1、第18章平行四边形1如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=8cm，AB=6cm，BC=10cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发沿BC方向以2cm/s的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒（1）当t等于多少时，四边形ABPQ的面积为18cm2；（2）若以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；（3）当0t5时，若DQDP，当t为何值时，ADPQ是等腰三角形？2如图1，在中，引一条射线，使得平分，点是延长线上一点，过作于，是线段上一点，使得，在线段上取点、（点在之间），且，当点从点匀速运动到点时
2、，点恰好从点匀速运动到点记，已知（1）_，_；（2）判断和的位置关系，并说明理由；若，当_时，四边形是平行四边形（3）如图2，若，当时，求的值；若，求值3将一块直角三角板的直角顶点和矩形ABCD（ABBC）的对角线的交点O重合，如图（），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点（1）图（三角板一直角边与OD重合）中，连接DN，则BN与DN的数量关系是 ，进而得到BN，CD，CN的数量关系是 ；（2）写出图（三角板一边与OC重合）中，CN，BN，CD的数量关系是 ；（3）试探究图中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由4如图，在菱形
3、ABCD中，CEAB于点E（1）若CE4，AE2BE，求菱形ABCD的周长；（2）连结BD交CE于点F；若DFBF2EF，求证：AEBE设四边形AEFD和CDF的面积分别是S1和S2，若AE4，S1S22，求线段BF的长5如图1，点Q是正方形ABCD边BC的中点，点P在BC延长线上，CR平分DCP，AQQR于Q（本题不需要写理由）（1）求证AQQR；（2）如图2，若将条件中的点Q改为BC边上的任意一点，其余条件不变，AQQR是否依然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；（3）若将第（2）小题中的正方形改为正n边型ABCD（n为大于等于3的正整数），点Q为BC边上的任意一点，点P在
4、BC延长线上，CR平分DCP，则当AQR 时，AQQR（用n表示，直接写出结果，无需证明）6如图，中，点是边上的一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的平分线于点（1）线段与的位置关系是_；（2）探究：线段与的数量关系，并加以证明；（3）如图，当点运动到何处时，四边形是矩形，并说明理由；（4）在（3）的前提下，直接写出满足什么条件时，四边形是正方形7已知MON90，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OBOA点C在线段OA的延长线上，且ACOB（1）如图1，CDOB，CDOA，连接AD，BD；AOB与 全等，OBAADC ；若OAa，OBb，则BD ；（用含a，b
5、的式子表示）（2）如图2，在线段BO上截取BE，使BEOA，连接CE若OBAOCE，当点B在射线OM上运动时，的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由8定义：如果一个凸四边形有三条边相等，那么称这个凸四边形为“准等边四边形”如正方形就是一个“准等边四边形”（1）如图，在给定的网格中，找到格点使得以为顶点的四边形是准等边四边形，请按要求画两个且不全等的准等边四边形（2）如图1，中，对角线平分，将线段绕点顺时针方向旋转一个角度至，连接求证：四边形是准等边四边形；如图2，连接BE，求证：；（3）如图3，在准等边四边形中，请求出的大小及该四边形的面积9如图1，已知四边形和四
6、边形都是正方形，且连接，连接交于点如果正方形绕点旋转到某一位置恰好使得，且（1）如，请求出的面积（2）求证：（3）如图2，当，是边上一点且时，如点为边上的一个动点，以为边向左侧作等边，连接，请直接写出的最小值10（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且直接写出、之间的数量关系；（2）如图，在四边形中，、分别是，上的点，且，求证：；（3）如图，在四边形中，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明11实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点处，得到折痕DE，然后把纸片展平；第二步：如图2，将图1
7、中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点处，点落在点处，得到折痕EF，交AB于点M，交DE于点N，再把纸片展平问题解决：（1）如图1，填空：四边形的形状是_；（2）如图2，线段与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若，求线段DF的长12如图，已知点、分别是正方形边以及边延长线上的点（与正方形顶点不重合)，满足联结，交对角线于点（1）联结，求证：；（2）求证：；（3）如果正方形边长为，设，的面积为，求关于的函数关系式13如图，在中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点（1）求证：；（2）延长至，使，连接，延长，交于点当与满足什么数量关系时，四
8、边形是矩形？请说明理由；若，求四边形的面积14在正方形中，点，分别在边，上（点，不与正方形的顶点重合），相交于点，且（1）猜想与的数量关系并证明：（2）证明：；（3）若，请直接写出点到直线的距离15如图，已知在梯形ABCD中，ADBC，ABCBCD45，BC8，DEBC，垂足为E，延长DE至F，使得DEEF，联结AC、BF、CF（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）设ADx，梯形ABCD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）联结AF交BC于点O，如果AOB是等腰三角形，求AD的长16亮亮学习平行四边形以后，利用身边的工具进行了如下操作与探究：如图1，在边长
9、为的正方形纸板上，放置了一个三角板，作射线，使直角顶点在射线上运动，始终经过点，交于点依照上面操作，点运动到如图2位置时，连接，过点作于点，过点作于点，于是得到矩形，通过证明它的一组邻边相等，易证矩形为正方形，亮亮又作了如下思考，请你帮他完成以下问题：（1）若点运动到线段的延长线上时，以上结论还成立吗？若成立，应该怎样画图，证明呢？若不成立，理由是什么？（2）在（1）的情况下，若连接，的值是否为定值？若是，结果是多少（直接写出结果即可）？若不是，理由是什么？17在梯形中，过点D作交边于点E，过点A作交边于点F，交射线于点P （1）如图，当点F与点E重合时，求边的长；（2）如图，当点P在梯形内部
10、时，设，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）联结，当时，求边的长18已知,在中,为射线上一点,连接交于点（1）如图1,若点与点重合,且,求的长;（2）如图2,当点在边上时,过点作于,延长交于,连接求证:;（3）如图3,当点在射线上运动时,过点作于,为的中点,点在边上且,已知,请直接写出的最小值参考答案1（1）；（2）2；（3）或【分析】（1）根据梯形的面积公式即可得出结论；（2）根据平行四边形的对边相等建立方程求解即可得出结论；（3）分两种情况利用等腰三角形的三线合一的性质得出，再用矩形的对边相等建立方程求解即可；利用勾股定理建立方程即可得出结论【解析】解：（1）由题意得， ，当四边形
11、的面积为时，解得；所以，时，四边形的面积为；（2）由题意得， ，四边形是平行四边形，解得；综上所述，以、为顶点的四边形是平行四边形，的值是2；（3）如图，若，过作于，则，易证四边形是矩形，解得如图，若，过作于，则，在中，由勾股定理得：，即，解得综上所述，当或【点评】此题是四边形综合题，主要考查了梯形的面积公式，平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是用方程的思想解决问题2（1），；（2），见解析；（3）；【分析】（1）在中，令x=0，可求得y的值，此即MN的长；令y=0，可求得x的值，此即BC的长；（2）由已知可得，由四边形内角和可求得AED的度数，进而可得 ，因此可得结论；由的结
12、论，要使四边形是平行四边形，只要PC=FQ即可，而FQ=y+4，PC=x，由此建立方程，求得关于x的值；（3）连接，可得，由，可得四边形是平行四边形，从而易得FN=FC=PC=2，可求得y的值，再由QM=MN-y，即可求得结果；由FN=FC=PC=4m，可分别求得QM、EQ，由FCN是一个底角为30的等腰三角形，可求得CN的长，即BE的长，由BE=EQ，得关于m的方程，解方程即求得m的值【解析】（1）在中，令x=0，得y=8，即MN=8；令y=0，得x=12，即BC=12故答案为：12，8（2）理由如下：，ACB=60平分当PC=FQ时，四边形是平行四边形当m=1时，FN=EM=4FQ=FN+
13、QN=4+y=4+解得：故答案为：（3）如图2，连接，四边形是平行四边形CNBEFC=FN当时，由得，当时，四边形是平行四边形解得【点评】本题考查了平行线的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解方程等知识，理解PC与QN之间的关系式是本题的关键3（1）BN=DN，BN2=CD2+CN2；（2）CN2=BN2+CD2；（3）CN2+CM2=DM2+BN2，理由见解析【分析】（1）连接，由线段垂直平分线性质得，在中，由勾股定理得，即可得出结论；（2）连接，由线段垂直平分线的性质得，在中，由勾股定理得，即可得出结论；（3）延长交于，连接、，证，得，再由线段垂直平分线的在得，然后由勾
14、股定理得，则，即可得出结论【解析】解：（1）连接，如图所示：四边形是矩形，在中，由勾股定理得：，故答案为：，；（2）连接，如图所示：四边形是矩形，在中，由勾股定理得：，故答案为：；（3）、这四条线段之间的数量关系为：，理由如下：延长交于，连接、，如图所示：四边形是矩形，在和中，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明是解题的关键，属于中考常考题型4（1）；（2）见解析；【分析】（1）由得，根据菱形的性质可得，在中，根据勾股定理求出，即
15、可得菱形的周长；（2）连接，连接交于点，根据菱形的性质可得平分，可得，由得，可得平分，根据三角形角平分线的性质可得平分，利用可证，由全等三角形的性质即可得出结论；连接，连接交于点，先证明，则，由可得，可得出，根据勾股定理求出，得到CE，设BE=a，在BCE中，利用勾股定理列出方程，求出a值，得到BE，根据勾股定理求出的长【解析】解：（1），四边形是菱形，在中，解得：（负值舍去），菱形的周长是；（2）证明：连接，连接交于点，四边形是菱形，平分，平分，平分，；连接，连接交于点，四边形是菱形，平分，四边形和的面积分别是和，设BE=a，则BC=AB=AE+BE=4+a，在BCE中，即，解得：a=2，即
16、BE=2，在BEF中，【点评】本题考查四边形综合题，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的角平分线的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握菱形的性质，学会添加常用辅助线，证明三角形全等是解题的关键5（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）【分析】（1）如图1中，取AB的中点E，连接EQ证明AEQQCR（ASA），可得AQ=QR（2）结论成立；在边AB上截取AE=QC，连接QE证明AEQQCR（ASA），可得AQ=QR（3）在AB上截取BM=BQ，连接MQ，求出AMQ和QCR的度数，证明BAQ=CQR，利用ASA证明AMQQCR，可得AQ=QR【解析】解：（1）证明：如图1中
17、，取AB的中点E，连接EQ正方形ABCD中，B=BCD=90，AB=BCRQC=180-AQR-AQB=180-B-AQB=QAB=QAE，AB=BC，AE=EB，BQ=QC，BE=BQ，AE=CQ，BEQ=45，AEQ=135R是DCP的平分线上一点，RCP=45，QCR=135在AEQ与QCR中，QAE=RQC，AE=QC，AEQ=QCR，AEQQCR（ASA），AQ=QR（2）结论成立；理由：在边AB上截取AE=QC，连接QE正方形ABCD中，B=BCD=90，AB=BCRQC=180-AQR-AQB=180-B-AQB=QAB=QAE，BE=AB-AE=BC-QC=BQ，BEQ=45，
18、AEQ=135R是DCP的平分线上一点，RCP=45，QCR=135在AEQ与QCR中，QAE=RQC，AE=QC，AEQ=QCR，AEQQCR（ASA），AQ=QR（3）当AQR=时，AQ=QR，在AB上截取BM=BQ，连接MQ，AB=BC，BMQ=BQM，ABC=180-，BMQ=BQM=，AMQ=180-，CR平分DCP，PCR=DCR=DCP=，QCR=180-PCR=180-，AMQ=QCR，AB-BM=BC-BQ，AM=QC，BAQ+AQB=，AQB+CQR=180-AQR=，BAQ=CQR，在AMQ和QCR中，AMQQCR（ASA），AQ=QR，当AQR=时，AQ=QR【点评】本
19、题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型6（1）垂直；（2），证明见解析；（3）当点运动到中点时，四边形是矩形，理由见解析；（4）（或）【分析】（1）由角平分线的性质和平角的定义可求得结果；（2）由平行关系EFBC及CE平分ACB、CF平分DCA，可分别得出OE=OC，OC=OF，从而可得OE与OF的数量关系；（3）由（1）知，CECF，故只要证四边形AECF为平行四边形，即可判定四边形AECF为矩形；由（2）知，OE=OF，则只要OA=OC，即可判定四边形AECF为平行四边形；（
20、4）若四边形AECF为正方形，则ACEF，再由MNBC，可得ACBC，从而可得ABC应满足的条件【解析】（1）CE平分ACB、CF平分DCAACE=ACB，ACF=DCAACB+DCA=180 ECF=90即CECF故答案为：垂直（2）CE平分ACB、CF平分DCA，（3）当点运动到中点时，四边形是矩形理由如下：当为的中点时，则有四边形是平行四边形由（1）知：四边形是矩形（4）（或）理由如下：，MNBCAOE=ACB =90即ACEF矩形AECF是正方形【点评】本题是四边形综合题，考查了角平分线的性质，平行线的性质，矩形的判定，正方形的判定，熟练运用这些性质和判定进行推理是本题的关键7（1）D
21、CA，90；（2）当点B在射线OM上运动时，的大小不会发生变化，其值为45【分析】（1）根据平行线的性质可得ACDAOB90，结合已知则可证明AOBDCA，再利用全等三角形的性质即可求得OBAADC90延长MO到点E，使OECD，连接DE，利用矩形的判定及性质可得DEOCOAACab，即可利用勾股定理得出结果；（2）过点B作BFOM，过点C作CFON，交于点F，在CF上截取CD，使CDOA，连接BD，AD，结合已知推出四边形OBFC是矩形，并利用三角形全等判定及性质可证明ABD是等腰直角三角形，再矩形的性质及全等三角形的判定及性质可得OBAFBDOBF-ABD45，即可证明结论【解析】解：（1
22、）CDOB，MON90，ACDAOB90ACOB，CDOA，AOBDCA（SAS）OBACADCADADC90，OBAADC90故答案为：DCA，90；如图，延长MO到点E，使OECD，连接DE，AOBDCA，OAa，OBb，ACOBb，CDOAaCDOB，OECD，四边形OCDE是平行四边形OCD90，平行四边形OCDE是矩形DEOCOAACabBEOBOEab，故答案为：；（2）如图，过点B作BFOM，过点C作CFON，交于点F，在CF上截取CD，使CDOA，连接BD，AD，MON90，OBFOCFMON90四边形OBFC是矩形OCBF，OBCF，F90ACOB，AOBDCA（SAS）OB
23、ACAD，ABADOABOBA90，OABCAD90BAD90ABD是等腰直角三角形ABD45OBCF，OEBECDDFBEOACD，OEDFOCBF，EOCF90，COEBFD（SAS）OCEFBDOBAFBDOBF-ABD45，OBAOCE45当点B在射线OM上运动时，的大小不会发生变化，其值为45【点评】此题属于全等三角形综合问题，考查了全等三角形、矩形的判定与性质及勾股定理等知识，熟练掌握所学知识并灵活运用其解决问题是解题的关键8（1）见解析；（2）见解析；见解析；（3）45，【分析】（1）由图可知：，所以只要作出与、相等的线段再连接就可；（2）根据平行四边形和旋转的性质证明AB=BC
24、=CE即可；延长EC至点H，根据等边对等角得到CBE=CEB，CDE=CED，推出BCD=2BED，结合ACB=ACD，即可证明；（3）过点B、点D分别作BC和CD的垂线交于点F，连接AF，证明四边形BCDF是正方形，根据正方形的性质推出ABF是等边三角形，得到FAB=AFB=60，AF=FB=DF，计算出DAB的度数，再过点A作AGCD于点G，交BF于点K，利用S四边形ABCD=SADG+SABK+S矩形GKBC计算四边形ABCD的面积【解析】解：（1）由图可知：，只要作或中至少一条与相等就可，故作图（1），由四种画法，任选其中两种即可（2）证明：四边形是平行四边形，平分，由旋转得：，四边形
25、是准等边四边形延长至点，由得：，（3）如图（3），过点、点分别作和的垂线交于点，连接，四边形是矩形，四边形是正方形，是等边三角形，过点作于点，交于点，四边形的面积为【点评】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质、正方形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数、三角形的面积等知识，正确理解新定义，熟练掌握几何图形的性质类比定义层层递进思考是解题的关键9（1）；（2）见解析；（3）DP的最小值为3【分析】（1）根据正方形的性质，再由SAS证明BCGDCE，连接BE，根据平行线的性质可以得出DCG=BDC=45，可以得出BCG=BCE，由SAS证得BCGBCE，得出BG=BE，证
26、得BDE为等边三角形，再根据即可求解；（2）利用BDE为等边三角形，DBC=BDC=45，求得MBN=30，根据30度角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可证明BM=DM；（3）以CM为边向左侧作等边MCQ，连接PQ，证得PMQNMC，判断出点P在过点Q且垂直于QM的直线上，当DPPQ时，DP的值最小，过点M作MHPD于点H，利用含30度角的直角三角形的性质即可求得DP的最小值为3【解析】（1）解：四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，BC=DC，CG=CE，BCD=GCE=90BCD+DCG=GCE+DCG，BCG=DCE在BCG和DCE中，BCGDCE（SAS）BG=DE；连接B
27、E，CGBD，DCG=BDC=45，BCG=BCD+DCG=90+45=135，GCE=90，BCE=360-BCG-GCE=360-135-90=135，BCG=BCE，在BCG和BCE中，BCGBCE（SAS），即BCGBCEDCE，BG=BE=DE，BG=BD，BD=BG=BE=DE，BDE为等边三角形，BD=，则BE=DE=，BC=DC=，过点D作DIBE于点I，则，；（2）过点M作MNBD于点N，由（1）知：BDE为等边三角形，DBC=BDC=45，CDE=CDG=CBE=60-45=15，MBN=45-15=30，在RtBMN和在RtDMN中，MBN=30，BDM=45，BM=2M
28、N，DM=MN，BM=DM；（3）以CM为边向左侧作等边MCQ，连接PQ，则QM=MC，MNP是等边三角形，PMN=60，PM=MN，则PMN=QMC=60，PMQ=NMC，同理可证：PMQNMC，PQM=NCM=90，点P在过点Q且垂直于QM的直线上；当DPPQ时，DP的值最小，过点M作MHPD于点H，PQM=90，DPPQ，四边形PQMH是矩形，PH=QM，PDM=QMC=60，BD=5，CM=1，HMD=30，BC=CD =5，DM=4，PH=QM= CM=1，HD=DM=2，DP=2+1=3即DP的最小值为3【点评】本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判
29、定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质、证明三角形全等是解题的关键10（1），理由见解析；（2）见解析；（3）结论EFBEFD不成立，应当是EFBEFD理由见解析【分析】（1）在CD的延长线上截取DMBE，连接AM，证出ABEADM，根据全等三角形的性质得出BEDM，再证明AEFAMF，得EFFM，进而即可得出答案；（2）在CD的延长线上截取DGBE，连接AG，证出ABEADG，根据全等三角形的性质得出BEDG，再证明AEFAGF，得EFFG，即可得出答案；（3）按照（2）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换就应该在BE上截取BG，使
30、BGDF，连接AG根据（2）的证法，我们可得出DFBG，GEEF，那么EFGEBEBGBEDF所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的【解析】（1）解：，理由如下：延长CD，使DM=BE，连接AM，在正方形中，AB=AD，B=ADM=90，BAE=DAM，AE=AM，BAE+DAF=DAM+DAF =90-45=45，EAF=MAF=45，又AF=AF，AE=AM，EF=MF=MD+DF=BE+DF；（2）在CD的延长线上截取DGBE，连接AG，如图，ADF90，ADFADG180，ADG90，B90，BADG90，BEDG，ABAD，ABEADG（SAS），BAEDAG，AGAE，EAGE
31、ADDAGEADABEBAD， EAFFAG，又AFAF，AEAG，AEFAGF（SAS），EFFGDFDGEBDF；（3）结论EFBEFD不成立，应当是EFBEFD理由如下：如图，在BE上截取BG，使BGDF，连接AGBADC180，ADFADC180，BADF在ABG与ADF中，ABGADF（SAS）BAGDAF，AGAFBAGEADDAFEADEAFBADGAEBAD=EAFAEAE，AGAFAEGAEFEGEF，EGBEBGEFBEFD【点评】本题考查了三角形综合题，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽
32、然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题11（1）正方形（2）证明见解析部分（3）3cm【分析】（1）由折叠性质得，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形为正方形；（2）连接，证明，得，便可得结论；（3）设，则，由勾股定理求出的值即可【解析】【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，第（2）题关键在于证明三角形全等，第（3）题关键证明利用勾股定理构建方程12（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据正方形性质可得，进而证明，即可证得结论；（2）过点作
33、交于点，证明，即可证得结论；（3）过点作于点，连结，由，可得出，利用三角形面积公式即可得出答案【解析】解：（1）四边形是正方形，在和中，又，；（2）如图1，过点作交于点， ，四边形是正方形，在和中，；（3）如图2，过点作于点，连结， 四边形是正方形且边长为1，又，又，又，的面积为，关于的函数关系式为【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，直角三角形性质，等腰三角形性质，三角形面积公式等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键13（1）见解析；（2）当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形，理由见解析；四边形EGCF的面积为【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，A
34、BCD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出ABE=CDF，证出BE=DF，由SAS证明ABECDF即可；（2）证出AB=OA，由等腰三角形的性质得出AGOB，OEG=90，同理：CFOD，得出EGCF，证出EG=CF，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论；过点C作CHAD于点H，连接CE，利用=,求得，CH4，由即可求解【解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，ABCD，OB=OD，OA=OC，ABE=CDF，点E，F分别为OB，OD的中点，BE=OB，DF=OD，BE=DF，在ABE和CDF中，ABECDF（SAS）；（2）解：当AC=2AB时，四边形EGC
35、F是矩形；理由如下：AC=2OA，AC=2AB，AB=OA，E是OB的中点，AGOB，OEG=90，同理：CFOD，AGCF，EGCF，由（1）得：ABECDF，AE=CF，EG=AE，EG=CF，四边形EGCF是平行四边形，OEG=90，四边形EGCF是矩形；解：过点C作CHAD于点H，连接CE，则=,AP=2DP=8，DP=4，设，则，解得：=3，即，CH=4，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为OB， OD的中点，EFBD，四边形EGCF是平行四边形，故四边形EGCF的面积为【点评】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的
36、关键是灵活运用所学知识解决问题14（1）BE=FG，证明见解析；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）根据题意结合图形可猜想BE=FG，过点A作FG的平行线，构造平行四边形和全等三角形，即可证明BE=FG；（2）由（1）得四边形AFGM是平行四边形，且DAMABE，可得GM=AF，DM=AE，进而证明DG=AF+AE；（3）过点C作CHBE于点N，交AB于点H，先求得CH=FG=4，BH=AE=，再由勾股定理求出BC的长，根据面积法求出BN，利用勾股定理求出CN即为点C到直线BE的距离【解析】解：（1），证明：如图，过点作，交于点，交于点，四边形是正方形，四边形是平行四边形，（2）证明：如图，
37、由（1）得，四边形是平行四边形，且，（3）如图，作于点，交于点，则，四边形是平行四边形，即，点到直线的距离是【点评】此题重点考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，此题涵盖多个知识点，且解题方法不止一种，解题时应考虑使用较简便的方法解题15（1）见解析；（2）；（3）4或【分析】（1）联结，利用等腰梯形的性质得到，再利用证明，根据垂直平分线的性质得到，从而得到，然后证得，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；（2）过点作于，先证明四边形是矩形，设，则，运用梯形面积公式即可得出答案；（3）分三种情况：当时，可
38、得出时等腰直角三角形，根据，即，可求得答案；当时，得出与重合，与四边形是梯形不符，故此情况不存在；当时，求出BM，利用ME=BC-BM-EC=BC-2BM求出ME，可得AD，即可求得答案【解析】解：（1）联结，梯形中，在和中，又，四边形是平行四边形；（2）如图2，过点作于，四边形是矩形，设，（3）作于，由（2）得：，是等腰三角形，或或，当时，是等腰直角三角形，；当时，与重合，与四边形是梯形不符，当时，则，ME=BC-BM-EC=BC-2BM=，综上所述，的长为4或【点评】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形判定和性质，梯形面积公式等，熟练掌握相
39、关性质定理和判定定理是解题关键16（1）成立，理由见解析；（2）是；8【分析】（1）根据题意画出图形，根据已知条件先证明四边形DEFG为矩形，然后证明，然后证明为等腰三角形，即可证明四边形DEFG为正方形；（2）由（1）可证明，然后可得，然后求AC得值即可【解析】解：（1）成立，理由如下：当点运动到线段的延长线上时，如图所示，四边形DEFG为矩形，连接BE，四边形ABCD为正方形，又，矩形DEFG为正方形；（2）四边形ABCD、四边形DEFG为正方形，【点评】本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，根据题意画出对应的图形是解题的关键17（1）；（2）y=-x（x）；（3）或【分析】（1）证明四边形ABED是平行四边形，推出AD=BE，AB=DE，求出BE，可得结论（2）求出BF=，再利用平行四边形的性质，可得结论（3）分两种情形：如图3-1中，当点在梯形内部时，如图3-2中，当点P在梯形外部时，分别构建方程求解即可【解析】解：（1）如图1中，AB
