1、第3讲相似三角形（一）知识导航模块一 比例的性质和成比例线段的概念一、比例的性质：比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.二、成比例线段的概念：1比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足2成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段3黄金分割：如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和
2、BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，AC与AB的比叫做黄金比（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个）模块二 平行线分线段成比例定理1平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理如图：如果，则， 【教师备课提示】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，2平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例如图：如果EF/BC，则， 平行线分线段成比例定理的推论的逆定理若或或
3、，则有EF/BC注意：对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行【教师备课提示】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明与F重合即可模块三 相似三角形的定义、性质和判定1相似图形定义：对应角相等，对应边成比例的图形叫做相似图形对应边的比例叫做相似比相似图形是形状相同，大小不一定相同相似图形间的互相变换称为相似变换性质：两个相似图形的对应角相等，对应边成比例 2相似三角形的定义定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形对应边的比例叫做相似比全等三角形
4、是特殊的相似三角形，全等三角形的相似比是1如图，与相似，记作，符号读作“相似于”注意：如果写成“”，则前后的字母一定对应；如果写成文字，则可以不对应3相似三角形的性质相似三角形的对应角相等如图，则有相似三角形的对应边成比例如图，则有（为相似比）相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比如图，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有相似三角形周长的比等于相似比如图，则有相似三角形面积的比等于相似比的平方如图，则有4相似三角形的判定判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 简称为两角对
5、应相等，两个三角形相似如图，如果，则判定定理2：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似 简称为三边对应成比例，两个三角形相似如图，如果，则判定定理3：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似如图，如果，则模块一 比例的性质和成比例线段的概念例1（1）已知，则的值是_（2）若则_（3）若，且，则的值是_（1）设，；（2）；（3）【教师备课提示】这道题主要考查常见的“见比设参”，为后面学习比例打下基础例1（1）设，则_，_（2）已知：，则_（3）如果，则下列成立的等式是（ ）A B C D（1）由及比
6、例的性质可知：，（2）当时，由等比性质得；当时，则，综上，的值为2或（3）A中，A错误；B中，B错误；C中，C正确；D中，D错误【教师备课提示】这道题主要考查学生们比例的基础性质，为后面倒比例打下坚实的基础例1（1）已知线段，线段c是a、b的比例中项，那么c等于_（2）如图，C是AB的黄金分割点，且，以CA为边的正方形的面积为，以BC、BG为边的矩形的面积为，则（填“”、“”或“”）（1）由比例中项的性质有，由于c是线段，故（2）由题意知，故【教师备课提示】这道题主要考查比例的基本概念和黄金分割模块二 平行线分线段成比例定理例1（1）如图4-1，已知，用面积法证明：（2）如图4-2，若，则_（
7、3）如图4-3，则， 图4-1 图4-2 图4-3（1）如图所示，连接AE，BD，BF，CE，（2）；（3），【教师备课提示】这道题主要考查平行线分线段成比例定理的证明和简单应用例1（1）如图5-1，中，BE平分，DEBC，若，那么_ （2）如图5-2，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中错误的是（）A B C D 图5-1 图5-2（1）4（角平分线加平行线必出等腰三角形）；（2）D【教师备课提示】这道题主要考查平行线分线段成比例定理推论的简单应用例1如图所示，连接EF，GH相交于点O求证：GH与EF互相平分 分别连接、，；同理，.故四边形GEHF为平行
8、四边形，所以GH与EF互相平分【教师备课提示】这道题主要考查平行线分线段成比例定理推论的逆定理注意：平行线分线段成比例定理是没有逆定理的，只有推论才有逆定理模块三 相似三角形的定义、性质和判定例1（1）下列命题正确的是（）A有一个角对应相等的平行四边形都相似B对应边成比例的两个平行四边形相似C有一个角对应相等的两个等腰梯形相似D有一个角对应相等的两个菱形相似（2）一个矩形剪去一个宽为边长的正方形后，所剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的宽与长的比是（）ABCD（1）选择D多边形相似要求对应角相等对应边成比例，而A、C只满足角相等，无法满足边成比例，而B只能满足边成比例，而无法满足角相等只有D两个
9、方面的条件都满足（2）选择A不妨设原矩形的宽为1，长为；则剪去一个正方形后的小矩形，长为1，宽为则由相似得到，即，由得到，所以宽与长的比为【教师备课提示】这道题主要考查相似图形的定义和性质例1（1）且相似比为，且相似比为，则与的相似比为_（2）如图8-1，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为_，和的周长比为_，面积比为_（3）如图8-2，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，在AB上取一点F，使，则_（4）如图8-3，在和中，若这两个三角形相似，则BD的长为_ 图8-1 图8-2 图8-3（1）；（2），；（3）2；（4）或【教师备课提示】这道题主要考查相似三角形的基本性质例1（1）
10、下列所给条件中，可以判断与相似的是（）A， B， C， D， （2）如图9-1，在中，点D是BC边上的中点，且，交BA于点E，EC与AD相交于点F求证：（3）如图9-2，为等腰直角三角形，求证： 图9-1 图9-2（1）D； （2），；垂直平分BC，.（3）由等腰直角三角形可以得到所以题目已知条件变为，将该条件变为比例形式得到：，由于，所以有【教师备课提示】这道题主要让同学们熟悉相似三角形的3种判定方法，为后面学习模型打下基础复习巩固模块一 比例的性质和成比例线段的概念演练1（1）如果，则下列各式不成立的是（）A B C D（2）已知：，求值：；（3）已知，求的值（1）A为合比性质，B为分比性
11、质，C显然正确，D错误，由于，不能用等比定理故答案为D（2）由等比性质直接可以得到；（3）当时， 于是：，当时，于是本题的解为或8演练1（1）已知两个数，则它们的比例中项为_（2）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即AC是AB与BC的比例中项），支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则_cm，_cm（1）设比例中项为，则，故填（2）点是靠近点的黄金分割点，即，又点是靠近点的黄金分割点，模块二 平行线分线段成比例定理演练1（1）如图3-1，直线，已知，_（2）如图3-2，在中，D、E分别为AB、AC边上的点，若，则_（3）如图3-3，ABDE，AE与
12、DB交于C，则_ 图3-1 图3-2 图3-3（1）0.5cm；（2）；（3）6演练1如图所示，在的边BC上，边AC上，求：，；，模块三 相似三角形的定义、性质和判定演练1（1）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）A B C D（2）已知且，则_（3）已知的三边长分别为、2，的两边长分别是1和，如果与相似，那么的第三边长应该是（）A B C D（1）选择D，考察相似的定义；（2）；（3）A演练1如图，直角梯形ABCD中，点E在BC上，点F在AC上，（1）求证：（2）当，点E、F分别是BC、AC的中点时，求直角梯形ABCD的面积（1），（2），又F是AC的中点，E是BC的中点，直角梯形ABCD的面积
