数字1268000000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多
11、少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数【详解】解：数字1268000000用科学记数法表示为：，故选：A【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值4. 一个长方体被截去一部分后，得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据几何体三视图的画法解答【详解】解：该几何体的俯视图是 ，故选：A【点睛】此题考查了判断几何体的三视图，正确掌握三视图的画法是解题的关键5. 已知，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手
12、盖住的点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，得出，再逐项分析即可得到答案【详解】解：，同号，A.在第一象限，因为小手盖住点在第四象限，故此选项不符合题意；B.在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；C.在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；D.在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意；故选：D【点睛】本题考查了点的象限的判断，熟练判断的正负是解题的关键6. 某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数、中位数、平均数分
13、别为（ ） A. 9，9，B. 9，9，C. 8，8，D. 9，8，【答案】B【解析】【分析】利用众数、中位数及平均数的定义写出答案即可【详解】解：该同学五项评价得分从小到大排列分别为7，8，9，9，10，出现次数最多的数是9，所以众数为9，位于中间位置的数是9，所以中位数是9，平均数为故选：B【点睛】本题考查了统计的知识，掌握众数、中位数及平均数的计算方法是关键7. 下列说法正确的是（ ）A. 一个函数是一次函数就一定是正比例函数B. 有一组对角相等的四边形一定是平行四边形C. 两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等D. 一组数据的方差一定大于标准差【答案】C【解析】【分析】根据正比例函
14、数的定义、平行四边形的判定、直角三角形全等的判定、标准差的概念对各选项进行判断，选出正确答案即可【详解】解：A、一个函数是一次函数不一定是正比例函数，故本选项不符合题意；B、有两组对角相等的四边形一定是平行四边形，故本选项不符合题意；C、两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等，故本选项符合题意；D、一组数据的方差不一定大于这组数据的标准差，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了正比例函数的定义、平行四边形的判定、直角三角形全等的判定、标准差的概念等知识点，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握各知识点的概念8. 端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当
15、粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设粽子的成本为a元，设降价幅度为x，根据降价出售后不亏本即售价不低于进价列出不等式，解不等式即可得到答案【详解】解：设粽子的成本为a（a是常数且）元，设降价幅度为x，则，解得，即为了不亏本，降价幅度最多为故选：A【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键9. 将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得，由菱形的性质可得，由平行线的性质可得，进行计算即可得到答案【详解】解：根据题意可得：，四边形为菱形
16、， ，故选：D【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线的性质，熟练掌握菱形的性质、平行线的性质，是解题的关键10. 如图1，在平行四边形中，已知点在边上，以1m/s的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意可得：，设，则，作交的延长线于点，作交的延长线于点，则可得，从而得到，根据的最大值为3，求出的值，从而得到，最后由平行四边形的面积公式进行计算即可得到答案【详解】解：根据题意
17、可得：，设，则，作交的延长线于点，作交的延长线于点， ，由图象可得的最大值为3，解得：或（舍去），平行四边形的面积为：，故选：C【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、解直角三角形、二次函数的图象与性质，熟练掌握平行四边形的性质、二次函数的图象与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形，是解题的关键二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11. 为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是_（填“普查”或“抽样调查”）【答案】抽样调查【解析】【分析】根据全面调查得到的结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的结果
18、比较近似进行解答即可【详解】解：调查某品牌护眼灯的使用寿命，具有破坏性，适合采用的调查方式是抽样调查，故答案为：抽样调查【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查12. 一个圆锥的底面半径为5，高为12，则它的体积为_【答案】【解析】【分析】根据圆锥的体积=底面积高，即可求解【详解】解：圆锥的底面半径为5，高为12，它的体积，故答案为：【点睛】本题考查圆锥的体积，关键是熟练掌握圆锥的体积=底面积高13.
19、在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是_ 【答案】【解析】【分析】由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出【详解】解：四边形是矩形，由折叠的性质可得：，故答案为：【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键14. 已知，则x的值为_【答案】，1，3【解析】【分析】由已知可分三种情况：当时，；当时，；当时，此时，等式成立【详解】解：，当时，；当时
20、，；当时，此时，等式成立；故答案为：，1，3【点睛】本题考查有理数的乘方；熟练掌握有理数的乘方的性质，切勿遗漏零指数幂的情况是解题的关键15. 新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为_【答案】【解析】【分析】表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可【详解】解：根据题意列出表格如下：思想政治地理化学生物思想政治思想政治，地理思想政治，化学思想政治，生物地理地理，思想政治地理，化
21、学地理，生物化学化学，思想政治化学，地理化学，生物生物生物，思想政治生物，地理生物，化学由表格可得，共有12种等可能的结果，其中该同学恰好选择地理和化学两科的有2种结果，某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为：，故答案为：【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比16. 若关于的不等式组有三个整数解，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组有三个整数解，确定整数解，则可以
22、得到一个关于的不等式组求得的范围【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，不等式组有三个整数解，不等式组的整数解为，0、1，则，解得故答案为：【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了17. 1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作详解九章算法中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角” 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为_【答案】【解析】【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果【详解】根据题意得：展开后系数为：，系数和：，展开后系数为：
23、，系数和：，展开后系数为：，系数和：，故答案为：【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律18. 如图，在中，将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至，得到，使，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”下列结论正确的有_与面积相同；若，连接和，则；若，则【答案】【解析】【分析】延长，并截取，连接，证明，得出，根据，得出，证明，得出，即可判断正确；根据三角形中位线性质得出，根据，得出，判断正确；根据时，得出，根据四边形内角和得出，求出，判断正确；根据可知，根据勾股定理得出，求出，判断错误【详解】解：延长，并截取，连
24、接，如图所示：，根据旋转可知，即与面积相同，故正确；，是中位线，故正确；当时，即，故正确；，根据可知，当时，为中线，故错误；综上分析可知，正确的是【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，中位线性质，勾股定理，四边形内角和，补角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明三、解答题（本大题共10小题，共66分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. 计算：【答案】1【解析】【分析】首先去绝对值符号、代入特殊角的三角函数值以及负整数幂的运算，然后进行加减法【详解】解：原式1+2+21+2=1【点睛】本题考查实数的运算，掌握负整数幂以
25、及牢记特殊角的三角函数值是解决问题的关键20. 先化简，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】先通分，再计算加减，再把代入进行计算即可【详解】解：，当时，原式【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟知分式的混合运算法则是解答此题的关键21. 为营造良好体育运动氛围，某学校用元购买了一批足球，又用元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的倍，但单价降了元，请问该学校两批共购买了多少个足球?【答案】【解析】【分析】设第一批足球单价为元，则第二批足球单价为元，再根据题意列出分式方程即可【详解】设第一批足球单价为元，则第二批足球单价为元，由题意得：，解得：，经检验：是原分式方程的解，且符合题意，则
26、第二批足球单价为：，该学校两批共购买了，答：该学校两批共购买了个【点睛】此题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键22. 某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点出发，途经点后到达山顶，其中米，米，且段的运行路线与水平方向的夹角为，段的运行路线与水平方向的夹角为，求垂直高度（结果精确到米，参考数据：，） 【答案】垂直高度约为米【解析】【分析】过点作于，作于，则四边形为矩形，在中利用正弦函数求出长度，在中，可以求出长度，即可求出【详解】解：过点作于，作于，则四边形为矩形， ，中，则（米），米，在中，米，则米，米答：垂直高度约为米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答时
27、需要过点作于，作于，然后根据特殊四边形和直角三角形中的边角关系进行计算23. 为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图，若我校共有1000名学生，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生人数为_，扇形统计图中的_；（2）求所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数；（3）学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，请估计我校获“志愿者勋章”的学生人数【答案】（1）40，25 （2）7 （3）我校获“志愿者勋章”的学生人数是700人【解析】【分析】（1）直接根据条形统计图和扇形统计图中的数据进行计算即可；（2
28、）根据平均数的定义进行计算即可得到答案；（3）先求出本学期参加志愿服务不少于7次的学生人数所占的百分比，再乘以1000，即可得到答案【小问1详解】解：根据题意可得：本次接受调查的学生人数为：（人），扇形统计图中的的值为：，故答案为：40，25；【小问2详解】解：根据题意可得：所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数为：（次）；【小问3详解】解：根据题意得：（人），答：我校获“志愿者勋章”的学生人数是700人【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、平均数、由样本估计总体，熟练掌握平均数的求法是解题的关24. 如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，延长，交于点，连接， （1）求证：四边形是
29、矩形；（2）若，求四边形的面积【答案】（1）证明，见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，得，根据平行线的性质，得，；再根据为线段的中点，全等三角形的判定，则，根据矩形的判定，即可；（2）过点作于点，根据勾股定理，求出的长，再根据四边形的面积等于，即可【小问1详解】四边形是平行四边形，为线段的中点，四边形是平行四边形，平行四边形是矩形【小问2详解】过点作于点，四边形是平行四边形，四边形是矩形，四边形的面积等于，点是对角线的中心，平行四边形面积为： 【点睛】本题考查矩形，平行四边形，全等三角形的知识，解题的关键是矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质2
30、5. 一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为 （1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求的面积；（3）过动点作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当在的上方时，请直接写出的取值范围【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2） （3）或【解析】【分析】（1）把分别代入一次函数和反比例函数求出的值即可得到答案；（2）联立求出点的坐标，令直线与交于点，由直线求出点的坐标，最后由，进行计算即可得到答案；（3）直接由函数图象即可得到答案【小问1详解】解：把代入一次函数，得，解得：，一次函数的解析式为：，把代入反比例函数，得，解得：，反比例函数的解析式为：
31、；【小问2详解】解：联立，解得：或，令直线与交于点，如图， ，当时，解得：，【小问3详解】解：由图象可得： ，当在的上方时，的取值范围为：或【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、求一次函数的解析式、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质，是解题的关键26. 某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，点、分别是边、的中点；下半部分四边形是矩形，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米 （1）求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；（2）当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积【答案】（1） （2）当
32、时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为【解析】【分析】（1）由可表示出的长，由，可表示出，的长，进而可求出与之间的函数关系式；（2）根据（1）中相关数据列出函数解析式，然后利用函数的性质解答【小问1详解】四边形是矩形，是边的中点，点、分别是边、的中点，；【小问2详解】设面积为S，则，当时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，正确列出函数解析式是解答本题的关键27. 如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点，交于点，延长，交于点 （1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）若，求的值【答案】（
33、1）证明，见解析 （2）证明，见解析 （3）【解析】【分析】（1）连接，根据平分，则，根据，得，根据平行线的判定和性质，即可；（2）由（1）得，根据，相似三角形的判定和性质，即可；（3）根据，则，设的半径为，则，根据勾股定理求出；根据，根据勾股定理求出，再根据，在根据勾股定理求出，根据，即可【小问1详解】连接平分，是的切线 【小问2详解】证明，如下：由（1）得，【小问3详解】，设的半径为，【点睛】本题考查圆，相似三角形，锐角三角形函数的知识，解题的关键圆的切线定理的运用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的运用28. 如图，二次函数的图象与轴交于A，两点，且自变量的部分取值与对应函数值如下
34、表： 备用图（1）求二次函数的表达式；（2）若将线段向下平移，得到的线段与二次函数的图象交于，两点（在左边），为二次函数的图象上的一点，当点的横坐标为，点的横坐标为时，求的值；（3）若将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数的图象只有一个交点，其中为常数，请直接写出的取值范围【答案】（1） （2） （3）且或【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的表达式即可；（2）连接，过点R作交延长线于点M，分别表示出、的长，根据正切的定义即可得到的值；（3）分和两种情况讨论求解即可【小问1详解】解：由表格可知，二次函数的图象经过点，代入得到，解得，二次函数的表达
35、式为；【小问2详解】如图，连接，过点R作交的延长线于点M， 点的横坐标为，抛物线的对称轴为直线，点P与点Q关于直线对称，设点，则，解得，点P的坐标为，当时，即，则，即的值为；【小问3详解】由表格可知点、，将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到、，由题意可得，二次函数，与线段只有一个交点，当时，抛物线开口向上，顶点在下方，当时，即，解得，当时，即，解得，此时满足题意，当时，抛物线开口向下，顶点在上时，解得，此时满足题意，将点代入得到，解得，将点代入得到，解得，此时满足题意， 综上可知， 且或【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、锐角三角函数、不等式的应用等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键
