1、北京市大兴区2021-2022学年高一下期中考试数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分 1. 复数（ ）A. 0B. 1C. 2iD. 22. 向量与垂直，则（ ）A. 1B. 1C. 4D. 43. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 设，是非零向量，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 以一个等腰梯形的较长的底边所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面所围成的几何体的几何特征是（ ）A. 一个圆柱、两个圆锥B. 两个圆台、一个圆柱C. 一个圆
2、台、两个圆锥D. 两个圆柱、一个圆台6. 向量，在正方形网格中的位置如图所示若，则（ ）A. B. C. 2D. 37. 中，则（ ）A. B. C. 1D. 28. 长方体如图所示，在棱DC、，上分别取点E，F，G，H，若直线EF与直线HG相交于点P，则一定经过点P的直线是（ ）A. B. C. D. 9. 已知的面积为，则AC边的中线的长为（ ）A. B. 3C. D. 410. 已知的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11. 直线和平面相交于点A,用集合符号表示_.12. 是
3、关于x的方程的一个根，则实数_13. 已知满足，能使存在且不唯一的一个值可以是_14. 已知单位向量，夹角为，且，（其中x，）当时，_；当时，的最小值是_15. 将棱长为1正方体一个顶点与半径为1的球的球心重合后组成一个空间几何体，则该几何体中正方体的顶点在球面上的个数为_；该几何体的体积为_三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 已知向量，（1）求与的夹角的余弦值；（2）求；（3）已知点和点，若与向量共线，求实数x的值17. 在中，（1）求a和b的值；（2）判断角是否是锐角三角形，并说明理由18. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，此三棱柱高为4若侧面水平放置
4、时，水面恰好过AC，BC，的中点E，F，G，H（1）直接写出直线FG与直线的位置关系；（2）有人说有水的部分呈棱台形，你认为这种说法是否正确，为什么？（3）已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面相同，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高19. 已知复数（a，），且（1）若z的实部和虚部相等，求z对应的点的坐标；（2）在复平面内z对应的点的集合是什么图形？并画出此图；（3）若，求a，b值20. 已知在中，点D满足，点E满足，其中（1）求的值；（2）用向量方法判断是否存在使，若存在，求的值；若不存在，说明理由；（3）令AE与CD相交于点O，若，请用表示实数t21.
5、如图，某兴趣小组为测量河对岸直塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，可测的量有，（1）若，求塔高AB；（2）用m，表示塔高AB；（3）现有下列四个测量方案：方案测量，；方案测量，m，；方案测量，m，；方案测量m，其中，能使塔高AB可求的所有方案的编号为_北京市大兴区2021-2022学年高一下期中考试数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分 1. 复数（ ）A. 0B. 1C. 2iD. 2【答案】C【解析】【分析】利用完全平方和公式进行求解即可.【详解】，故选：C2. 向量与垂直，则（ ）A. 1B. 1C. 4D. 4【答案】B【解析】【分析】根据互相垂直向量
6、坐标表示公式进行求解即可.【详解】因向量与垂直，所以有，故选：B3. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【详解】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.详解：的共轭复数为对应点为，在第四象限，故选D.点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.4. 设，是非零向量，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别判断充分性和必要性成立情况
7、得出结论.【详解】若，则，；若，则，即.“”是“”的必要而不充分条件；故选：B.5. 以一个等腰梯形的较长的底边所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面所围成的几何体的几何特征是（ ）A. 一个圆柱、两个圆锥B. 两个圆台、一个圆柱C. 一个圆台、两个圆锥D. 两个圆柱、一个圆台【答案】A【解析】【分析】根据等腰梯形的性质，结合旋转体的分类特征进行判断即可.【详解】因为等腰梯形上下底互相平行，腰相等，所以以较长的底边所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面所围成的几何体的几何特征是一个圆柱、两个圆锥，故选：A6. 向量，在正方形网格中的位置如图所示若，则（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】C
8、【解析】【分析】根据平面向量基本定理进行求解即可.【详解】在正方形网格中，设分别是水平向右方向上、竖直向上方向上的单位向量，于是有，由，所以，故选：C7. 在中，则（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】利用正余弦定理分别求出所对应角的三角函数值代入式子求解即可.【详解】在中，由正弦定理得：，由余弦定理得： 故选：B.8. 长方体如图所示，在棱DC、，上分别取点E，F，G，H，若直线EF与直线HG相交于点P，则一定经过点P的直线是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据面面相交的性质，结合线面的关系进行判断即可.【详解】因为，所以，因为E，F在棱DC、上
9、，所以平面，所以平面，因为，所以，因为G，H在，上，所以平面，所以平面，因为平面平面，所以，故选：D9. 已知的面积为，则AC边的中线的长为（ ）A. B. 3C. D. 4【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理、二倍角正弦公式、正弦函数的性质，结合三角形面积公式、平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】根据正弦定理由，因为，所以，或，当时，,不符合三角形内角和定理， 当时，因此,因此，因为的面积为，所以有，负值舍去，即，由余弦定理可知：，设边的中点为，所以有，因此故选：C10. 已知的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 【
10、答案】A【解析】【分析】根据向量的运算法则以及已知条件给出的几何关系，作出图形，然后根据投影向量的公式代入求解即可.详解】如图所示， 是的中点又是等边三角形设的外接圆半径为向量在向量上的投影向量为： 故选：A.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11. 直线和平面相交于点A,用集合符号表示_.【答案】【解析】【分析】由点、线、面位置关系的符号表示即可得解.【详解】由题意可得,答案为：【点睛】本题考查直线与平面相交的符号表示,属于基础题,解题时注意符号的合理运用.12. 是关于x的方程的一个根，则实数_【答案】【解析】【分析】根据复数根的特点可知两复数根是互为
11、共轭复数，再利用韦达定理即可求解.【详解】是关于x的方程的一个根，另一个根为由韦达定理得：，解得：故答案为：.13. 已知满足，能使存在且不唯一的一个值可以是_【答案】（答案不唯一，只需）【解析】【分析】作出图形，根据有多解可出关于的不等式，解出的范围即可得解.【详解】如下图所示，若存在且不唯一，则，即.故答案为：（答案不唯一，只需满足即可）.14. 已知单位向量，的夹角为，且，（其中x，）当时，_；当时，的最小值是_【答案】 ； . .【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合共线向量的性质进行求解即可.【详解】当时，因为单位向量，的夹角为，所以，因此；当时， 因此有，因为单位向量，
12、的夹角为，所以，因此当时，有最小值.故答案为：；15. 将棱长为1正方体的一个顶点与半径为1的球的球心重合后组成一个空间几何体，则该几何体中正方体的顶点在球面上的个数为_；该几何体的体积为_【答案】 . 3； . 【解析】【分析】根据正方体和球的性质，结合球和正方体的体积公式进行求解即可.【详解】设棱长为1正方体的一个顶点与半径为1的球的球心重合后组成一个空间几何体，如图所示：因为，所以点三点在该球上，所以该几何体的体积为：，故答案为：3；.三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 已知向量，（1）求与的夹角的余弦值；（2）求；（3）已知点和点，若与向量共线，求
13、实数x的值【答案】（1）； （2）； （3）.【解析】【分析】（1）利用平面向量夹角公式进行求解即可；（2）根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可；（3）根据平面向量的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可.【小问1详解】因为，所以与的夹角的余弦值为；【小问2详解】因为，所以，因此；【小问3详解】由（2）可知：，因为与向量共线，所以有.17. 在中，（1）求a和b的值；（2）判断角否是锐角三角形，并说明理由【答案】（1）； （2）不是，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合余弦定理进行求解即可；（2）利用余弦定理进行
14、求解即可.【小问1详解】因为，所以由正弦定理可知：，由余弦定理可知：，或舍去，即；【小问2详解】因为，所以角最大，由余弦定理可知：，所以角是钝角，因此是钝角三角形，不是锐角三角形.18. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，此三棱柱的高为4若侧面水平放置时，水面恰好过AC，BC，的中点E，F，G，H（1）直接写出直线FG与直线的位置关系；（2）有人说有水的部分呈棱台形，你认为这种说法是否正确，为什么？（3）已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面相同，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高【答案】（1）异面直线； （2）不正确，理由见解析； （3）9.【解析】【分析】（
15、1）根据三角形中位线定理，异面直线的定义进行判断即可；（2）根据棱台的定义进行判断即可；（3）根据棱锥和棱柱的体积公式进行求解即可.【小问1详解】因为水面恰好过AC，BC，的中点E，F，G，H，所以而，因此，所以四边形是平行四边形，故，而，所以直线FG与直线不可能平行，而面平面，所以直线FG与直线不可能是相交直线，所以直线FG与直线是异面直线；【小问2详解】因为棱台各侧棱交于一点，所以该几何体不是棱台；【小问3详解】设此三棱锥的高为，设的面积为所以有.19. 已知复数（a，），且（1）若z的实部和虚部相等，求z对应的点的坐标；（2）在复平面内z对应的点的集合是什么图形？并画出此图；（3）若，求
16、a，b的值【答案】（1）； （2）圆，图形见解析； （3），或【解析】【分析】（1）根据复数实部和虚部的定义，结合复数模的计算公式进行求解即可；（2）根据复数模的计算公式，结合圆的定义进行求解即可；（3）根据复数模的计算公式，解方程组进行求解即可.【小问1详解】因为z的实部和虚部相等，所以，因为，所以，当时，；当时，因此z对应的点的坐标为；【小问2详解】因为，所以有，它表示在复平面内z对应的点到原点的距离为，即在复平面内z对应的点是以为圆心，为半径的圆，图形如下图：【小问3详解】因为，所以，又因为，所以，于是有，或.20. 已知在中，点D满足，点E满足，其中（1）求的值；（2）用向量方法判断是
17、否存在使，若存在，求的值；若不存在，说明理由；（3）令AE与CD相交于点O，若，请用表示实数t【答案】（1）； （2）存在，理由见解析； （3）.【解析】【分析】（1）根据余弦定理、勾股定理，结合平面向量数量积的定义进行求解即可；（2）运用假设法，结合平面向量基本定理、平面向量数量积运算性质进行求解即可；（3）根据共线向量的性质，结合向量数乘的性质进行求解即可.【小问1详解】在中，所以，因为，所以，于是；【小问2详解】假设存在使，即，因为,，所以；【小问3详解】由（2）可知：，设，即，因为，所以.21. 如图，某兴趣小组为测量河对岸直塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，可
18、测的量有，（1）若，求塔高AB；（2）用m，表示塔高AB；（3）现有下列四个测量方案：方案测量，；方案测量，m，；方案测量，m，；方案测量m，其中，能使塔高AB可求的所有方案的编号为_【答案】（1）； （2）； （3）.【解析】【分析】（1）根据锐角三角形函数定义，结合余弦定理进行求解即可；（2）根据锐角三角形函数定义，结合正弦定理进行求解即可；（3）根据解三角形的性质，结合锐角三角函数定义、正弦定理、余弦定理进行逐一判断即可.【小问1详解】设，因为，所以可得：.因为，所以可得：.因为，所以可得：，或舍去，因此；【小问2详解】设，因为，所以可得：，在中，由正弦定理可知：，即；【小问3详解】方案：这个方案中没有边的已知长度和测量边的长度，所以不能求出塔高AB；方案：设，因为，所以可得：.因为，所以可得：，所以在中，已知，所以利用余弦定理建立等式进行求解即可，因此该方案可以求出塔高AB；方案：设，因为，所以可得：.因为，所以可得：，所以在中，已知，所以利用余弦定理建立等式进行求解即可，因此该方案可以求出塔高AB；方案：设，因为，所以可得：.，在中，已知，利用余弦定理求出,在中，已知，利用余弦定理求出，因为，所以利用勾股定理建立等式，最后求出塔高AB.故能使塔高AB可求的所有方案的编号为.
