1、杭州“六县九校”联盟2021-2022学年高二下期中联考数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知直线与直线平行，则实数（ ）A. B. 3C. 5D. 或33. 第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕为保证冬奥会顺利进行，组委会需要提前把各项工作安排好现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，每天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，则不同的安排方法有（ ）A. 840种B. 140种C. 420种D. 210种4. 的二项展开式中第4项的系数为（ ）A. -80B. -40C. 40D. 805. 函数
2、的图像可能是（ ）A. B. C. D. 6. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A. 3盏B. 7盏C. 9盏D. 11盏7. 已知双曲线右顶点为A，若以点A为圆心，以b为半径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）A. B. C. D. 8. 在正方体中，E是侧面内动点，且平面，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是A. B. C. D. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出
3、的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9. 已知函数，下列关于的说法正确的是（ ）A. 定义域是B. 值域是C. 图象恒过定点D. 当时，在定义域上是增函数10. 古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律图2（正八边形ABCDEFGH）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如图2的平面直角坐标系，设，则下列正确的结论是（ ）A. B. 以射线OF为终边的角的集合可以表示为C. 点O为圆心、OA
4、为半径的圆中，弦AB所对的劣弧弧长为D. 正八边形ABCDEFGH的面积为11. 已知圆的方程为，过第一象限内的点作圆的两条切线、，切点分别为、，下列结论中正确的有（ ）A. 直线的方程为B. 四点、共圆C. 若在直线上，则四边形的面积有最小值2D. 若，则的最大值为12. 对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的有（ ）A. 函数的图象关于y轴对称B C. 函数的图象与轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等D. 对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减，且三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知复数满足，那么_.14. 抛物线的准线截圆所得弦长为2，则抛物线的焦点坐
5、标为_15. 已知函数在上图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为，当时，有不等式成立，若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为_.16. 数列的前项n和为，满足，且，则_四、解答题（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 良好的体育锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益.某校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全体学生中随机抽取了200名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图.将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼达标，将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼不达标.（1）估计这200名学生每天课外体育锻炼时间的中
6、位数与平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在上述锻炼达标的学生中按分层抽样的方法抽取8名，再从这8名同学中随机抽取2名，求这两名同学中至少有一名每天体育锻炼时间在的概率.18. 已知（1）求函数的对称中心和单调增区间；（2）将函数的图象上的各点_得到函数的图象，当时，方程有解，求实数a的取值范围在以下、中选择一个，补在（2）的横线上，并加以解答，如果、都做，则按给分向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来一半；纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再向右平移个单位19. 已知等差数列的公差为正数，其前n项和为，数列为等比数列，且，（1）求数列与的通项公式；（2）
7、求数列的前n项和20. 如图,在四棱锥中,平面,为线段上一点不在端点.(1)当为中点时，求证：面(2)当为中点时，是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由.21. 已知椭圆的离心率为，圆与轴相切，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，是否存在直线使的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.22. 已知函数，.（1）求的最大值；（2）若对，总存在使得成立，求的取值范围；（3）证明不等式.杭州“六县九校”联盟2021-2022学年高二下期中联考数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.
8、 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求解不等式可得集合，根据对数函数的定义可得集合B，进而求解.【详解】因为，所以，则，因为，所以，则，所以，故选：B2. 已知直线与直线平行，则实数（ ）A. B. 3C. 5D. 或3【答案】A【解析】【分析】根据有斜率的两条直线平行的条件列式可解得结果.【详解】当时，显然不符合题意，所以，由得，由得，所以，解得故选：A【点睛】本题考查了两条直线平行的条件，属于基础题.3. 第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕为保证冬奥会顺利进行，组委会需要提前把各项工作安排好现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，每
9、天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，则不同的安排方法有（ ）A. 840种B. 140种C. 420种D. 210种【答案】C【解析】【分析】使用特殊元素法，直接计算即可.【详解】由题可知：甲两天，乙三天，丙和丁各一天所以不同的安排方法有种故选：C4. 的二项展开式中第4项的系数为（ ）A. -80B. -40C. 40D. 80【答案】B【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】的二项展开式中第4项为，所以所求系数为. 故选：B5. 函数的图像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由奇偶性排除CD，由特殊值排除B，从而得出正确答案.详解】令，则
10、函数为奇函数，故CD错误当时，则当时，则则，即由可知，函数的第一个正零点为，故B错误；故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于判断出是函数的第一个正零点，从而由得出答案.6. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A. 3盏B. 7盏C. 9盏D. 11盏【答案】A【解析】【分析】设塔的顶层共有盏灯，则数列公比为2的等比数列，利用等比数列前项和公式能求出结果【详解】解：设塔的顶层共有盏灯，则数列公比为2的等比数列，解得，即
11、塔的顶层共有灯3盏.故选：A7. 已知双曲线的右顶点为A，若以点A为圆心，以b为半径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】（）中设，应用余弦定理得关于的方程，由于，故此方程的两解即为的长，应用韦达定理得，由向量得，三式变形得出关于的等式，变形后可求得离心率【详解】设渐近线是，记，则，所以，设，在中，所以，即，由于，因此上述方程的两解就是，又，不妨记，又，则，所以，所以，则，解得或又，所以故选：C8. 在正方体中，E是侧面内动点，且平面，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析
12、】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系利用向量法求出直线与直线AB所成角正弦值的最小值【详解】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为1，设0，1，1，0，1，1，1，设平面的法向量y，则，取，得，平面，解得，设直线与直线AB所成角为，1，直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是故选B【点睛】本题考查线线角的正弦值的最小值的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，函数与方程思想，是中档题二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得
13、2分）9. 已知函数，下列关于的说法正确的是（ ）A. 定义域是B. 值域是C. 图象恒过定点D. 当时，在定义域上是增函数【答案】ABC【解析】【分析】根据对数型复合函数的性质依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，解得，所以定义域是，故正确；对于B选项，由对数函数的性质得值域是，故正确；对于C选项，函数恒过定点，故正确；对于D选项，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，故根据复合函数单调性得当时，在定义域上是减函数，故错误；故选：ABC10. 古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中
14、有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律图2（正八边形ABCDEFGH）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如图2的平面直角坐标系，设，则下列正确的结论是（ ）A. B. 以射线OF为终边的角的集合可以表示为C. 点O为圆心、OA为半径的圆中，弦AB所对的劣弧弧长为D. 正八边形ABCDEFGH的面积为【答案】ABC【解析】【分析】正八边形的八个内角相等，则一个内角为，对A，由，根据向量的数量积即可判断；对B，结合终边相同的角的定义即可判断；对C，由弧长公式判断即可；对D，求得的面积，进而得到正八边形的面积，即可判断.【详解】由题意可得，正八边形的八个内角相等，
15、则一个内角为，因为，所以，所以A正确；因为，所以以射线为终边的角的集合可以表示为，所以B正确；对于C，因为，半径为1，所以弦所对的劣弧弧长为，所以C正确；对于D，因为，所以正八边形的面积为，所以D错误，故选：ABC11. 已知圆的方程为，过第一象限内的点作圆的两条切线、，切点分别为、，下列结论中正确的有（ ）A. 直线的方程为B. 四点、共圆C. 若在直线上，则四边形的面积有最小值2D. 若，则的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】设，得切线方程，代入点坐标后，根据直线方程的意义得出方程判断A，由切线与过切点的半径垂直判断B，求出四边形的面积和，得出与直线垂直时，面积最小，求出圆心到直线的距
16、离即可得从而判断C，由数量积的定义得出，再由基本不等式可得最大值，从而判断D【详解】设，时，切线方程为，时，切线方程为，时，因此，切线方程为，又，或的切线方程也满足此方程同理设，切线方程是，而在两切线上，所以，因此直线的方程是，A正确；由，因此可得，所以四点、共圆，B正确；由四边形的性质知其面积等于，要使得切线长最小，则最小，即为到直线的距离，因此面积最小值为，C错误；由，用得，所以，所以，由基本不等式知，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值是D正确、故选：ABD12. 对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的有（ ）A. 函数的图象关于y轴对称B. C. 函数的图象与轴有无穷多个交点，且
17、每相邻两交点间距离相等D. 对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减，且【答案】ABD【解析】【分析】由函数奇偶性定义判断可知A正确；构造函数，求导判断单调性，进而求得最值可判断B；由的图象与轴的交点坐标为且可判断C；求导分析时成立的情况，即可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】对于A：因为函数的定义域为，所以为偶函数，图象关于轴对称，故选项A正确；对于B：由A知为偶函数，当时，若即只需证，令，因为，所以，所以在上单调递增，所以，即，所以恒成立，故选项B正确；对于C：令，可得，所以函数的图象与轴的交点坐标为且，交点与间的距离为，而其余任意相邻两点之间的距离为. 故选项C错误；对于D：，即，即
18、，当时，区间长度为，所以对于任意常数，存在常数，使在上单调递减且，故选项D正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知复数满足，那么_.【答案】【解析】【详解】试题分析：因,故答案为:.考点：复数及运算14. 抛物线的准线截圆所得弦长为2，则抛物线的焦点坐标为_【答案】(1，0)【解
19、析】【分析】根据标准方程写出准线方程，化圆的一般方程为标准形式，得出圆心和半径，利用弦长公式得到关于p的方程，求得p的值，进而得到焦点坐标.【详解】抛物线的准线为，把圆化成标准方程为，得圆心，半径，圆心到准线的距离为，所以，即，所以焦点坐标为【点睛】本题考查求抛物线的标准方程中的参数问题进而求焦点坐标，涉及抛物线的准线和圆的弦长问题，难度较易.15. 已知函数在上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为，当时，有不等式成立，若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为_.【答案】【解析】【分析】令先判断函数g(x)的奇偶性和单调性，得到在R上恒成立，再利用导数分析解答即得解.【详解】
20、因为当时，有不等式成立，所以，令所以函数g(x)在（0，+）上单调递增，由题得所以函数g(x)是奇函数，所以函数在R上单调递增.因为对，不等式恒成立，所以，因为a0,所以当x0时，显然成立.当x0时，所以，所以函数h(x)在（0,1）单调递减，在（1，+）单调递增.所以，所以ae,所以正整数的最大值为2.故答案为2【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及其应用，考查函数单调性的判断及其应用，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于中档题.16. 数列的前项n和为，满足，且，则_【答案】【解析】【分析】由，得到，利用裂项相消法，即可求得.【详解】由题
21、意，数列满足，可得，所以+，故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 良好的体育锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益.某校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全体学生中随机抽取了200名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图.将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼达标，将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼不达标.（1）估计这200名学生每天课外体育锻炼时间的中位数与平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在上述锻炼达标的学生中按分层抽样的方法抽取8名，再从这8名同学中随机抽取2名，求这两
22、名同学中至少有一名每天体育锻炼时间在的概率.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图计算中位数与平均数；（2）根据古典概型概率公式计算即可.【详解】解：（1）设中位数为，则，；（2）根据题意可得，抽取的8名同学中，时间在的有6名，记为，时间在的有名，记为，从8名同学中随机取2人的基本事件为，共个，记事件为两名同学中至少有一名每天体育锻炼时间在，则包含的基本事件个数有个，所以.18. 已知（1）求函数的对称中心和单调增区间；（2）将函数的图象上的各点_得到函数的图象，当时，方程有解，求实数a的取值范围在以下、中选择一个，补在（2）的横线上，并加以解答，如果、都做，则按给
23、分向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再向右平移个单位【答案】（1）对称中心是，；单调增区间为， （2）【解析】【分析】（1）化简，根据正弦型函数的性质即可求解；（2）选可得，结合余弦型函数性质可得的范围，即可求得的范围；选可得，结合正弦型函数性质可得的范围，即可求得的范围.【小问1详解】因为令，则，故函数的对称中心是，；令，则，所以单调增区间为，【小问2详解】选，则可得，当时，则，所以，若方程有解，则.选，则可得，当时，则，所以，若方程有解，则.19. 已知等差数列的公差为正数，其前n项和为，数列为等比数列，且，（1）求数列与的通
24、项公式；（2）求数列的前n项和【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）结合等比数列的通项公式及等差的前项和可得，即可求解；（2）由（1）可知，利用错位相减法即可求解.【小问1详解】由题，设等差数列的公差为，等比数列公比为 ，所以，因为，所以，解得：，所以，.【小问2详解】由（1）得：，所以，则，两式作差得：，所以.20. 如图,在四棱锥中,平面,为线段上一点不在端点.(1)当为中点时，求证：面(2)当为中点时，是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【解析】【分析】（1）法一：建立空间直角坐标系，找坐标，利用直
25、线的方向向量与平面的法向量垂直，证明即可.法二：取BP的中点E，连接，则，根据线面平行的判定定理证明即可.（2）假设存在点M，根据，求点M的坐标，求平面的法向量为，根据，求解，即可.【详解】(1)方法一：证明：因为平面，平面.所以.又，所以，两两垂直. 分别以、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，.显然平面的法向量为，则又不在平面内，所以平面.方法二：取的中点，连接，由为的中点，可知在平面四边形中，即，所以，即由已知得所以，四边形是平行四边形，所以因为平面，平面所以平面(2)假设存在点M使得与平面所成角的正弦值为则，所以为中点，则，即设平面的法向量为，不妨设，则设线面角为，则解得或1（
26、舍去）时，直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查线面平行的证明，以及根据线面角的正弦值确定动点位置，考查了空间向量法的应用，考查了运算能力，属于较难题.21. 已知椭圆的离心率为，圆与轴相切，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，是否存在直线使的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1） （2）存在，或或或【解析】【分析】（1）根据圆与轴相切可得，再结合离心率即可求出椭圆的方程；（2）设直线，与椭圆联立，利用韦达定理以及求出面积，然后解方程即可.【小问1详解】因为圆与轴相切，所以所以，又，所以，所以椭圆；【小问2详解】由（
27、1）可知椭圆的右焦点为，当直线的斜率为时，显然不适合题意；当直线的斜率不为时，设直线，联立，恒成立，所以，则所以令，解得或，即得或所以符合条件的直线方程分别为或或或.22. 已知函数，.（1）求的最大值；（2）若对，总存在使得成立，求的取值范围；（3）证明不等式.【答案】（1）0；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的单调区间，从而可求出函数的最大值，（2）将问题转化为，然后通过讨论确定每段区间上函数的单调性和最值，（3）先通过观察凑出所要证明的表达式的形式，再利用等比数列的求和公式求和，最后通过放缩法得到结论【详解】（1）由，得，当时，当时，所以在上递增，在上递减，所以当时，取得最大值，即.（2）对，总存在使得成立，等价于，由（1）可知，问题转化为即在有解，即在有解，.（3）由（1）知：，令，则，即，也即，.得证.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，利用导数解决不等式恒成立问题，考查放缩法证明不等式，解题的关键是由（1）的结果可得，取，则，从而可得，然后给取值，结放缩法可证得结论，考查数学转化思想，属于较难题
