1、第11讲 几何变换之平移知识导航平移的性质：1经过平移，对应点的连线平行且相等，对应边平行或在一条边上且相等，对应角度相等2平移前后，所对应的图形全等模块一 平行多边形和平移的构造1平行四边形与平移变换由于在平移变换下，与平移方向不平行的线段变为与原线段平行且相等的线段，因此，对于已知条件中有平行四边形的平面几何问题，我们就可以考虑用平移变换处理平移沿平行四边形的某条边进行2平行六边形和平移变换因为在平移变换下，平面上任意一点与其像点的连线总是平行于平移方向的，所以对于条件中有平行线（或平行线段）的平面几何问题当然也可以考虑用平移变换处理，平移方向平行于平行线（或平行线段），平移距离则要视具体
2、情况（特别是所要证明的结论）而定这种平移方式经常用来对分散图形进行集中例题 1如图所示，P为平行四边形ABCD内一点，求证：以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB和BC 如图所示，将平移至的位置，易证，则四边形DPCQ恰好是一个以AP、BP、CP、DP为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD的两条邻边例题 2如图2-1，四边形EFGH中，若，则必然等于请运用结论证明下述问题：如图2-2，在平行四边形ABCD中取一点P，使得，求证： 图2-1 图2-2【分析】 此题为信息题，难点在于如何理解已知条件，经观察我们发现，若和，位
3、置为时，可得出和相等（本质为四点共圆），图（2）中，与关系并不像条件所示，因此，需要改变角位置，而这点可以通过构造平行四边形来解决而构造平行四边形，恰可以达到改变角位置作用，为使与成形，我们可有如下四种方法分别过点B、P作，交于点K，连接CK，四边形PKCD为平行四边形，在四边形BKCP中， （不动移） （不动移） （，均移动） （，均移动）【教师备课提示】老师们可以让学生自由发挥，体味构造平行四边形带来的快乐例题 3如图，以的边AB、AC、BC为一边，分别向三角形的外侧作正方形ABDE、正方形ACGF、正方形BCMN以EF、DN、GM为边能否构成三角形？为什么？ 过点E作，过点N作，PE与P
4、N交于点P，连结PM、PF ，四边形FGMP是平行四边形，就是以EF、DN、GM的长为边的三角形【教师备课提示】这道题还可以给学生拓展的面积为的3倍.例题 4如图所示，一个六边形的六个内角都是，连续四边的长依次是1、3、3、2，则该六边形的周长是多少？ （方法1）：如图所示，由于六边形的内角都是，易知，把BC、DE、FA分别平移至、，可得等边，其边长在此基础上可求得EF、AF的长，进而求得六边形的周长：，故六边形的周长是（方法2）：如图所示，将六边形补全为等边易得的边长为，则，故六边形的周长是例题 5在六边形ABCDEF中，对边之差 求证：六边形ABCDEF的各内角均相等 平移线段DE到CR，
5、平移线段BC到AQ，平移线段FA到EP，如图所示，得到易知，由于，即是等边三角形，故同理，六边形ABCDEF的各内角均相等例题 6如图所示，在六边形ABCDEF中，又知对角线，厘米，厘米请你回答：六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？ 将平移到的位置；将平移到的位置，则长方形BDFG的面积等于六边形ABCDEF的面积易知长方形BDFG的面积等于（平方厘米），六边形ABCDEF的面积是432平方厘米例题 7设凸六边形ABCDEF的三组对边分别平行求证：的面积与的面积相等如图，将B、D、F分别沿CD、EF、AB平移至、，则在上，在上，在上，且，记六边形ABCDEF的面积为S，的面积为T因四边形、
6、均为平行四边形，于是， 同样，如果我们作另外三个平移变换将六边形用类似的方式剖分为三个平行四边形与一个三角形，则有，因而的面积也为T，于是也有，故模块二 共端点的平移构造如果两条相等线段既不平行也不共线，则其中一条线段不可能是另一条线段在某个平移变换下的像但我们可以通过平移变换移动其中的一条线段，使两条线段有一个公共端点，然后通过等腰三角形的性质再加上其他相关条件使问题得到解决例题 8如图所示，两条长度为1的线段AB和CD相交于O点，且，求证： 考虑将AC、BD和AB集中到同一个三角形中，以便运用三角形的不等关系作且，则四边形是平行四边形，从而在中可得，（当时，），即由于，所以是等边三角形，故
7、，所以例题 9如图，中，D、E是AB、AC上的点且求证： 方法一：通过构造平行四边形把DE和平移成共顶点的线段（如下图，作中位线利用斜边大于直角边）方法二：通过构造平行四边形平移DE，使得DE和BC共顶点下面写出方法二的解析：（如下图2）过点B作，且，连接EF、FC，又 ， 即，当且仅当DE为的中位线时，取到等号另外，此题还可以如图1，3，4那样平移，每次均产生一个平行四边形、一对全等三角形，和一个新的等腰三角形例题 10已知：（1）如果，D、E是AB、AC上的点，若，请你写出此图中的另一组相等的线段；（2）如果，D、E是AB、AC上的点，若，请你确定DE与BC的数量关系，并证明你的结论 （1
8、）；（2）结论：过E点作，截取，连结BF，作的平分线EN交BC于N，连结NF，又，EN平分，在和中，EN为公共边，四边形BDEF是平行四边形在中，即，所以模块一 平行多边形和平移的构造演练已知：矩形ABCD内有定点M，试证： 过点B、点M分别作AM、AB的平行线，交于点E，连接CE，ME，BC交ME于点F，ECDM为平行四边形，演练2如图所示，设ABCD是矩形，K为矩形所在平面上的一点，连接KA与KD均与BC相交由点B向直线DK引垂线，由点C向直线AK引垂线，两垂线相交于M，求证 如图，过点作，且连接PB，PC，KM，四边形为平行四边形又，又在矩形中，四边形为平行四边形又，为的重心又，三点共线且又，模块二 共端点的平移构造演练3如图A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥与河垂直.） （1）设河宽为d，作且；（2）连接CB交于N点；（3）作交于M点；（4）连接AM，则路线AMNB最短演练4如图所示，长为2的三条线段，交于O点，并且，则三个三角形的面积的和_（填“”、“=”或“”）
