1、第18章平行四边形 期末压轴题训练1如图1，在正方形中，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、于点、（1）求证；（2）如图2，若垂足恰好为的中点，连接，交于点，连接，并延长交边于点求的度数；（3）如图3，若该正方形边长为11，将正方形沿着直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作，垂足分别为，若，则_2在平行四边形中，于，于，为上一动点，连接，交于，且（1）如图1，若，求、的长；（2）如图2，当时，求证：；（3）如图3，若，点是直线上任一点，将线段绕点逆时针旋转60，得到线段，请直接写出的最小值_3（1）如图1，正方形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，将正方形A
2、BCD沿CE，CF所在直线折叠，使点B，D都落在AC上，则ECF ；（2）如图2，矩形ABCD中，AC为对角线，AB6，AD8，点E，F分别在AB，AD上，将矩形ABCD沿CE，CF所在直线折叠，使点B，D分别落在AC上的点M，N处，求EF的长；（3）如图3，矩形ABCD中，点P在BC上，将矩形ABCD沿PA所在直线折叠，使点B落在AD上的点Q处，点E在AB上，将矩形ABCD沿PE所在直线折叠，使点B落在折痕PA上的点M处，再将矩形ABCD沿PD所在直线折叠，此时点C落在折痕PA上的点N处，若AE4，请直接写出BC的长4如图，在矩形中， 的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接（1）求证：
3、；（2）与相等吗？请说明理由，并求当时矩形的面积；（3）判断、三者的数量关系，并证明你的结论5综合与实践动手、发现：（1）数学活动课上，小聪进行了下列操作：“如图，矩形纸片 ABCD 中，BD 为对角线，将BCD 沿 BD折叠，使点 C 落在点 E 处，BE 交 AD 于点 F”则线段 BF= ，ABF ；问题解决:（2）在图中，若 AB=6，BC=8，请你求出线段 AF 的长；再动手、延伸:（3）小聪在（2）的条件下，找到 DE 上的点 G 及 BD 上的点 H，将GDH 沿 GH 折叠，使点 D 落在点 A 处（如图）， 则线段 GH 的长为： 6正方形中，点、分别在、上动点（与顶点不重合
4、），且满足（1）如图1，连与对角线交于点，求证（2）如图2，连，过点作的平行线，分别交、于点M、G过点M作交的延长线于点，连、，若，判断与的数量关系，并加以证明（3）如图3，过点作直线，垂足为点，连，若正方形边长为8，则线段的最大值为_7自主探究：在中，点D在射线上（与B、C两点不重合），以为边作正方形，使点E与点B在直线的异侧，射线与直线相交于点G（1）当点D在线段上时，如图（1），判断：线段与线段的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）当点D在线段的延长线上时，如图（2），写出线段与线段的数量关系与位置关系，不必证明；（3）在（2）的基础上，随着点D位置的变化，当G为中点，时，求出正方形的
5、边长8问题探究：（1）如图1，平行四边形ABCD，ABC60，AB3，BC5，M、N分别为AD、DC上的点，且DM+DN4，则四边形BMDN的面积最大值是 （2）如图2，ACB90，且AC+BC4，连接AB，则ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由问题解决（3）如图3，在四边形ABCD中，ADBC，对角线AC交BD于O，已知AOB120，且AC+BD10，则AOD与BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值9如图，将平行四边形沿折叠，点恰好落在的延长线上点处，连接交于点（1）证明：四边形是菱形；（2）若求的面积；若直线上有一点，当为等腰三角形时，
6、直接写出线段为的长10在中，的平分线交于点交的延长线于点，连接（1）如图1，若，是的中点，连接、求证：请判断的形状，并说明理由；（2）如图2，若，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，请判断的形状，并说明理由（3）如图3，作的角平分线交于点，已知，求的长11如图，已知ADBC，ABBC，ABBC12，P为线段AB上一动点将BPC沿PC翻折至EPC，延长CE交射线AD于点D（1）如图1，当P为AB的中点时，求出AD的长；（2）如图2，延长PE交AD于点F，连接CF，求证：PCF45；（3）如图3，MON45，在MON内部有一点Q，且OQ8，过点Q作OQ的垂线GH分别交OM、ON于G、H两点当QG2时，
7、求QH的值12在正方形ABCD中，点P是CD边上点，点E在AP的延长线上，将线段AE绕点A顺时针旋转90，到线段AF，连接DE（1）如图1，连接BF，求证：BFDE；（2）如图2，若EF正好经过点B，求证：DEEF；探究BE、BF、BA三条线段的数量关系并证明你的结论；（3）如图3，当EF经过点C时，若CF4，CE2，请直接写出此时正方形边的长度）13已知：菱形中，过点作，垂足为点，（1）如图1，求的度数；（2）如图2，连接、，点在上，于点，交于点，点在上，连接、，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，分别连接、，、交于点，交于点，若，求菱形的面积14如图，P是正方形的边右侧一点，为锐角，连
8、，（1）如图1，若，则的度数为 ；（2）如图2，作平分交于E求的度数；猜想，之间有何数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若，则四边形的面积为 平方单位15在矩形ABCD中，BCCD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AECF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PEPF；（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；（3）当AB5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，直接写出点G运动路线长16在中，点为所在平面内一点，过点分别作交于点，交于点，交于点（1）如图
9、1，当点在边上时，请探索线段，之间的数量关系，并证明你的结论（2）如图2，当点在内部时，线段，之间有怎样的数量关系？请说明理由（3）如图3，当点在外部时，线段，之间有怎样的数量关系？直接写出结论17如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE的延长线与BC交于点F，过点E作DF的垂线交边AB，CD于点H，G（1）求证：；（2）延长BC，HG交于点M，求证：；（3）若，求CF的长（用含有m的式子表示）18如图，是正方形边上一个动点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点，连接（1）如图1，求的大小；求证：；（2）如图2，试猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论参考答案1（1）见解析；
10、（2）45；（3）【分析】（1）过点B作BFMN交CD于点F，则四边形MBFN为平行四边形，得出MN=BF，BFAE，由ASA证得，得出AE=BF即可得出答案；（2）连接AQ，过点Q作HIAB，分别交AD、BC与点H、I，则四边形ABIH为矩形，得出HIAD，HIBC，HI=AB=AD，由HL证明，得，证明即可得出答案；（3）延长交于点，由折叠的性质可知， ，再根据勾股定理计算出的长度即可得出答案.【解析】（1）证明：四边形是正方形，过点作交于点，如图1所示四边形为平行四边形，在和中，；（2）解：连接，过点作，分别交、于点、，如图2所示：四边形是正方形，四边形为矩形，是正方形的对角线，是等腰直
11、角三角形，是的垂直平分线，在和中，是等腰直角三角形，即；（3）解：延长交于点，如图3所示，由折叠的性质可知， 【点评】本题考查的是正方形的综合，运用到了全等三角形的判定、勾股定理以及正方形的性质等知识点，掌握旋转前后的图形是完全重合的是解决本题的关键.2（1），；（2）见解析；（3）【分析】（1）由平行四边形性质可得，利用30直角三角形性质开得，根据勾股定理，设，则，根据勾股定理，解得即可；（2）方法1补短：如图3，延长到使，连接、，由平行四边形ABCD性质，可得ABCD，AB=CD，可证（SAS），可得，由垂直平分，可证，再证即可；方法2截长：如图4，过点作于点，连接，先证（SAS），再证（
12、AAS），最后证（HL），可得即可，（3）在上截取，连接、，先证是等边三角形，可得，可证（SAS），可证，设PH交AE与Q，点H在射线PQ上运动，当点H运动到点Q是AH最短由，先求，由勾股定理即可【解析】（1）由平行四边形性质可得，在中，根据勾股定理，在中， 设，则，根据勾股定理，即，解得，；（2）方法1补短：如图3，延长到使，连接、，四边形ABCD为平行四边形，ABCD，AB=CD，AEAB，在ADE和BMA中，（SAS），垂直平分，方法2截长：如图4，过点作于点，连接，CFAD，在CFH和CFD中，（SAS），在BNC和AED中，（AAS），于，=BNG，在RtABG和RtNBG中（HL）
13、，（3）在上截取，连接、，是等边三角形，在CDH和CPH中，（SAS），设PH交AE与Q，点H在射线PQ上运动，当点H运动到点Q是AH最短由（1）得：，的最小值为故答案为：【点评】本题考查平行四边形性质，30度直角三角形性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线性质，等边三角形判定与性质，垂线段最短，掌握平行四边形性质，30度直角三角形性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线性质，等边三角形判定与性质，垂线段最短是解题关键3（1）45；（2）；（3）【分析】（1）根据折叠的性质可得，然后根据正方形的性质可得BCD=90，进而问题可求解；（2）由折叠的性质可得，则有，设DF
14、=x，AE=y，然后根据勾股定理可建立方程求解x、y的值，进而根据勾股定理可求解EF的长；（3）由题意易得四边形ABPQ是正方形，则有AME是等腰直角三角形，然后可得EM=4，由折叠性质可得EM=BE=4，进而可得ABP是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质可进行求解【解析】解：（1）四边形ABCD是正方形，BCD=90，由折叠的性质可得，；故答案为45；（2）四边形ABCD是矩形，AB6，AD8，由折叠的性质可得，设FN=DF=x，AE=y，则有，在RtANF中，由勾股定理可得，解得：，在RtAME中，由勾股定理可得，解得：，AF=8-3=5，在RtAEF中，由勾股定理可得；（3）由
15、将矩形ABCD沿PA所在直线折叠，使点B落在AD上的点Q处，可得四边形ABPQ是正方形，由折叠的性质可得，AME是等腰直角三角形，AE4，在矩形ABCD中，ADBC，AD=BC，ABP是等腰直角三角形，【点评】本题主要考查勾股定理、矩形的性质、折叠的性质及正方形的判定与性质，熟练掌握勾股定理、矩形的性质、折叠的性质及正方形的判定与性质是解题的关键4（1）见解析；（2）相等；（3）【分析】（1）根据已知条件可得是等腰直角三角形，然后证明，即可得出结论；（2）根据已知条件证明，即可证明与相等，过点E作AB，CD的平行线，与AD，BC交于G，N，根据等腰直角三角形性质结合求出矩形的长和宽计算面积即可
16、；（3）设HE为x，则，然后根据等腰直角三角形性质，中位线定理表示出各线段的值，写出关系即可【解析】解：（1）在矩形中，平分，是等腰直角三角形，在和中，（2）由（1）得，是等腰三角形，；过点作 与AD，BC交于G，N，则 为等腰直角三角形，N分别为AD和BC的中点，为等腰直角三角形，,，为等腰直角三角形，则,则，；（3）设HE为x，则，则，为BC的中点，为的中位线，【点评】本题主要考查四边形的综合运用，涉及的知识点有矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线定理等知识点，根据所设线段的长度表示出其它线段的长度是解决问题的关键5（1）DF，EDF；（2）；（3）【分析
17、】(1)由折叠的性质得CBD=EBD，由平行线的性质得CBD=ADB，结合折叠性质即可证明ADB=EBD，可得BF=DF；再根据AAS可证ABFEDF；(2)在RtABF中，设AF=x，由勾股定理得方程(8-x)=6+x，解方程可得AF的值；(3) 分别延长BA，DE，并交于点O，利用矩形及折叠性质可得AB=DE=6根据全等三角形的性质及已得结论可推出OA=OE，则可由勾股定理求出OA，并得OB的长，最后由折叠性质可得GH是OBD的中位线，从而可得GH的值【解析】解：（1）四边形ABCD是矩形， ADBC，A=C=90CBD=ADB由折叠性质可得CBD=EBD，C =E=90，ADB=EBD，
18、A=EBF=DFAFB=EFD，ABFEDF故答案为：DF，EDF；（2）四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8，AD=BC=8设AF为x，BF=DF=8-x，由勾股定理可得：BF2=AB2+AF2即（8-x）2=62+ x2解得x=AF=（3）分别延长BA，DE，并交于点O，四边形ABCD是矩形，AB=CD=6由折叠性质可得DE=CD，AB=DE=6ABFEDF，ABF=EDFEBD=ADB，ABF+EBD =EDF+ADB，即OBD=ODB，OB=ODOA=OE由勾股定理可得：OA2=（OE+DE）2-AD2即OA2=（OA+6）2-82解得OA=，OB=AB+OA=6+=AGH是GDH
19、翻折而成，GH垂直平分ADABAD，KH是ABD的中位线同理可得：KG是OAD的中位线GH是OBD的中位线GH= 故答案为：【点评】本题考查了翻折变化、全等三角形的判定与性质、矩形的性质及三角形中位线性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解答此题的关键6（1）见解析；（2），证明见解析；（3）【分析】（1）由正方形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出；（2）证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，证得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得出结论；（3）求出，取的中点，连接，过点作于点，由直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，则可得出答案【解析】解：（1）证明：四边形是正方形，在和中，；（2
20、）解：理由如下：四边形是正方形，四边形是矩形，又，又，四边形是平行四边形，（3）由（1）可知，取的中点，连接，过点作于点，即的最大值为故答案为【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题7（1），理由见解析；（2），；（3）【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到ACB=ABC=45，由正方形的性质得到AD=AF，DAF=90，由角的和差得到BAD=CAF，推出BADCAF（SAS），根据全等三角形的性质得到ACF=B=45，证得BCCG，再
21、利用，得到，即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到AD=AF，DAF=90，由角的和差得到BAD=CAF，推出BADCAF（SAS），根据全等三角形的性质得到ACF=B=45，BD=CF，证得BCCG，再利用，得到，即可得到结论；（3）由（1）（2）可知：与为等腰直角三角形，得，根据已知条件G为中点，得，证，得再过点A作APBD于P，在中，利用勾股定理可得AD=【解析】（1），正方形中，（2），仍然成立四边形是正方形，.（3）由（1）（2）可知：与为等腰直角三角形，又G为中点又过点A作于点P，在中答正方形的边长为【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟
22、练掌握全等三角形的判定和性质解题的关键8（1）；（2）存在，4+2；（3）不是，周长之和的最小值为15【分析】（1）先求出平行四边形的面积，利用面积和差关系可得四边形的面积，则当有最小值时，四边形的面积有最大值，即可求解；（2）在中，由勾股定理可求的长，由线段的和差关系可求解；（3）如图3，过点作，交的延长线于，过点作于，可证四边形是平行四边形，可，则与的周长之和为，由直角三角形的性质可求的长，即可求解【解析】解：（1）过点作，交延长线于，过点作，交的延长线于，四边形是平行四边形，四边形的面积，四边形的面积，四边形的面积，则当有最小值时，四边形的面积有最大值，当时，四边形的面积，故答案为；（2
23、）存在，设，的周长，当时，的周长的最小值为；（3）与的周长之和不是定值，理由如下：如图3，过点作，交的延长线于，过点作于，四边形是平行四边形，设，则，与的周长之和不是定值，当时，与的周长之和的最小值为15【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键9（1）见解析；（2）；（3）线段的长为2、18、或5【分析】（1）由题意可得，结合，得到，得，可证四边形是平行四边形，再由折叠可知，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得证；（2）利用菱形的面积的两种求解方式：对角线乘积的一半底高，列出方程，即可得到的高，再利用，求出面积；（
24、3）分三种情况讨论，以E点为圆心，CE为半径画弧，与直线AE相交于、，即以C点为圆心，CE为半径画弧，与直线AE相交于，即，画出图形，分别求解即可【解析】（1）证明：平行四边形沿折叠，点恰好落在的延长线上点处，连接交于点，四边形是平行四边形又平行四边形是菱形（2）平行四边形是菱形，四边形是菱形，平行四边形，菱形的面积=即解得（3）由（2）平行四边形，如图所示，以E点为圆心，CE为半径画弧，与直线AE相交于、，此时为等腰三角形；，此时为等腰三角形；如图所示，以C点为圆心，CE为半径画弧，与直线AE相交于，此时为等腰三角形，由（2）可知由（2）可知四边形是菱形，即B点，此时为等腰三角形，综上所述：
25、当为等腰三角形时，线段的长为2、18、或5【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定和性质熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键10（1）见解析；等腰直角三角形，理由见解析（2）等边三角形（3）【分析】（1）先判定四边形ABCD是矩形，再根据矩形的性质可得ABC90，ABDC，ADBC，然后根据平行线的性质求出FFDC，BEFADF，再根据DF是ADC的平分线，利用角平分线的定义得到ADFFDC，从而得到FBEF，然后根据等角对等边的性质即可证明；连接BG，根据等腰直角三角形的性质可得FBEF45，再根据等腰三角形三线合一的性质求出BGF
26、G，FCBG45，然后利用“边角边”证明AFG和CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AGCG，再求出GACACG90，然后求出AGC90，然后根据等腰直角三角形的定义判断即可；（2）连接BG，根据旋转的性质可得BFG是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出AFAD，平行四边形的对角相等求出ABCADC60，然后求出CBG60，从而得到AFGCBG，然后利用“边角边”证明AFG和CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AGCG，全等三角形对应角相等可得FAGBCG，然后求出GACACG120，再求出AGC60，然后根据等边三角形的判定方法判定即可（3）在BH上截取BNBE，连接
27、NE，由等腰三角形的性质可求HNNE，可求BN的长，即可求解【解析】解：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADC90，四边形ABCD是矩形，ABC90，ABDC，ADBC，FFDC，BEFADF，DF是ADC的平分线，ADFFDC，FBEF，BFBE；AGC是等腰直角三角形理由如下：连接BG，由知，BFBE，FBC90，FBEF45，G是EF的中点，BGFG，FCBG45，FAD90，AFAD，又ADBC，AFBC，在AFG和CBG中，AFGCBG(SAS)，AGCG，FAGBCG，又FAGGACACB90，BCGGACACB90，即GACACG90，AGC90，AGC是等腰直角三角形；
28、（2）连接BG，FB绕点F顺时针旋转60至FG，BFG是等边三角形，FGBG，FBG60，又四边形ABCD是平行四边形，ADC60，ABCADC60CBG180FBGABC180606060，AFGCBG，DF是ADC的平分线，ADFFDC，ABDC，AFDFDC，AFDADF，AFAD，在AFG和CBG中，AFGCBG(SAS)，AGCG，FAGBCG，在ABC中，GACACGACBBCGGACACBBAGGACACBBAC18060120，AGC180（GACACG）18012060，AGC是等边三角形（3）如图，在BH上截取BNBE，连接NE，AB9，BH2AH，AH3，BH6，BEF4
29、5，BED135，EH平分BED，BEH67.5，BHE22.5，BEBN，ABC90，BENBNE45，NEBN，BNEBHEHEN45，BHENEH22.5，HNNEBN，BHBNNH（1）BN6，BNBE，BF，BCADAFABBF【点评】本题是四边形综合题，考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，在（1）中充分利用矩形的对边分别平行是解题的关键，在（2）构造三角形全等是解题的关键，在（3）中求出BN的长是关键11（1）；（2）证明过程见解析；（3）【分析】（1）如图1，根据平行线的性质得到A=B=90，由折叠的性质得到CEP=B=90，PB=PE，BPC=EPC，
30、根据全等三角形的性质得到作于，设，根据ABBC12，得到，根据勾股定理求出AD的长；（2）如图2，过C作CKAD交AD的延长线于K，推出四边形ABCK是正方形，求得CK=CB，根据折叠的性质得到CEP=B=90，BC=CE，BCP=ECP，得到CE= CB= CK，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）如图3，将OQG沿OM翻折至OUG，将OQH沿ON翻折至OWH，延长UG，WH交于V，根据已知条件和折叠的性质，利用有三个角是直角的四边形是矩形和邻边相等的矩形是正方形，推出四边形UOWV是正方形，设QH=y，在中，根据勾股定理即可得到结论【解析】解：（1）如图1，连结，ADBC，ABBC，A
31、=B=90将BPC沿PC翻折至EPC，CEP=B=90，PB=PE，BPC=EPC，DEP=90当P为AB的中点，AP=BPPA=PEPD=PD，作于，设，ABBC12，则，由勾股定理得，解得，（2）如图2，作交延长线于， 四边形为矩形又ABBC矩形为正方形CK=CB，BCK=90将BPC沿PC翻折至EPC，FED=90，CE= CB= CK，又CF=CF，ECF=KCFBCP+KCF=PCE+FCE=45PCF=45(3)如图3，将OQG沿OM翻折至OUG，将OQH沿ON翻折至OWH，延长UG，WH交于V，UOG=QOG，WOH=QOH，OU=OQ=OW=8，UG=QG=2，设QH=WH=y
32、 UOW=2MON=90，GHOQOQG=OQH=90 U=W=90=UOW，四边形UOWV是正方形UV=WV=8，V=90，GV=6，HV=8-y，GH=y+2 解得，即【点评】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键12（1）见解析；（2）见解析；BE2+BF2=2AB2，理由见解析；（3）【分析】（1）由正方形的性质和旋转的性质可得AB=AD，AE=AF，EAF=90=BAD，由“SAS”可证ABFADE，可得BF=DE；（2）由等腰直角三角形的性质可得AFE=AEF=45，由全等三角形的性质可得AFB=AED=45，可得结论；由正方
33、形的性质和勾股定理可求BD2=2AB2，在RtDBE中，BE2+DE2=DB2，可得结论；（3）连接AC，过点A作AHEF于H，由等腰直角三角形的性质可得AH=FH=EH=3，由勾股定理可得AH2+CH2=AB2+BC2，即可求解【解析】解：证明：（1）四边形ABCD是正方形，AB=AD，DAB=90，将线段AE绕点A顺时针旋转90，到线段AF，AE=AF，EAF=90=BAD，BAF=DAE，ABFADE（SAS），BF=DE；（2）AE=AF，EAF=90，AFE=AEF=45，ABFADE，AFB=AED=45，DEF=AED+AEF=90，DEDF；BE2+BF2=2AB2；理由如下：
34、如图2，连接DB，四边形ABCD是正方形，AB=AD，BAD=90，AB2+AD2=BD2，BD2=2AB2，DEF=90，BE2+DE2=DB2，BE2+BF2=2AB2；（3）如图4，连接AC，过点A作AHEF于H，CF=4，CE=2，EF=6，AE=AF，EAF=90，AHEF，AH=FH=EH=3，CH=1，AC2=AH2+CH2=AB2+BC2，9+1=2AB2，AB=，正方形的边长为【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键13（1）；（2）见解析；（3）菱形的面积为【分析】
35、（1）连接，根据三线合一性质解得，再由菱形性质解得，继而解题；（2）由菱形性质解得平分，解得，再由含30角的直角三角形性质解得，继而证明（SAS），最后根据全等三角形的性质解题；（3）在上取点，使，连接，先证明（ASA），据此解得，即，再证明，解得，设，则，过点作于点，交于点，连接，由勾股定理解得的值，继而解得的值，在中，利用勾股定理解得的值，最后根据菱形的面积公式解题【解析】解：（1）连接，四边形为菱形，；（2）四边形为菱形，平分，在中，又，为等边三角形，（SAS）；（3）在上取点，使，连接，四边形为菱形，又，（ASA），即，设，则过点作于点，交于点，连接，在中，.，在中，垂直平分，又由（2
36、）得，又，在中，在中，易解得在中，解得：易求得菱形的面积为：.【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、含30角的直角三角形、勾股定理、平行线的性质等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键.14（1）45；（2）45；见解析；（3）9【分析】（1）由题意可证PCD是等边三角形，可得PCD60DPC，由正方形的性质可得BCCDCP，BCD90，由等腰三角形的性质可求解；（2）设，PCD=2，由，可得，平分，得到，知道，可得，即， 即可求解；如图2，连接DE，过点C作CFCE交BP于点F，由“SAS”可证BCFDCE，DCEPCE，可得BFDE，BFCDEC135，DEEP，由
37、线段的和差关系可求解；（3）如图3，过点C作CE平分DCP，交BP于E，连接DE，过点C作CFCE，交BP于F，CHBP于H，由（2）可知，DEEPBF，CEF是等腰直角三角形，由面积的和差关系可求解【解析】（1）解：（1）CPCDPD，PCD是等边三角形，PCD60DPC，四边形ABCD是正方形，BCCDCP，BCD90，BCP150，CPB15，BPD45，故答案为：45；（2）设，PCD=2，平分即，即连，作交于F，则为等腰直角三角形,， 为公共边,；（3）如图3，过点C作CE平分DCP，交BP于E，连接DE，过点C作CFCE，交BP于F，CHBP于H，由（2）可知：DEEPBF，CEF
38、是等腰直角三角形，CHBP，CHEF，四边形PCBD的面积SBDP+SBCP，四边形PCBD的面积6DE+6CH3DE+3（62DE）9，故答案为9【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键15（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）欲证明PE=PF，只要证明PEF=PFE（2）连接AC交EF于O，连接PM，PO首先证明P，M，O共线，再利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可（3）如图3中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图中弧BC，结合圆心角的度数计算即可【解析】解：（1）证明：如图1中，四边形ABCD是矩形，ADBC，DEF=EFB，由翻折变换可知，DEF=PEF，PEF=PFE，PE=PF（2）证明：如图2中，连接AC交EF于O，连接PM，POAECF，EAO=FCO，AE=CF，AOE=COF，AEOCFO（AAS），OE=OF，PE=PF，PO平分EPF，PE=PF，AD=BC，AE=FC，ED=BF，由折叠的性质可知ED=EH，所以BF=EH，PE-EH=PF-BF，PB=PH，PHM=PBM=90，PM=PM，RtPMHRtPMB（HL），
