1、第6讲 相似三角形（四）知识导航模块一 三垂直模型如图，（1），则（2）（3）当是中点时，则有变形：如图，（1），则（2）（3）当是中点时，则有证明：， ，又是中点，, 即,又，模块二：三平行模型如图，已知（1）（2）证明：， ， 模块一 三垂直模型例1（1）如图1-1，AB/CD，E为BC上一点，且若，则DE的长为_（2）如图1-2，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD、BC边上的点，若，则点E到GF的距离为_ 图1-1 图1-2（1）10（提示：）；（2）3（，则法1：勾股定理得，点E到GF的距离为；法2：，得，点E到GF的距离为）【教师备课提示】这道题主要考查最基本的三
2、垂直相似，熟悉常见结论例2（1）如图2-1，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为_（2）如图2-2，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为，将矩形沿对角线AC翻折，使得B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，则D点坐标为_ 图2-1 图2-2（1），又，矩形ABCD的周长为（2）过D点做轴于F点，BC与FD的延长线交于G点则，设，则，由于，列得方程：，解得，故，求得点坐标为【教师备课提示】这道题主要是多个三垂直或者构造三垂直（悬空直角）例3（1）如图3-1，在四边形ABCD中，P为线段OC上一动点，当时，则
3、_（2）如图3-2，设P是等边的边BC上一点，且，连接AP，作AP的垂直平分线交AB、AC于M、N则的值为_ 图3-1 图3-2（1）4或6（提示：）（2）连接PM、PN，则，又，又， 【教师备课提示】这道题主要考查三垂直的构造和变形例4如图，在等腰ABC中，点P为BC的中点，用含角的透明三角板，使角的顶点落在点P，将三角板绕P点旋转（1）求证：（2）设，的面积为S，试用含x的代数式表示S （1）由题意得，又，（2），又点P为BC的中点，,，即，又，, 作于点M，作于点N，则，又，【教师备课提示】这道题主要考查三垂直的变形以及常见的结论例5如图5-1，和是两个全等的等腰直角三角形，的顶点E与的
4、斜边BC的中点重合将绕点E旋转到如图5-2，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与线段CA的延长线相交于点Q（1）求证：（2）已知，求P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示） 图5-1 图5-2（1）和是两个全等的等腰直角三角形，又，（2）连接PQ，在中，【教师备课提示】这道题主要考查三垂直的变形以及倒比例例6如图，中，、的角平分线相交于点O，过O引AO的垂线，与边AB，AC分别相交于D、E求证：OB、OC分别平分和，OA平分，又，又，【教师备课提示】这道题主要考查三垂直的变形以及常见的结论模块二 三平行模型例1如图，在矩形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，AE，BF交于点G，于点H
5、，若，且，设，的面积为S求S关于t的函数关系式（1）由，得，则由三平行可得，【教师备课提示】这道题主要考查三平行模型的证明和简单应用例2已知：如图，在梯形ABCD中，AB/CD，M是AB的中点，分别连接AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于点E，DB与MC交于F（1）求证：EF/CD；（2）若，求EF的长（1），（中间过渡量），（2），【教师备课提示】这道题主要考查怎么找三平行模型复习巩固模块一 三垂直模型演练1（1）已知：如图1-1，在矩形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD上的点若，则CQ的长为_（2）如图1-2，一个边长分别为3、4、5的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合另两个顶
6、点分别在正方形的两条边AD、CD上，那么这个正方形的面积是_ 图1-1 图1-2（1）3；（2）（提示：）演练2在矩形ABCD中，点P在AD上，将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E、F，连接EF（如图2-1）（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图2-2），求PC的长（2）探究：将直尺从图2-2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：的值是否发生变化？请说明理由 图2-1 图2-2（1）在矩形ABCD中，则,又，即，（2）理由：过F作，垂足为G，则四边形ABFG是矩形，又，演练3如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，且DM交AC于F，ME交BC于G（1）求证：（2）连接FG，如果，求FG的长（1）由题意得，又，AMFBGM（2），M为AB的中点，模块二 三平行模型演练1如图，在梯形ABCD中，AD/BC，对角线AC、BD交于点O，点E在AB上，且EO/BC，已知，求EO的长由于AD/EO/BC，所以，故演练2如图所示，在中，AD平分交BC于点D求证： 分别过B、C两点做AD的平行线，分别交CA、BA的延长线于E、F两点由于EB/AD/FC，有；由于，所以为正三角形，同理亦为正三角形，故
