1、江苏省扬州市江都区2021-2022学年高二下期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 下列导数运算正确的是（ ）A. B. C. D. 2. 随机变量的分布列为XP则（ ）A. B. C. D. 3. 如图，在平行六面体中，为和的交点，若，则下列式子中与相等的是（ ）A. B. C. D. 4. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）A. B. C. D. 5. 已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则（ ）A. B. C. D. 6. 我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重
2、卦.共有多少种重卦.（ ）A. 12B. 16C. 32D. 647. 的展开式中的系数是（ ）A. B. C. D. 8. 如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，点为棱上一点，满足，下列结论错误的是（ ）A. 平面平面；B. 点到直线的距离；C. 若二面角的平面角的余弦值为，则；D. 点A到平面的距离为二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 下列各式正确的是A B. C. D. 10. 关于的二项展开式中，则下列说法正确的是A. 常数项为B. 各项系数之和为C. 奇数
3、项的二项式系数和为D. 二项式系数最大的项为11. 下列命题中正确的是（ ）A. 已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底B. 若两个不同平面，的法向量分别是，且，则C. 已知三棱锥，点为平面上一点，且，则D. 已知，则向量在上投影向量的模长是12. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则（ ）A. B. C. 事件与事件相互独立D. 是两两互斥事件三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分13. 若，则
4、_14. 2022年4月20日是星期三，经过天后是星期_15. 志愿服务是办好年北京冬奥会的重要基础与保障年月日志愿者全面上岗服务，现有名志愿者要安排到个服务站点参加服务，每名志愿者只能安排到一个站点，每个站点至少安排一名志愿者，则不同的安排方案共有_种16. 已知，若在不是单调函数，则实数的取值范围为_若任意都有，则实数的取值范围为_四、解答题：本题共6小题，共计70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知的展开式满足 二项式系数之和为，含项的系数为80，第三项与第四项二项式系数相等从这三个条件中选择两个合适的条件补充到横线处，求解下列问题（1）求的值；（2）求展开式中含项的系
5、数18. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点（1）求证：/平面；（2）求与平面所成角的正弦值19. 在全国防控疫情阻击战关键阶段，校文艺团排练了个演唱节目，个舞蹈节目参加社区慰问演出（结果用数字作答）（1）若从个节目中选个参加市演出汇报，求3个节目中恰有1个舞蹈节目的选法种数；（2）现对个节目安排演出顺序，求个演唱节目接在一起的概率；（3）现对个节目安排演出顺序，求节目甲不在第一个且不在最后一个演出的概率20. 某校组织“创建文明城区”知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的学生先在两类问题中选择一类，然后从所选类别的问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再
6、随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，比赛结束类问题回答正确得30分，否则得0分；类问题回答正确得10分，否则得0分已知小明同学能正确回答类中的每一个问题的概率均为0.5，能正确回答类中的每一个问题的概率均为0.8，且能正确回答问题的概率与回答次序无关（1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列和数学期望；（2）为使累计得分期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由21. 如图，四边形与均为菱形，直线平面，点为与的交点，且（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角 的余弦值22. 设函数（1）当时，求在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若关于的方程有两个不等的
7、实根，求实数的取值范围江苏省扬州市江都区2021-2022学年高二下期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 下列导数运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据初等函数的导数公式和导数的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】根据初等函数的导数公式和导数的运算法则，可得：对于A中，所以A不正确；对于B中，所以B正确；对于C中，所以C不正确；对于D中，所以D不正确.故选：B.2. 随机变量的分布列为XP则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据分布列的性质求得a的值，即可求得答案.【详解】由题意可得： ，故，故选：C3.
8、 如图，在平行六面体中，为和的交点，若，则下列式子中与相等的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的加减运算，表示出向量，即得答案.【详解】 ,故选;A4. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.【详解】对于A，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，则，当时，与图象不符，排除C.故选：D.5. 已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则（ ）A. B. C. D.
9、【答案】A【解析】【分析】由得，由此可求得.【详解】，.故选：A.6. 我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.共有多少种重卦.（ ）A. 12B. 16C. 32D. 64【答案】D【解析】【分析】按照分步乘法计数原理，即可求出【详解】因为每一行都有2个爻供选择，根据分步乘法计数原理，所以六行共可组成种重卦故选：D【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理的应用，属于容易题7. 的展开式中的系数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用展开式的通项，分别写出各项的系数，然后求和.【详解】展开式中，
10、的系数为，于是本题中的系数是故选：B.8. 如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，点为棱上一点，满足，下列结论错误的是（ ）A. 平面平面；B. 点到直线的距离；C. 若二面角的平面角的余弦值为，则；D. 点A到平面的距离为【答案】D【解析】【分析】A选项，作出辅助线，证明出ACBC，结合平面可得线线垂直，从而证明线面垂直，最后证明出面面垂直；B选项，求出点P到直线CD的距离即为PC的长度，利用勾股定理求出答案；C选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解；D选项，过点A作AHPC于点H，证明AH的长即为点A到平面的距离，求出AH的长.【详解】A选项，因为平面，平面，所
11、以CD， 故PBA即为与底面所成的角，因为，所以PA=AB=1，因为，取AD中点F，连接CF，则AF=DF=AB=CF=BC，则四边形ABCF为正方形，FCD=FCA=45，所以ACCD，又因为，所以CD平面PAC，因为CD平面PCD，所以平面平面PCD，A正确；由A选项的证明过程可知：CD平面PAC，因为平面PAC所以CDPC，故点P到直线CD的距离即为PC的长度，其中由勾股定理得：，B正确；以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，其中平面ACD的法向量为，设平面ACE的法向量为，则，令得：，所以，设二面角的平面角为，显然，其中，解
12、得：或，因为，所以，C正确；过点A作AHPC于点H，由于CD平面APC，平面APC，所以AHCD，因为，所以AH平面PCD，故AH即为点A到平面PCD的距离，因为PAAC，所以，D选项错误故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 下列各式正确的是A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】A选项，由阶乘的定义可判断正确；B选项，由排列数的计算公式可判断错误；C选项，由公式可得错误；D选项，由组合数的计算公式可判断正确.【详解】A选项，A正确；B选项，B错误；C选项，C错误；D
13、选项，D正确.故选：AD10. 关于的二项展开式中，则下列说法正确的是A. 常数项为B. 各项系数之和为C. 奇数项的二项式系数和为D. 二项式系数最大的项为【答案】AC【解析】【分析】对A，根据二项式通项公式，令的指数为0计算即可；对B，赋值法令计算即可；对C，根据的奇数项二项式系数和为计算即可；对D，由当为偶数时，二项式系数最大的项为第项计算即可【详解】对A，由通项公式可得，当，即时取得常数项，为，故A正确；对B，令有各项系数之和，故B错误；对C，奇数项的二项式系数和为，故C正确；对D，二项式系数最大的项为第项，为，故D错误；故选：AC【点睛】本题主要考查了二次展开式中项的一些常见考点，属
14、于中档题11. 下列命题中正确的是（ ）A. 已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底B. 若两个不同平面，的法向量分别是，且，则C. 已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则D. 已知，则向量在上的投影向量的模长是【答案】BCD【解析】【分析】根据基底的定义可判断A;计算，可判断B；根据空间共面向量的推论可判断C；计算向量在上的投影向量的模长，判断D.【详解】对于A，空间任意三个不共面的向量可以作为空间的一个基底，而，故不存在向量可以与，构成空间的一个基底，故A错误；对于B，由于，即，故，故B正确；对于C，点为平面上的一点，且，则 ，即，故C正确；对于D，向量在上的投影向量的模长为 ,故D
15、正确，故选：BCD12. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则（ ）A. B. C. 事件与事件相互独立D. 是两两互斥的事件【答案】ABD【解析】【分析】根据每次取一球，易得，是两两互斥的事件，求得，然后由条件概率求得，再逐项判断.【详解】解：因为每次取一球，所以，是两两互斥的事件，故D正确；因为，所以，故B正确；同理，所以，故A正确；由于，故事件与事件不相互独立，故C错误.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，
16、每小题5分，共计20分13. 若，则_【答案】5【解析】【分析】利用排列数和组合数公式直接计算可得.【详解】因为，所以，解得.故答案为：5.14. 2022年4月20日是星期三，经过天后是星期_【答案】四【解析】【分析】由展开可求得除以7的余数，即可得出答案.【详解】因为，因为能被7整除，所以除以7的余数为1，所以经过天后是星期四.故答案为：四.15. 志愿服务是办好年北京冬奥会的重要基础与保障年月日志愿者全面上岗服务，现有名志愿者要安排到个服务站点参加服务，每名志愿者只能安排到一个站点，每个站点至少安排一名志愿者，则不同的安排方案共有_种【答案】240【解析】【分析】现将名志愿者分成4组，再
17、将4组安排到4个站点即可.【详解】现将名志愿者分成4组，再将4组安排到4个站点即可，则不同的安排方案共有种.故答案为：240.16. 已知，若在不是单调函数，则实数的取值范围为_若任意都有，则实数的取值范围为_【答案】 . 【解析】【分析】第一空：对求导，根据在不是单调函数，直接求出答案；第二空：对进行分类讨论，利用导函数求函数的最值，最终求出答案.【详解】第一空：对求导若在不是单调函数，即，第二空：当时，此时函数单调递增，不满足条件，舍去；当时，此时满足条件；当时，当，此时函数在区间上单调递减，当，此时函数在区间上单调递增，化简得设，当，此时函数在区间上单调递减，当，此时函数在区间上单调递增
18、，图象如图所示，综上所述：实数的取值范围为.故答案为：，.四、解答题：本题共6小题，共计70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知的展开式满足 二项式系数之和为，含项的系数为80，第三项与第四项二项式系数相等从这三个条件中选择两个合适的条件补充到横线处，求解下列问题（1）求的值；（2）求展开式中含项的系数【答案】（1），； （2）13【解析】【分析】（1）由二项式系数的性质可知，由或可得n，再由中指定项系数可得m；（2）由二项式定理分别展开和，然后相乘后合并可得.【小问1详解】若选由题意，则；由通项知时得含项，所以，所以； 若选由第三项与第四项二项式系数相等，得则，由通项知时得
19、含项，所以，所以【小问2详解】即求展开式中含项的系数，所以展开式中含项的系数为18. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点（1）求证：/平面；（2）求与平面所成角正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）由条件证明四边形是平行四边形，得到即可；（2）以为正交基底建立空间直角坐标系，然后利用向量求解即可.【小问1详解】因为是正方体，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又面，平面，/平面；【小问2详解】以为正交基底建立空间直角坐标系，则，轴面，故面的法向量为 又， 设求与平面所成角为，则=，所以与平面所成角的正弦值为19. 在全国防控疫情阻击战关键阶段，校文艺团排练了个演唱节目，个
20、舞蹈节目参加社区慰问演出（结果用数字作答）（1）若从个节目中选个参加市演出汇报，求3个节目中恰有1个舞蹈节目的选法种数；（2）现对个节目安排演出顺序，求个演唱节目接在一起的概率；（3）现对个节目安排演出顺序，求节目甲不在第一个且不在最后一个演出的概率【答案】（1）12 （2） （3）【解析】【分析】（1）从2个舞蹈节目选1个，再从4个演唱节目里选2个，可得答案.（2）求出6个节目全排列共有的排法，再计算将4个演唱节目看作一个整体，内部全排列，和2个舞蹈节目全排列的排法数，根据古典概型的概率公式求得答案;（3）先排甲，再排其余节目，根据古典概型的概率公式求得答案;【小问1详解】由题意可得3个节目
21、中恰有1个舞蹈节目的选法种数有（种）；【小问2详解】6个节目全排列共有 种排法，将4个演唱节目看作一个整体，内部全排列，和2个舞蹈节目全排列，共有种排法，因此记“4个演唱节目接在一起的概率”为事件，则，所以4个演唱节目接在一起的概率；【小问3详解】节目甲不在第一个且不在最后一个演出,则中间四个位置上选一个排甲，剩余节目再其余位置全排列，有种排法，记“节目甲不在第一个且不在最后一个演出”为事件，故，所以节目甲不在第一个且节目乙不在最后一个演出的概为 .20. 某校组织“创建文明城区”知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的学生先在两类问题中选择一类，然后从所选类别的问题中随机抽取一个问题回答，若回
22、答错误则比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，比赛结束类问题回答正确得30分，否则得0分；类问题回答正确得10分，否则得0分已知小明同学能正确回答类中的每一个问题的概率均为0.5，能正确回答类中的每一个问题的概率均为0.8，且能正确回答问题的概率与回答次序无关（1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列和数学期望；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由【答案】（1）分布列见解析，数学期望 （2）小明应选择先回答类问题，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意得出由随机变量的可能取值，计算对应的不同随机变量的概率，即可
23、求出分布列；（2）计算小明先回答问题时随机变量的取值及对应概率，求出均值与（1）比较即可.【小问1详解】得分情况有三种可能性，第一个问题错误，分，第一个问题正确，第二个错误，分，两个问题都正确，分，的分布列为：030400.50.10.4【小问2详解】由（1）知，若小明先回答问题，则，若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的可能取值为0，10，40，小明应选择先回答类问题21. 如图，四边形与均为菱形，直线平面，点为与的交点，且（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角 的余弦值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，可得向量，利用向量的夹角公
24、式求得答案;（2）根据（1）中坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式求得答案.【小问1详解】平面， 平面， 四边形为菱形，且，为等边三角形，为的中点，所以，两两垂直以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示:，四边形为菱形，为等边三角形，则， , 设异面直线所成角为，则 , 故,即异面直线与所成角的余弦值为.【小问2详解】由（1）知，设平面的法向量为，则 ，令，则，得 设平面的法向量为，则 ，令，则，得 ,又由图知二面角为钝角，二面角的余弦值为22. 设函数（1）当时，求在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若关于的方程有两个不等的实根，求实数的取值范围【答
25、案】（1） （2）分类讨论，答案见解析； （3）【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可；（2）对函数求导，需要对参数进行分类讨论，确定导函数正负，进一步确定原函数的增减；（3）对关于的方程进行转化，运用同构函数的性质以及零点存在性定理来说明零点情况，从而得出的取值范围.【小问1详解】因为，所以 则，切线方程为：【小问2详解】当时，在上为单调减函数当时，在上为单调减函数，在上为单调增函数综上：当时，在上为单调减函数；当时，在上为单调减函数，在上为单调增函数【小问3详解】即，设，则在上是单调增函数，故有两个不等实根，设由（2）知，在上为单调减函数，在上为单调增函数，得， ，所以在上恰有一个零点又，所以在上恰有一个零点综上：，有两个不等的实根
