1、温州市环大罗山联盟2021-2022学年高一下期中联考数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1. 若向量，则的坐标为（ ）A. B. C. D. 2. 已知角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，终边经过点，且，则实数的值是（ ）A. 2B. C. D. 3. 将函数向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）A. B. C. D. 4. 已知一张边长为2的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，则该纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 6. 在中，为边
2、上一点，则的值为（ ）A. B. C. D. 7. 如图，平面内有三个向量，与的夹角为120，的夹角为150，且，若，则（ ）A. B. C. D. 98. 设函数，若关于x的方程有四个实根，则的最小值为（ ）A. B. C. 10D. 9二、多选题（本题共4小题，每小题题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 已知是虚数单位，是复数，且，则下列说法正确的是（ ）A. 在复平面上对应的点位于第一象限B. 在复平面上对应的点位于第二象限C D. 10. 给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的是（ ）A. 水平放置的角的直
3、观图一定是角B. 相等的角在直观图中仍然相等C. 相等的线段在直观图中仍然相等D. 两条平行线段在直观图中仍是平行线段11 已知向量，且向量满足，则（ ）A. B. C. 向量与的夹角为D. 向量在方向上的投影向量为12. 已知函数的部分图象如图所示，把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则（ ）A. 为偶函数B. 的最小正周期是C. 的图象关于直线对称D. 区间上单调递减三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 函数的定义域是_.14. 已知在中，则等于_.15. 若，与的夹角为60，则_16. 物体在常温下温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度
4、是，经过一定时间t（单位：min）后的温度是T，则，其中称为环境温度，h为常数，现有一杯用85热水冲的速溶咖啡，放在21的房间中，如果咖啡降到37需要16min，那么这杯咖啡要从37降到25，还需要_min四、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 在中，内角所对的边分别是，已知，.（1）求的值；（2）求的面积.18. 如图所示，正方体的棱长为a，过顶点B、D、截下一个三棱锥（1）求剩余部分的体积；（2）求三棱锥的高；（3）4个面都是直角三角形四面体，被称为鳖臑你能写出以该正方体的4个顶点为顶点的鳖臑吗？写出一个即可，不需证明19. 已知向量（1，2），
5、（3，k）（1）若，求 的值；（2）若（2），求实数k的值；（3）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围20. 已知向量，.（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；（2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.21. 提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）满足关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车道速度是0千米/小时.（1）若车流速度不小于50千米/小时，求车流密度的取值范围；（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量
6、的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.22. 已知函数（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；指出单调性，不需证明；（2）函数，若存在，使得成立，求实数a的取值范围；（3）若函数，讨论函数的零点个数温州市环大罗山联盟2021-2022学年高一下期中联考数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1. 若向量，则的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接进行向量的减法即可.【详解】因为向量，所以.故选：C2. 已知角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，终边经过点，且，则实数的值是（ ）A. 2B. C. D. 【答
7、案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义求解即可.【详解】由题意有，解得或，由于，则，所以满足题意.故选：A3. 将函数向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用三角函数平移变换求解.【详解】函数向右平移个单位长度，.故选：D.4. 已知一张边长为2的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，则该纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据旋转体的定义可知该几何体为圆柱的八分之一，求其表面积即可.【详解】因为一个边长为2的正方形纸片绕着一条边旋转弧度，所形成的几何体为柱体的一部分，
8、是底面半径r为2,高h为2的圆柱的八分之一，所以其表面积，故选：C5. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断函数在上单调性，再结合偶函数的性质解不等式作答.【详解】当时，则在上单调递增，又函数是上的偶函数，且，因此，解得，所以不等式的解集为.故选：A6. 在中，为边上一点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由正弦定理求得，继而求出，再根据三角形外角定理，结合两角和的正弦公式，求得答案.【详解】如图示：在 中，由正弦定理得： ,故 ,而,故只能是锐角，故，所以 ，故选：C7. 如图，平面内有三
9、个向量，与夹角为120，的夹角为150，且，若，则（ ）A. B. C. D. 9【答案】B【解析】【分析】作的相反向量，再以射线，为邻边，以为对角线作，根据向量加法求解即可.【详解】作的相反向量，再以射线，为邻边，以为对角线作，因为与的夹角为120，的夹角为150，且，所以，所以，所以，所以，即即故选：B8. 设函数，若关于x的方程有四个实根，则的最小值为（ ）A. B. C. 10D. 9【答案】D【解析】【分析】作函数的大致图象，可知，由与的图象有四个交点可得，计算求得的值即可得的范围，根据可得与的关系，再根据基本不等式计算的最小值即可求解.【详解】作函数的大致图象，如图所示：当时，对称
10、轴为，所以，关于的方程有四个实根，则，由，得或，则，又，所以，所以，所以，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：D.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、多选题（本题共4小题，每小题题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
11、9. 已知是虚数单位，是复数，且，则下列说法正确的是（ ）A. 在复平面上对应的点位于第一象限B. 在复平面上对应的点位于第二象限C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据复数的乘除运算求出，利用复数的几何意义可判断A、B；利用复数模的求法可判断C、D.【详解】由，则，所以在复平面上对应的点为，即在复平面上对应的点位于第二象限.所以.故选：BD10. 给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的是（ ）A. 水平放置的角的直观图一定是角B. 相等的角在直观图中仍然相等C. 相等的线段在直观图中仍然相等D. 两条平行线段在直观图中仍是平行线段【答案】AD【解析】【分析】根据直观图和斜二测画法的规
12、则，判断选项.【详解】水平放置的角的直观图一定是角，故A正确；角的大小在直观图中都会发生改变，有的线段在直观图中也会改变，比如正方形的直方图中，故BC错误；由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，所以D正确.故选：AD11. 已知向量，且向量满足，则（ ）A. B. C. 向量与的夹角为D. 向量在方向上的投影向量为【答案】ACD【解析】【分析】由得，进而依次讨论各选项即可得答案.【详解】由题知,因为,所以,解得或,又因为,所以，所以，对于A选项，故A选项正确；对于B选项，由于，所以与不平行，故B选项错误；对于C选项，所以，又，所以，故C选项正确；对于D选项，向量在方向上的投影向量为，故
13、D选项正确.故选：ACD12. 已知函数的部分图象如图所示，把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则（ ）A. 为偶函数B. 的最小正周期是C. 的图象关于直线对称D. 在区间上单调递减【答案】BC【解析】【分析】根据已知条件求出的解析式，在通过三角函数的伸缩变化求出的解析式，结合三角函数的单调性、周期性、对称性、奇偶性即可求出答案.【详解】由图知，则，即，因为，所以.因为为的零点，则，得.由图知，则，所以，从而.由题设，则为非奇非偶函数，所以A错；的最小正周期，所以B正确；当时， ，则的图象关于直线对称，所以C正确.当时， ，不单调，所以D错误.故选：BC.三、填空题（本
14、题共4小题，每小题5分，共20分）13. 函数的定义域是_.【答案】【解析】【分析】由对数的真数大于零，同时二次根式在分母，则其被开方数大于零，从而可求出定义域【详解】由题意可得解得，即的定义域是.故答案为：14. 已知在中，则等于_.【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得，令，然后利用余弦定理可求出【详解】因在中，所以正弦定理可得，则令（），由余弦定理得，故答案为：15. 若，与的夹角为60，则_【答案】【解析】【分析】利用平面向量的模长公式和数量积运算进行求解.【详解】由题意，得.故答案为：.16. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一定时间t（单位：
15、min）后的温度是T，则，其中称为环境温度，h为常数，现有一杯用85热水冲的速溶咖啡，放在21的房间中，如果咖啡降到37需要16min，那么这杯咖啡要从37降到25，还需要_min【答案】16【解析】【分析】根据所给函数模型，由Ta21令T085，T37，求得，然后令T037，T25，求得【详解】由题意知Ta21令T085，T37，得，h8令T037，T25，则，故答案为：16四、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 在中，内角所对的边分别是，已知，.（1）求的值；（2）求的面积.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解；（
16、2）先用同角三角函数关系式求出，再用三角形面积公式求解即可.【小问1详解】由余弦定理可得，即，解得，【小问2详解】，且，,由得，,.故的面积为.18. 如图所示，正方体的棱长为a，过顶点B、D、截下一个三棱锥（1）求剩余部分体积；（2）求三棱锥的高；（3）4个面都是直角三角形的四面体，被称为鳖臑你能写出以该正方体的4个顶点为顶点的鳖臑吗？写出一个即可，不需证明【答案】（1） （2） （3）(答案不唯一)【解析】【分析】（1）根据题意及体积公式直接求解即可；（2）运用等体积法求解即可;(3)根据鳖臑定义，直接写出即可.【小问1详解】设正方体的棱长为，则.【小问2详解】，易知为等边三角形，且边长为
17、，其面积为，解得即三棱锥的高为.【小问3详解】由鳖臑定义可知，三棱锥一个鳖臑.19. 已知向量（1，2），（3，k）（1）若，求 的值；（2）若（2），求实数k的值；（3）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围【答案】（1）3； （2）k； （3）k且k6.【解析】【分析】（1）解方程1k20即得解；（2）解方程120即得解；（3）解不等式12k0且k6，即得解.【小问1详解】解：因为向量（1，2），（3，k），且，所以1k20，解得k6，所以3【小问2详解】解：因为2，且，所以120，解得k【小问3详解】解：因为与的夹角是钝角，则0且与不共线即12k0且k6，所以k且k620. 已知向量，.（
18、1）求函数的单调递增区间和最小正周期；（2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）单调增区间为，；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算,并利用两角和差的三角函数公式化简得到函数的解析式，有三角函数的性质求得周期，单调增区间；（2）将不等式分离参数，根据不等式有解的意义得到；然后根据角的范围，利用三角函数的性质求得函数的最小值，进而求得的的取值范围.【详解】（1）因为所以函数的最小正周期；因为函数的单调增区间为，所以，解得，所以函数的单调增区间为，；（2）不等式有解，即；因为，所以，又，故当，即时， 取得最小值，且最小值为，所以.21. 提高隧道的车辆通行
19、能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）满足关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车道速度是0千米/小时.（1）若车流速度不小于50千米/小时，求车流密度的取值范围；（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.【答案】（1）；（2）隧道内车流量的最大值约为3792辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米.【解析】【分析】（1）把代入已知式求得，解不等式可得的范围（2
20、）由（1）求得函数，分别利用函数的单调性和基本不等式分段求得最大值，比较可得【详解】（1）由题意知当（辆/千米）时，（千米/小时），代入，得，解得，所以当时，符合题意；当时，令，解得，所以.综上，.答：若车流速度不小于50千米/小时，则车流密度的取值范围是.（2）由题意得， 当时，为增函数，所以，等号当且仅当成立；当时，.即，等号当且仅当，即，即成立.综上，的最大值约为3792，此时约为87.答：隧道内车流量的最大值约为3792辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米.【点睛】关键点点睛：本题考查函数模型的应用，对于已经给出函数模型的问题，关键是直接利用函数模型列出方程、不等式或利用函数性质求解
21、，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.22. 已知函数（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；指出单调性，不需证明；（2）函数，若存在，使得成立，求实数a的取值范围；（3）若函数，讨论函数的零点个数【答案】（1）奇函数，证明见解析，上单调递减. （2） （3）答案见解析.【解析】【分析】（1）先由函数解析式求出函数定义域，判断其奇偶性及单调性即可；（2）根据题中，先得到和在上的值域的交集不为空集；分别讨论和两种情况，分别求出两函数的值域，根据交集不为空集，列出不等式求解，即可得出结果；（3）利用已知条件令，则，画出的图象，观察图像，分情况讨论即可得出结果.【小问1详解】函数，由，可得，即的定
22、义域为； 又，所以为奇函数， 当时，显然单调递减，所以在上单调递减.【小问2详解】函数，若存在，使得成立，则和在上的值域的交集不为空集；由（1）可知：时，显然单调递减，所以其值域为；若，则在上单调递减，所以的值域为，此时只需，即，所以；若，则在递增，可得的值域为，此时与的交集显然为空集，不满足题意；综上，实数的范围是；【小问3详解】由，得，令，则， 画出的图象， 当，或, 所以只有一个满足，即，解得，由得，当即时，有3个交点，即有3个零点，当即时，有1个交点，即有1个零点.当时，显然只有1解，且，此时，只有1解，即有1个零点当时，只有1解，且，所以此时只有1解，即只有1个零点.当时，此时，由，得在，三个分别对应一个零点，共个，在时，三个分别对应个， 1个，个零点，共个，综上所述：当或或时，只有个零点，当或时，有个零点，当时，有个零点.【点睛】关键点睛：本题考查了函数的定义域和奇偶性，方程根的存在性以及个数判断. 把函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，画出函数图像分析是解决本题的关键.
