1、第5单元数学广角鸽巢问题一、选择题（每题2分，共10分）1箱子中有质地、型号完全相同的红、黄、白三种颜色的袜子各8只。至少拿出（）只，可以保证凑成两双颜色不相同的袜子。A5B8C112把7支铅笔放进三个笔盒里，总有一个笔盒至少放进（）支笔。A2B3C43书架分上、中、下三层，婷婷把新买的10本书放入书架，放书最多的一层至少要放入（）本书。A2B3C44教室里有10名学生正在做作业，今天有语文、数学和英语三科作业，总有一科作业至少有（）名学生在做。A3B4C55给一个正方体木块的6个面分别涂色，颜色从红、黄、蓝、绿四种中选择一种或几种。不论怎么涂，至少有（）个面涂的颜色相同。A2B3C4二、判断
2、题（每题1分，共5分）6某次智力竞赛有8个学生参加，总分是737分，则至少有一个学生的得分不低于95分。( )7在由4张，4张，4张，4张组成的一堆牌中，要保证抽出一张，至少要抽4张。( )8把10本书放进8个抽屉中，总有一个抽屉至少放进2本书。( )923名同学分到5个班，至少有5名同学是一个班级的。( )10盒子里有同样大小的红球和黄球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出4个球。( )三、填空题(共19分)11不透明袋子中有三种不同颜色的玻璃球各5个，除颜色外其他完全相同，至少要摸出( )个球才能保证有2个同色的；至少要摸出( )个球才能保证有2个不同色的。12有4只鸽子，要飞
3、进3个鸽巢里，至少有( )只鸽子飞进同一个鸽巢里；如果有9只鸽子飞进4个鸽巢，至少有( )只鸽子飞进同一个鸽巢里。13“六一”儿童节那天，幼儿园买来了许多的苹果、桃子、桔子和香蕉，每个小朋友可以任意选择两种不同水果，那么至少要有_个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的；如果每位小朋友拿的两个水果可以是同一种，那么至少要有_个小朋友才能保证两人拿的水果是相同的。14这个学期的数学广角我们学习了鸽巢问题，鸽巢问题在数学和生活中均有广泛的应用。如“在13名小学生中至少有2名在同一个月份出生。”这个判断中，13名小学生的出生月份就相当于鸽巢问题中的鸽子，( )就相当于鸽巢问题中的鸽笼。15(4分)一副
4、扑克牌去掉所有的花牌（包括大王、小王和J、Q、K）后一共40张。现在把这些牌打乱。(1)任取( )张，才能保证至少有2张牌上的数是奇数或者2张牌上的数是偶数。(2)任取( )张，才能保证至少有2张相同花色的牌。(3)任取( )张，才能保证至少有1个对子。(4)任取( )张，才能保证至少有1张红桃。16在上面的卡片中，至少抽取( )张才能保证抽到的卡片中一定有奇数。任意抽取8张，至少有( )张卡片上的数是偶数。17六（1）班组织课外读书活动，共有50人报名参加，那么至少要准备( )本图书，才能保证有1人至少能拿到3本书。18六（1）班共有45名同学，这个班里至少有( )名同学的生日在同一月份；男
5、、女生人数比是54，随机选取，至少选( )人才能保证选出的人中男女生都有。19六（1）班40名学生到图书室借书，图书室有科技、历史和文艺三种书。他们都借这三种书的其中一种、两种或三种。六（1）班至少有( )人所借图书是相同的。20六年级有100名同学订阅A、B、C三种杂志。如果他们都只订阅了其中一种，至少有( )名同学订阅的杂志种类相同；如果他们订阅了其中的一种或两种杂志，至少有( )名同学订阅的杂志种类相同。四、计算题(共6分)21(6分)解方程。五、作图题(共6分)22(6分)在圆圈中画，把这个放在两个信封里，不管怎么放，总有一个信封里至少有4个。六、解答题(共54分)23(6分)实验小学
6、合唱队有60人，年龄最大是12岁，年龄最小是6岁，他们当中至少有几人的年龄相同？24(6分)从120这20个自然数中，至少要取出几个不同的数，才能保证其中一定有一个数是2的倍数？25(6分)六（2）班有48人，每人至少订一份刊物，现有甲、乙、丙三种刊物，每人有几种选择方式？这个班订相同刊物的至少有多少人？26(6分)红、黄、蓝三种颜色的球各6个，混合后放在一个布袋里，一次至少摸出几只，才能保证有两只是同色的？27(6分)王老师借来了历史、文艺和科普三种书若干本每个同学从中任意借一本或两本，那么至少要几个同学借阅才能保证一定有两人借的图书一样？28(6分)14本书借给4位小朋友，借书最多的一位小
7、朋友最少可以借到多少本书？29(6分)7个小朋友相约去看电影，共有哈利波特、驯龙高手、功夫熊猫三部电影可选择，每个小朋友可选一个电影组合（不重复的两部电影）观看，至少有几个小朋友选的电影组合相同？30(6分)7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。8本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进（）本书。10本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进（）本书。解答：因为：73218（）10（）31(6分)有红、绿、紫三种颜色的袜子各6只，把它们混放在一个口袋中。如果要从口袋中摸袜子。至少要摸出几只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双）？至少要摸出多少只，
8、才能保证摸出两双颜色相同的袜子？参考答案1C【分析】从最不利的情况考虑，如果取出的头8只袜子是同一种颜色，再取2只是剩下的两种颜色的各一只，然后再取1只，可以保证凑成两双颜色不相同的袜子，据此解答即可。【详解】82111（只）至少拿出11只，可以保证凑成两双颜色不相同的袜子。故答案为：C【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。2B【分析】把7枝铅笔放进3个笔盒中，732（支）1（支），即平均每个笔盒放2支，还余1支，根据抽屉原理可知，总有一个笔盒里至少放213支。【详解】732（支）1（支）213（支）所以总有一个笔盒至少放进3支笔。故答案为：B【点睛】在此
9、类抽屉问题中，至少数物体数除以抽屉数的商1（有余数的情况下）。3C【分析】把上、中、下三层看作3个抽屉，把新买的10本书看作10个元素，那么每个抽屉需要放（本）1（本），所以每个抽屉需要放3本，剩下的1本不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：314（本），所以，放书最多的一层至少要放入4本书；据此解答。【详解】（本）1（本）（本）故答案为：C【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，根据抽屉原理进行解答即可。4B【分析】根据题意，把10名学生看作被分配的物体数，三科作业看作3个抽屉，平均每个抽屉先放3名学生，还剩下1名学生，无论放在哪个抽屉，总有一个抽屉至少有（31）名学生在做。【详解】1033（名）1
10、（名）314（名）故答案为：B【点睛】本题是鸽巢问题，采用最不利原则来解题。5A【分析】把正方体的六个面看作6个被分放物体，四种颜色看作4个抽屉，被分放物体的数量抽屉的数量平均每个抽屉分放物体的数量剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量平均每个抽屉分放物体的数量1，据此解答。【详解】641（个）2（个）112（个）所以，至少有2个面涂的颜色相同。故答案为：A【点睛】本题主要考查利用抽屉原理解决实际问题，准确找出抽屉数和被分放物体数是解答题目的关键。6【分析】用总分除以人数，求出商，再用商加1就是所求的至少数。【详解】（分）1（分）（分）则至少有一个学生的得分不低于93分，所以原题说法错误
11、。故答案为：【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握鸽巢问题的计算方法。7【分析】解答此题要考虑最差情况：假设4张，4张，4张全部抽出，一共抽了12张，此时再任意抽取一张，必定是，据此即可判断。【详解】由分析可知：43112113（张）则要保证抽出一张，至少要抽13张。原题干说法错误。故答案为：【点睛】此题主要考查抽屉原理的灵活应用，要注意考虑最差情况。8【分析】把10本书放进8个抽屉中，1081（本）2（本），即平均每个抽屉放入1本后，还余2本书没有放入，因为是至少，剩下的2本书不可能同时放到1个抽屉里，即至少有一个抽屉里要放进112（本）书。【详解】1081（本）2（本）112（本）
12、所以说总有一个抽屉至少会放进2本书。原题说法正确。故答案为：【点睛】用抽屉问题解决简单实际问题的关键：把什么当做抽屉、把什么当做要放的物体。9【分析】把5个班看作5个抽屉，把23名同学看作23个元素，那么每个抽屉需要放4个元素，还剩余3个，因此至少有5名同学是一个班级的，据此解答即可。【详解】2354（名）3（名）415（名）即至少有5名同学是一个班级的，所以原题说法正确。故答案为：【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。10【分析】要想摸出的球一定有2个同色的，根据最不利原则，当摸出2个球的时候，红、黄两种颜色的球各一个，此时只要再任意摸出一个球，摸出的球
13、一定有2个同色的，所以至少要摸（21）个球。【详解】213（个）要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出3个球。原题说法错误。故答案为：【点睛】本题考查鸽巢问题，采用最不利原则进行分析是解题的关键。11 4 6【分析】采用最不利原则，每种颜色的球都摸出了1个，共摸了3个，这时再摸一个，就能保证有2个同色的球；采用最不利原则，一种颜色的球全部摸完，共摸了5个，这时再摸一个，就能保证有2个不同色的球。【详解】314（个）至少要摸出4个才能保证有2个同色的；516（个）至少要摸出6个球才能保证有2个不同色的。【点睛】本题是鸽巢问题，采用最不利原则（运气最差原则）来解题。12 2 3【分析】被分放物体
14、的数量抽屉的数量平均每个抽屉分放物体的数量剩下物体的数量，每份抽屉至少分放物体的数量平均每个抽屉分放物体的数量1，据此解答。【详解】（1）4311112（只）所以，至少有2只鸽子飞进同一个鸽巢里。（2）9421213（只）所以，至少有3只鸽子飞进同一个鸽巢里。【点睛】准确找出被分放物体的数量和抽屉的数量是解答题目的关键。13 7 11【分析】根据题意，有4种水果，每个小朋友任意选择两种，则有4（41）26（种）选择方法，最差情况是小朋友选择的水果都不相同，此时只要有一个小朋友再任意选择两种水果，就能保证有两人选的水果是一样的；如果每位小朋友拿的两个水果可以是同一种，有6410（种）不同的拿法，
15、所以至少要有10111（个）小朋友才能保证两人拿的水果是相同的。【详解】4（41）24326（种）617（个）6410（种）10111（个）则每个小朋友可以任意选择两种不同水果，那么至少要有7个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的；如果每位小朋友拿的两个水果可以是同一种，那么至少要有11个小朋友才能保证两人拿的水果是相同的。【点睛】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数元素的总个数抽屉的个数1（有余数的情况下）”解答。14一年中的12个月份或112月【分析】抽屉原理关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行
16、计算。【详解】“在13名小学生中至少有2名在同一个月份出生。”这个判断中，13名小学生的出生月份就相当于鸽巢问题中的鸽子，一年中的12个月份或112月就相当于鸽巢问题中的鸽笼。【点睛】关键是掌握鸽巢问题的解题原理，构造物体和抽屉。15(1)3(2)5(3)11(4)31【分析】（1）如果前2次各取出一张奇数一张偶数，那么再取出一张无论是什么牌，都能保证至少有2张牌上的数是奇数或2张牌上的数是偶数；（2）一共4种花色，从最不利的情况考虑，如果前4张的花色各不相同，那么再取出1张才能保证至少有2张相同花色的牌；（3）从最不利的情况考虑，如果前10张牌取出的点数分别是1、2、3、4、5、6、7、8、
17、9、10，那么再取出1张无论是几点，都能保证至少有1个对子；（4）每种花色各有10张，从最不利的情况考虑，如果前30张取出的都不是红桃（也就是剩下的10张都是红桃），那么再取出1张才能保证至少有1张红桃。(1)213（张）(2)415（张）(3)10111（张）(4)103130131（张）【点睛】本题主要考查鸽巢原理，从最不利情况思考问题是解答题目的关键。16 6 3【分析】考虑最倒霉的情况，抽取的前5张都是偶数，再抽一张一定是奇数；如果将所有的奇数都抽中，剩下的无论抽取几张都是偶数，据此分析。【详解】奇数有1、3、5、7、9，共5个，偶数有2、4、6、8、10，也有5个。516（张）853
18、（张）【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行分析。17101【分析】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中nm，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k1个物体。（2）当n能被m整除时，k个物体。根据（1）中关系，则有n（k1）m1，将k3，m50代入，求出n的值即可。【详解】（31）50125011001101（本）【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。18 4 26【分析】在此类抽屉问题中，至少数被分配的物体数除以抽屉数的商1（有余数的情况下）。在本题中，被分配的物体数是45，抽屉
19、数是12，据此计算即可；男、女生人数比是54，把比看作份数，总份数是9，则男生人数有（4595）人，至少选取男生人数多一人，才能保证选出的人中男女生都有。【详解】45123（人）9（人）314（人）45（45）545955525（人）25126（人）【点睛】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据至少数元素的总个数抽屉的个数1（有余数的情况下）解答。196【分析】每人都借一种书有3种借法，借两种书有3种借法，借三种书有1种借法，所以共有1337种借法，则共有7个抽屉，40名学生是40个元素，根据抽屉原理解答即可。【详解】1337（种）4075（人
20、）5（人）516（人）【点睛】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数元素的总个数抽屉的个数1（有余数的情况下）”解答。20 34 17【分析】（1）如果他们都只订阅了其中一种，则有A、B、C三种订阅方式；用除法求出100里有多少个3，商是33，还余1名同学，那么这1名同学无论订阅哪种杂志，都会出现有一种杂志至少有（331）名同学订阅；（2）如果他们订阅了其中的一种或两种杂志，则会出现A、B、C、AB、AC、BC，一共6种不同的订阅方式；用除法求出100里有多少个6，商是16，还余4名同学，那么这4名同学无论选取哪种订阅方式，都会出现有一
21、种杂志种类至少有（161）名同学订阅。【详解】（1）100333（名）1（名）33134（名）如果他们都只订阅了其中一种，至少有34名同学订阅的杂志种类相同；（2）如果他们订阅了其中的一种或两种杂志，共有6种不同的订阅方式；100616（名）4（名）16117（名）如果他们订阅了其中的一种或两种杂志，至少有17名同学订阅的杂志种类相同。【点睛】本题考查鸽巢问题，采用最不利原则来解题。21；【分析】对于比例方程，可以根据比例的基本性质，先转化成一般的方程，再根据等式的性质解方程。【详解】22见详解【分析】至少数被分配的物体数除以抽屉数的商1（有余数的情况下）；本题中，抽屉数是2，不管怎么放，总有
22、一个信封至少有4个，则被分配的物体数是2（41）1，据此求出的数量，画图即可。【详解】2（41）1231617（个）【点睛】本题考查抽屉原理的应用，要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数。239人【分析】6到12岁有6岁、7岁、8岁、9岁、10岁、11岁、12岁，共7种不同的年龄，每种年龄对应8人，余4人，根据抽屉原理，至少有81人年龄相同。【详解】6078（人）4（人）819（人）答：他们当中至少有9人的年龄相同。【点睛】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数元素的总个数抽屉的个数1（有余数的情况下）”解答。2411个【
23、分析】120中2的倍数有：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，共10个2的倍数，不是2的倍数有：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，共10个不是2的倍数，最不利的情况是取出的前10个都不是2的倍数，再取一个一定是2的倍数。【详解】10111（个）答：至少要取出11个不同的数。【点睛】本题考查了抽屉原理，抽屉原理的解答思路，从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数。257种选择方式；7人【分析】现有甲、乙、丙三种刊物，每人至少订一份刊物，则有甲、乙、丙、甲乙、甲丙、乙丙、甲乙丙7种选择方式。7种选择方式看作7个“抽屉”，48看作“物体个数”，根据抽屉原理4
24、876人6人，这个班订相同刊物的至少有617人。【详解】有甲、乙、丙、甲乙、甲丙、乙丙、甲乙丙7种选择方式。4876（人）6（人）617（人）答：有7种选择方式。这个班订相同刊物的至少有7人。【点睛】此题要理清什么是“抽屉”，什么是“物品”，解题的关键是制造“抽屉”，确定假设的“物品”，根据“抽屉少，物品多”转化为抽屉原理来解。26一次至少摸出4个【分析】把3种不同颜色看作3个抽屉，把不同颜色的球看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放1个球，共需要3个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的球和它同色，所以至少要取出：3+1=4（个），据此解答。【详解】3+1=4（个）；答：一次至少摸出
25、4个，才能保证有两个是同色的。2710个【分析】每个学生从中任意借1本，有3种借法，借两本，那么一共有6种借法：历史两本、文艺两本、科普两本、历史和文艺各一本、历史和科普各一本、文艺和科普各一本；所以一共有3+6=9种不同的借法，把9种借法看作9个抽屉，把学生数看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放1个元素，共需要9个，再取出1个不论是哪一种借法，总有一个抽屉里和他相同，所以至少要有：9+1=10（个），据此解答。【详解】每个学生从中任意借两本，那么一共有9种借法：只借1本，有三种情况；借两本：历史两本、文艺两本、科普两本、历史和文艺各一本、历史和科普各一本、文艺和科普各一本，9+1=10（
26、个）；答：那么至少要10个学生才能保证一定有两人接到的图书是一样的。284本【分析】根据题意，先把14本书平均分给4位小朋友，每位小朋友分得3本，还剩下2本，这2本书无论分给谁，都有一位小朋友至少借到了4本书。【详解】1443（本）2（本）314（本）答：借书最多的一位小朋友最少可以借到4本书。【点睛】本题考查鸽巣问题，用最不利原则来解题。293个【分析】先列出所有可能的两组电影组合，再用抽屉原理将7个小朋友分配。【详解】每个小朋友的观影方式有3种：哈利波特和驯龙高手、哈利波特和功夫熊猫、驯龙高手和功夫熊猫，相当于3个抽屉。将7个小朋友看成苹果，根据平均分配的思想：732（个）1（个），根据抽
27、屉原理：213（个）。答：至少有3个小朋友选的电影组合相同。【点睛】本题考查抽屉原理。303；4；8322；10331【分析】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中nm，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k1个物体。（2）当n能被m整除时，k个物体。【详解】8322103318本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。10本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进4本书。【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。314只；10只【分析】要求至少要摸出几只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双），要
28、考虑到各种可能性的发生，因为有红、绿、紫三种颜色，有可能摸出3只都不能保证摸出一双袜子，因为有可能这三种颜色各1只，所以至少要摸出4只，才能保证摸出一双袜子。要求至少要摸出多少只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子，从最极端情况分析：假设前9次摸出的是红、绿、紫三种颜色的袜子各3只，这时再摸出1只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子。【详解】因为有可能摸出3只袜子时，这三种颜色各1只，所以至少要摸出4只，才能保证摸出一双袜子。答：至少要摸出4只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双）。（只）答：至少要摸出10只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子。【点睛】此题主要考查了抽屉原理的应用，要熟练掌握，解答此题应从最极端情况进行分析。
