1、高一数学学科 试题 第1页(共 6 页) 绝密考试结束前绝密考试结束前 20202020 学年第二学期温州新力量联盟期中联考学年第二学期温州新力量联盟期中联考 高一年级数学学科高一年级数学学科 试题试题 考生须知：考生须知： 1本卷共 6 页满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。 4考试结束后，只需上交答题纸。 选择题部分选择题部分 一、单项选择题（本大题共 10 小题，共 40 分） 1、z = 1 i，为其共轭复数，则z 的值为（ ） A.0 B.2 C.1
2、 D.2 2、在 中，已知 b = 2,B = 45,c=6，则角 C 为（ ） A. 60 B. 150 C. 60或 120D. 120 3、棱台不具备的特点是( ) A.两底面相似B.侧面都是梯形 C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点 4、设正方体的表面积为 24，那么其内切球的体积是（ ） A. 4 3 B. 6 C. 8 3 D. 32 3 5、如图，点 P，Q，R，S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线 PQ 与 RS 不是 共面直线的图是（ ） A B CD 6、设有直线 m、n 和平面 、，下列命题中正确的命题是（ ） P P Q Q 高一数学学科 试题 第2页
3、(共 6 页) A.若 m，n，则 mn B.若 m，n，m，n，则 C.若 mn，m，则 n D.若 ，m，则 m 7、如图所示，已知在 中，O 是重心，则AO = ( ) A. 1 3 B. 1 3 2 3 C. 2 3 1 3 D. + 1 3 8、中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前 476 年前 222 年)，其中沙漏就是古代 利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的 容器和一个狭窄的连接管道组成 如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直 径和高均为8 ， 细沙全部在上部时， 其高度为圆锥高度的2 3(细 管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后，
4、恰好堆成一个盖住 沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为（ ） A. 2 B. 4 3 C. 8 3 D.64 27 9、点 P 是正三角形ABC外接圆圆 O 上的动点，正三角形的边长为 6， 则OCOPOBOP+2的取值范围是（ ） A.34 , 34B.34 , 32 C.312, 312D.32 , 32 10、如图所示，正方体 1111的棱长为 2，,分别 为1，AB 的中点，M 点是正方形11内的动点，若/ 1M C 平面1，则 M 点的轨迹长度为( ) A. 2 2 B. 1C.2D.3 O A B C A B C O P 高一数学学科 试题 第3页(共 6 页) 二、多项选择
5、题（本大题共 3 小题，每题 4 分;漏选得 2 分，错选不得分） 11、下列命题正确的有（ ） A.复数 z=2-2i 的虚部是-2i. B.复数的共轭复数为z，则 z R的一个充要条件是z = z C.若(x2 1) + (x2+ 3x + 2)i是纯虚数，则实数x = 1. D.关于 x 的方程01 2 =+ xx在复数范围内的两个根互为共轭复数. 12、若向量)3 , 3(= a，)3,(nb = ，下列结论正确的是（ ） A.若 a， b同向，则 n=1. B.与 a垂直的单位向量一定是), 2 1 , 2 3 ( C.若 b在 a上的投影向量为 3 e（ e是与向量 a同向的单位向
6、量） ，则 n=3. D.若 a与 b所成角为锐角，则 n 的取值范围是3n . 13、如图，AC 为圆锥 SO 底面圆 O 的直径，点 B 是圆 O 上异于 A，C 的动点，SO = OC = 2，则下 列结论正确的是（ ） A. 圆锥 SO 的侧面积为42 B. 三棱锥SABC体积的最大值为8 3 C. SAB的取值范围是( 4 , 3) D. 若AB = BC，E 为线段 AB 上的动点，则SE + CE的最 小值为2(3 + 1) 非选择题部分非选择题部分 三、填空题（本大题共 4 小题，每题 4 分） 14、ABC中的内角 A,B,C 的对边分别是cba,，若三角形面积 4 222
7、cba S ABC + = ，则角 C= . 15、已知平面向量 = (2,4)， = (1,2)，若 = ( ) ，则| |等于 . 16、ABC中，AC=7,AB=4,BC 边上的中线 AD3.5，则 BC . 17、平面向量 ， ， ，满足| |=1， =1， =2，| |=2，则 的最小值为 . 高一数学学科 试题 第4页(共 6 页) 四、解答题（本大题共 6 题，共 82 分） 18、 （本题 12 分） 已知复数z满足z = 1 + ，复数z的共轭复数为z (1)求 4 z z z +；(2)若复数1满足|1 | = 1，求|1|的最小值和最大值 19、 （本题 14 分） 如图
8、矩形 OABC是水平放置的一个平面四边形 OABC 的直观图,其中 OA=3,OC=1, (1)画出平面四边形 OABC 的平面图并标出边长标出边长，并求平面四边形 OABC 的面积； (2)若该四边形 OABC 以 OA 为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积。 高一数学学科 试题 第5页(共 6 页) 20、 （本题 14 分） 甲船在静水中的速度为 40 海里/小时,当甲船在点 A 时，测得海面上乙船搁浅在其南偏东 60 方向的点 P 处,甲船继续向北航行 0.5 小时后到达点 B,测得乙船 P 在其南偏东 30方向, (1)假设水流速度为 0，画出两船的位置图，标出相应角
9、度并求出点 B 与点 P 之间的距离； (2)若水流的速度为 10 海里/小时，方向向正东方向，甲船保持 40 海里/小时的静水速度不变， 从点 B 走最短的路程去救援乙船，求甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值。 21、 （本题 14 分） 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，/平面 PAD，ADBC 2 1 =，E 是 PD 的中点 (1)求证：/； (2)线段 AD 上是否存在点,使平面CEN/平面 PAB，若不 存在请说明理由；若存在给出证明 高一数学学科 试题 第6页(共 6 页) 22、 （本题 14 分） 在 sin sinsin = + ； = cos+1 3sin；2 =
10、 3 这三个条件中任选一个，补充在下面 的横线上，并加以解答 在 中，角 A，B，C 的对边分别是cba,，S 为 的面积，若_(填条件序号) (1)求角 C 的大小； (2)若边长 c=2,求 的周长的最大值 23、 （本题 14 分） 在ABC中，已知AB = 2,AC = 3，P 在线段 BC 上，且BP = 1 3 BC ，Q 是边AB(含端点)上动点； (1)若 ABAQ 5 2 = ，求证：直线 CQ 经过线段 AP 的中点 O; (2)若存在点 Q 使得向量AP CQ ，求cosBAC的取值范围 及 AQC S的最大值. B P Q C A O 1 2020 学年第二学期温州新力
11、量联盟期中联考 2020 学年第二学期温州新力量联盟期中联考 高一年级数学学科参考答案 高一年级数学学科参考答案 一、单项选择题（本大题共 10 小题，共 40 分） 1、B2、C 3、C 4、A5、C 6、D7、B 8、D9、C10、C 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每题 4 分;漏选得 2 分，错选不得分） 11、BD12、AC13、ABD 三、填空题（本大题共 4 小题，每题 4 分） 14、 4515、2816、917、 4 5 18.18、 （本题 12 分） （1）解：iz 11 分 i ii i i i z z )1)(1 ( )1 ( 1 1 2 3 分（答案错误，有分母
12、实数化思想就给 1 分） 4)2()1 ( 244 iiz5 分（答案错误，有先平方思想就给 1 分） iz z z 4 4 6 分 （2） 1 z所对应的点的集合是以（1,1）为圆心， 半径为 1 的圆8 分 （点的集合用图给出也给分） 12| min1 z10 分 12| max1 z12 分 19.（1）画图正确4 分（边长标错扣 1 分） 26223 OABC S7 分 （2）243)22( 22 hrV 3221 2 2 l 11 分 26322 rlS圆锥侧 21232222rhS圆柱侧 2242 圆锥圆柱侧表 SSS 20.（1）位置图正确4 分 海里205 . 040AB5 分
13、 o BAP120， o PB30 海里320BP 7 分 （2）设甲船船头与实际行进方向所成角为 速度合成图象正确11 分 o 60sin 40 sin 10 12 分 8 3 sin14 分（答案错误有正弦定理 21、 （本题 14 分） 如图所示，在四棱锥中，?/ (1)求证：?/?； (2)线段 AD 上是否存在点?,使平面 CEN/ 明理由 【答案】证明：(1)在四棱锥? ?中， 2 10 分 （答案错误公式正确给 1 分） 分 12 分 （答案错误有公式给 1 分） 13 分 14 分 有正弦定理给 1 分） /平面 PAD，E是 PD的中点 /平面 PAB，请说 ， 3 ?/平面
14、 PAD， ? 平面 ABCD， 2 分 平面? 平面? = ?， 4 分 ?/?， 5 分 (2)解法一： 取 AD中点 N，连接 CN，EN， 7 分 ?，N 分别为 PD，AD 的中点， ?/?， ? 平面 PAB，? 平面 PAB， ?/平面 PAB 10 分 (? 面 PAB”没写扣 1 分) 可证四边形 ABCN 是平行四边形 CN/AB ? 平面 PAB，? 平面 PAB， ?/平面 PAB， 13 分 ? ? = ?，CN、? 平面 CEN， 平面?/平面 PAB. 14 分 (条件? ? = ?”没写扣 1 分) 解法二： 取 AD中点 N，连接 CN，EN， 7 分 ?，N
15、 分别为 PD，AD 的中点， ?/?， 10 分 可证四边形 ABCN 是平行四边形 CN/AB 13 分 ? ? = ?，? ? = ? 14 分(只写一个相交不扣分) 平面?/平面 PAB. 22、 （本题 14 分） 在 ? ? = ? ?； ? ? = ? ?；2? = 3 上，并加以解答在 ?中，角 A，B，C的对边分别是 填条件序号) (1)求角 C的大小；(2)若边长 c=2,求 ?的周长 【答案】解：(1)选： ? ? = ? ?，由正弦定理得 ?(? ?) = (?+ ?)(? ?)，即?+ ? ?= cos ? = ? ?， 5 分 ? (0,?)， ? = ? ? 6
16、分 选：由正弦定理得? ? = ? ? ,si n? 0, （备注：有用合角公式意识但运算错误给 2 分; ? (0,?)， ? ? ? ? ? ? , ? ? ?, ? ? ? = 选：2? = 3 ? ? ?， 3 tan? = 3,5 分（若和基本关系式联立给 4 3? ? ?这三个条件中任选一个，补充在下面的横线 的对边分别是 a，b，c，S为 ?的面积，若_( 周长的最大值 由正弦定理得 2 分（有边化角或角化边但运算错误给 1 分） = ?,3 分（结果错误不给分） 分（结果错误但写出余弦定理给 1 分） （角 C 范围不写不扣分；两个答案扣 1 分） 3si n? = cos ?
17、 + 1， 1 分 4 分 ;若和基本关系式联立给 1 分，结果正确 2 分） = ? ? , ? = ? ? 6 分（角 C 范围不写扣 1 分；答案 1 分） 3 分（面积公式正确 1 分，数量积正确 2 分） 若和基本关系式联立给 1 分，结果正确给 1 分） 5 ? (0,?), ? = ? ? 6 分（角 C 范围不写不扣分） (2)解法一：4cos2 22222 abbaCabbac得由 8 分（运算错误但写出余弦定理给 1 分） , 43)( 2 abba 10 分 2 2 2 4 3 2 334)(ba ba abba 12 分 （运算错误但写出基本不等式给 1 分） ,16,
18、 4 4 1 22 baba 40ba (当且仅当 a=b 时取等号) 24 22 baabba，又, . 62，周长有最大值当，ba 14 分（取等条件 1 分，结果正确 1 分） 解法二： 3 34 sin 2, 3 , 2 C c RCc 7 分（若 2R 计算错误但写出 C c R sin 2也给 1 分） )sin(sin 3 34 )sin(sin2CBCBRba 8 分（有边化角就给 1 分， ） sin) 3 2 sin( 3 34 CC 9 分（有角的替换就给分） )sinsin 3 2 coscos 3 2 (sin 3 34 CCC 6 )sin 2 3 cos 2 3
19、( 3 34 CC )sin 2 3 cos 2 1 (4CC ) 6 sin(4 C12 分（有用合角公式意识但运算错误给 1 分） 1 , 2 1 () 6 sin(), 6 5 , 6 ( 6 ), 3 2 , 0( CCC . 64 3 , 26 周长最大值为取最大值时，即baCC 14 分（角范围没求扣 1 分，角 C 没求不扣分） 23、 （本题 14 分） 在?ABC中，已知AB = 2,AC = 3，P 在线段 BC上，且BP ?= ? ?BC ?，Q是边AB(含端点)上动点； (1)若 ABAQ 5 2 ，求证：直线 CQ 经过线段 AP 的中点 O; (2)若存在点 Q使得
20、向量AP ? CQ?，求cos BAC的取值范围 及 AQC S的最大值.； 【答案】 解：(1)由题得，设? ? ? ?,?= ? ? ?= ?+ ? ? ?= ?+ ? ?(? ? ?) = ? ? ? ? + ? ? ?； 1 分 ? ?= ? ? ?= ? ? ? ? + ? ? ?； 所以QC ?= ? ?= ? ? ? ? + ? ?； 2 分 OC ?= ? ?= ? ? ? ? + ? ? ?； 3 分 所以OC ?= ? ?QC ?； 4 分 因为 C 是公共点，所以直线 CQ 经过点 O. 5 分 B P Q C A O (备注：计算错误但用一组基底表达给 1(备注：计算错
21、误但用一组基底表达给 1 分分 (2)设AQ ?= ?AB?(0 ? 1)， 因为AP ? CQ?，所以AP? CQ? = 0， 所以AP ? CQ?= ? ?AB ?+ ? ?AC ? ?AQ? AC? = 所以? ?AB ? ? ?AC ?+ ? ? ? ?AB ? AC?= 0 所以 所以， 易知cos BAC随 t 增大而增大 所以cos BAC 的取值范围为? ? ?, ? ? BACACtABtSS ABCAQC sin 2 1 BACtBACtsin3sin32 2 1 BACt 2 cos13 因为cos BAC 的取值范围为? ? ?, ? ? ，所以 故 BAC 2 cos1 随cos BAC 的增大而增大 故 AQC S是关于 t 的增函数，所以?AQC面积的最大值为 7 分分、共线表达的给 1 分)、共线表达的给 1 分) 6 分 = ? ?AB ?+ ? ?AC ? ?AB? AC? = 0， ， ，7 分 8 分 9 分 10 分 11 分 所以BAC为钝角， 的增大而增大，而cos BAC 随 t 增大而增大 面积的最大值为 ? ? 14 分
