1、江苏省常州市溧阳市2021-2022学年高二下期中数学试题一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 下列选项中，与相等的是（ ）A. B. C. D. 2. 平行六面体中，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 3. 掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四面点数分别为），掷出点数的数学期望为（ ）A. 2B. C. 3D. 4. 的展开式中，含的系数为（ ）A. 80B. C. 40D. 5. 在四面体中，点在上，且为中点，则（ ）A. B. C. D. 6. 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（ ）A. 36B. 72C. 600D. 4807. 直
2、三棱柱中，则与所成的角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 8. 甲乙丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有两支正在等待检测队伍，则甲乙丙三人不同的排队方案共有（ ）A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列结论正确的是（ ）A. 乘积展开后共有2n项B. 一个含有5个元素的集合有32个子集C 正十二边形对角线共有54条D. 4名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数是4310. 下列命题是真命题的有（ ）A. A，B，M
3、，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面B. 直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直C. 直线l的方向向量为，平面的法向量为，则lD. 平面经过三点是平面法向量，则11. 下列命题中，正确的是（ ）A. 若事件A与事件B互斥，则事件A与事件B独立B. 已知随机变量X的方差为，则=C. 已知随机变量X服从二项分布，则E（X）=2D. 已知随机变量X服从正态分布，若，则 12. 如图，在菱形ABCD中，AB=2，BAD=60，将ABD沿对角线BD翻折到PBD位置，连接PC，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A. 任取三棱锥P-BCD中的三条棱，它们共面的概率
4、为0.2B. 存在某个位置，使得PC与BD所成角为60C. PC与平面BCD所成角为45时，三棱锥P-BCD的体积最大D. 当二面角P-BD-C大小为90时，点D到面PBC的距离最大三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 的展开式中常数项是_（用数字作答）.14. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为3，点N为B1B的中点，则_.15. 长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约80%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过40分钟，这些人的近视率约为90%，现从玩手机不超过40分钟的学生中任意周查一名学生，则他近视的概率为_.16. 某部件由三个电子元件按如图
5、方式连接而成，该部件要正常工作，需满足：元件D正常工作；元件C正常工作或部件A，B同时正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(100，)，且各个元件相互独立，那么该部件的使用寿命超过100小时的概率为_四解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 已知偶数，.（1）当时，求的值；（2）证明：.18. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，PD=DC=3，且PBAM（1）求AD的长；（2）求二面角P-AM-D的正弦值.19. 高二某班级举办知识竞赛，从A，B两种题库中抽取3道题目（从A题库中抽取2道，从B题库中抽取1
6、道）回答.小明同学对抽取的A题库中的每道题目回答正确的概率均为，对抽取的B题库中的题目回答正确的概率为.设小明对竞赛所抽取的3道题目回答正确的个数为X.（1）求X=2时的概率；（2）求X的分布列及数学期望E（X）.20. 如图，底面为正方形的平行六面体的各个棱的长度均为，平面平面分别是的中点.（1）证明：平面；（2）求点C到面的距离.21. 某工厂对一批零件进行质量检测.具体检测方案为：从这批零件中任取10件逐一进行检测.当检测到有2件不合格零件时，停止检测，此批零件检测未通过，否则检测通过.假设每件零件为不合格零件的概率为0.1，且每件零件是否为不合格零件之间相互独立.（1）若此批零件检测未
7、通过，求恰好检测4次的概率；（2）已知每件零件的生产成本为100元，合格零件的售价为180元/件.现对不合格零件进行修复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以20元/件按废品处理，若每件零件的修复费用为30元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为0.8.记X为生产一件零件获得的利润，求X的分布列和数学期望.小明说，对于不合格零件，直接按照废品处理更划算，从利润的角度出发，你同意小明的看法吗？试说明理由.22. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60
8、，我们将这种坐标系称为“斜60坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60坐标系”下向量的斜60坐标：分别为“斜60坐标系”下三条数轴（x轴y轴z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60坐标为x，y，z，记作.（1）若，求的斜60坐标；（2）在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，如图，以为基底建立“空间斜60坐标系”.若，求向量的斜坐标；若，且，求.江苏省常州市溧阳市2021-2022学年高二下期中数学试题一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 下列选项中，与相等的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出的
9、值，然后逐个求解判断即可【详解】，对于A，所以A错误，对于B， ，所以B错误，对于C，所以C正确，对于D， ，所以D错误，故选：C2. 平行六面体中，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的坐标表示，即得.【详解】设，又，解得，即.故选：B.3. 掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四面点数分别为），掷出点数的数学期望为（ ）A. 2B. C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】由题意得到掷出点数的可能取值及各个取值的概率，由期望公式求解即可.【详解】掷一枚质地均匀的正四面体骰子，掷出点数的可能取值为，且掷出每种点数的概率均为，则掷出点数的数学期望为，故选：
10、B4. 的展开式中，含的系数为（ ）A. 80B. C. 40D. 【答案】A【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中,令的幂指数等于,求出的值，即可求得展开式中含的系数【详解】依题意可知,故含系数为.故选:.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,难度较易.5. 在四面体中，点在上，且为中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可【详解】解：点在线段上，且，为中点，故选：B6. 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（ ）A. 36B. 72C. 600D
11、. 480【答案】D【解析】【分析】直接利用插空法计算得到答案.【详解】根据题意将进行全排列，再将插空得到个.故选：.【点睛】本题考查了排列组合中的插空法，意在考查学生的计算能力和应用能力.7. 直三棱柱中，则与所成的角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据几何体特点建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式即可得出异面直线所成角.【详解】如图所示，以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，设，可得， . ， 故BM与AN所成角的余弦值为故选：A.8. 甲乙丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有两支正在等待检测的队伍，则甲乙丙三人不同的排队方案共有（ ）
12、A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种【答案】C【解析】【分析】对该问题进行分类，分成以下情况3人到队伍检测，2人到队伍检测，1人到队伍检测，0人到队伍检测；然后，逐个计算后再相加即可求解；注意计算时要考虑排队时的顺序问题.【详解】先进行分类：3人到队伍检测，考虑三人在队的排队顺序，此时有种方案；2人到队伍检测，同样要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；1人到队伍检测，要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；0人到队伍检测，要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；所以，甲乙丙三人不同的排队方案共有24种.故选：C二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有
13、多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列结论正确的是（ ）A. 乘积展开后共有2n项B. 一个含有5个元素的集合有32个子集C. 正十二边形对角线共有54条D. 4名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数是43【答案】BC【解析】【分析】对于A，利用多项式的乘法分析判断，对于B，利用求子集个数的公式计算，对于C，利用多边形对角线条数的公式计算，对于D，由每名工人有3种休息方法进行判断【详解】对于A，乘积展开后共有项，所以A错误，对于B，一个含有5个元素的集合有个子集，所以B正确，对于C，正十二边形对角线共有条，所以C正确，对于D，由题意可得每名工人
14、有3种休息方法，所以4名工人共有种休息方法，所以D错误，故选：BC10. 下列命题是真命题的有（ ）A. A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面B. 直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直C. 直线l的方向向量为，平面的法向量为，则lD. 平面经过三点是平面法向量，则【答案】ABD【解析】【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可.【详解】对于A，若不能构成空间的一个基底，则共面，可得A，B，M，N共面，A正确；对于B，故，可得l与m垂直，B正确；对于C，故，可得l在内或，C错误；对于D，易知，故，故，D正确.故选：AB
15、D.11. 下列命题中，正确的是（ ）A. 若事件A与事件B互斥，则事件A与事件B独立B. 已知随机变量X的方差为，则=C. 已知随机变量X服从二项分布，则E（X）=2D. 已知随机变量X服从正态分布，若，则 【答案】BCD【解析】【分析】对A：由互斥事件与独立事件的定义即可判断；对B：由方差的性质即可判断；对C：由二项分布的期望公式即可判断；对D：利用正态分布的对称性即可判断.【详解】解：对A：由互斥事件与独立事件的定义，设事件A、B都是概率不为0的事件，若事件A与事件B是互斥事件，则，而若事件A与事件B是相互独立事件，则，故选项A错误；对B：由方差的性质可知，随机变量X的方差为，则=，故选
16、项B正确；对C：由随机变量X服从二项分布，则，故选项C正确；对D：由随机变量X服从正态分布，则，故选项D正确.故选：BCD.12. 如图，在菱形ABCD中，AB=2，BAD=60，将ABD沿对角线BD翻折到PBD位置，连接PC，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A. 任取三棱锥P-BCD中的三条棱，它们共面的概率为0.2B. 存在某个位置，使得PC与BD所成角为60C. PC与平面BCD所成角为45时，三棱锥P-BCD的体积最大D. 当二面角P-BD-C大小为90时，点D到面PBC的距离最大【答案】AC【解析】【分析】对于A：利用古典概型的概率公式直接求概率，即可判断；对于B：连结AC交BD
17、于E.证明出面PCE，得到PC.即可判断；对于C：证明出45时三棱锥P-BCD的高为最大，从而三棱锥P-BCD的体积最大；对于D：求出二面角P-BD-C大小为90时，点D到面PBC的距离.求出特殊位置当时，点D到面PBC的距离所以.判断出.即可否定结论.【详解】对于A：任取三棱锥P-BCD中的三条棱，有种，其中共面一共有4种，故概率为.故A正确；对于B：连结AC交BD于E.因为ABCD为菱形，所以,即,.又所以面PCE，所以PC.故B错误；对于C：因为面PCE，所以点P在底面的射影落在直线AC上，即为PC与平面BCD所成角，即45.因，所以，所以，即.又，,所以面BCD.此时三棱锥P-BCD的
18、高为最大.所以所以PC与平面BCD所成角为45时，三棱锥P-BCD的体积最大.故C正确；对于D：因为面PCE，所以即为二面角P-BD-C的平面角，即.此时设点D到面PBC的距离为.因为，所以.所以.由等体积法可得：，即，解得：.当时，三棱锥P-BCD的各边长均为2，为一个正四面体.此时记点D到面PBC的距离为，则为正四面体的高.如图示：过C作于F,则.过D作面PBC于G,则G为PBC的中心，所以.所以.因为，所以.故D错误.故选：AC.【点睛】（1）立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量；（2）立体几何中的几何关系的证明，用判定定理；立体几何中的计算，求角或求距离（求体
19、积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 的展开式中常数项是_（用数字作答）.【答案】【解析】【分析】根据二项式定理，可知的展开式通项为，令，求出，带入通项公式，即可求出结果.【详解】因为的展开式通项为，令，则，所以的展开式中常数项是.故答案为：.14. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点N为B1B的中点，则_.【答案】【解析】【分析】根据题意，建立适当的空间直角坐标系，即可求解.【详解】如图所示，以点为坐标原点，以，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，则，因为，点为的中点，所以，所以，故故答案为：
20、.15. 长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约80%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过40分钟，这些人的近视率约为90%，现从玩手机不超过40分钟的学生中任意周查一名学生，则他近视的概率为_.【答案】#【解析】【分析】利用条件求出每天玩手机不超过40分钟的学生的人数及其中近视的人数，再进行概率估计【详解】解：设该校共有名同学，则约有名学生近视，名学生每天玩手机超过40分钟且玩手机超过40分钟的学生中有名学生近视所以有名学生每天玩手机不超过40分钟且其中有名学生近视所以从每天玩手机不超过40分钟的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为故答案为：16. 某部件由三个电子
21、元件按如图方式连接而成，该部件要正常工作，需满足：元件D正常工作；元件C正常工作或部件A，B同时正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(100，)，且各个元件相互独立，那么该部件的使用寿命超过100小时的概率为_【答案】【解析】【分析】由三个电子元件的使用寿命均服从正太分布N(100，)可知每个元件使用寿命超过100小时的概率均为，根据独立事件概率计算方法即可计算该部件的使用寿命超过100小时的概率.【详解】因为三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(100，)，且各个元件相互独立，故每一个元件能用100小时以上的概率均为，设A元件能用100小时以上为事
22、件A，B元件能用100小时以上为事件B，C元件能用100小时以上为事件C，D元件能用100小时以上为事件D，则该部件的使用寿命超过100小时的概率为：故答案为：四解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 已知为偶数，.（1）当时，求的值；（2）证明：.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用二项式展开式的通项公式求解即可，（2）利用赋值法，分别令和，然后将得到的式子相加可得答案【小问1详解】当时，故【小问2详解】当时，即当时，即.由相加得：即有.18. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，PD=DC=3，且PBAM
23、（1）求AD的长；（2）求二面角P-AM-D的正弦值.【答案】（1）； （2）【解析】【分析】(1)以为一组基底，建立空间直角坐标系，设，求出各点坐标，根据求出a值，从而确定AD的长度；(2)求出平面PAM和平面DAM的法向量，利用向量方法即可求二面角的余弦值和正弦值【小问1详解】平面，四边形为矩形，不妨以为一组基底，建立如图所示的空间直角坐标系设，则则，则，解得，故；【小问2详解】，设平面的法向量为，则，取，可得，PD平面AMD，可设平面的法向量为，因此，二面角的正弦值为19. 高二某班级举办知识竞赛，从A，B两种题库中抽取3道题目（从A题库中抽取2道，从B题库中抽取1道）回答.小明同学对抽
24、取的A题库中的每道题目回答正确的概率均为，对抽取的B题库中的题目回答正确的概率为.设小明对竞赛所抽取的3道题目回答正确的个数为X.（1）求X=2时的概率；（2）求X的分布列及数学期望E（X）.【答案】（1） （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）由题意分析：X=2表示可能答得对A题库2题，也可能A题库1题，B题库1题，直接求概率；（2）的可能取值为.分别求概率，计算数学期望.【小问1详解】X=2不表示可能答得对A题库2题，也可能A题库1题，B题库1题，所以.【小问2详解】的可能取值为.所以；.的分布列为：0123所以数学期望为：20. 如图，底面为正方形的平行六面体的各个棱的长度均为，平面
25、平面分别是的中点.（1）证明：平面；（2）求点C到面的距离.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用向量的线性运算判断出，利用线面平行的判定定理证明平面；（2）以为一组正交基底，建立空间直角坐标系，用向量法求点到面的距离.【小问1详解】由题则又平面，所以平面.【小问2详解】在平面内，过点作，由平面平面可知：平面，又为正方形.现以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则设为平面的法向量，则,所以不妨取,则.又，所以则则点到面的距离为：21. 某工厂对一批零件进行质量检测.具体检测方案为：从这批零件中任取10件逐一进行检测.当检测到有2件不合格零件时，停止检测，此批零件检
26、测未通过，否则检测通过.假设每件零件为不合格零件的概率为0.1，且每件零件是否为不合格零件之间相互独立.（1）若此批零件检测未通过，求恰好检测4次的概率；（2）已知每件零件的生产成本为100元，合格零件的售价为180元/件.现对不合格零件进行修复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以20元/件按废品处理，若每件零件的修复费用为30元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为0.8.记X为生产一件零件获得的利润，求X的分布列和数学期望.小明说，对于不合格零件，直接按照废品处理更划算，从利润的角度出发，你同意小明的看法吗？试说明理由.【答案】（1）0.0243 （2）分布列见解析，73.8
27、（元）；不同意小明的看法，因为修复不合格雪件获得利润的数学期望更大【解析】【分析】（1）根据题意，由第四次检验不合格，前三次有一次检验不合格求解；（2）易得可取80，50，求得相应的概率，列出分布列，再求期望；由两个期望比较下结论.【小问1详解】解：若此批零件检测末通过，恰好检测4次，则第四次检验不合格，前三次有一次检验不合格，故恰好检测4次的概率.【小问2详解】由题意可得，合格产品利润为80元，不合格产品修复合格后利润为50元，不合格产品修复后不合格的利润为元，则可取80，50，故，故的分布列为：8050故（元）.对于不合格零件，直接按照废品处理，则每个零件获得利润的数学期望为：（元）又故不
28、同意小明的看法，因为修复不合格零件获得利润的数学期望更大22. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60，我们将这种坐标系称为“斜60坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60坐标系”下向量的斜60坐标：分别为“斜60坐标系”下三条数轴（x轴y轴z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60坐标为x，y，z，记作.（1）若，求的斜60坐标；（2）在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，如图，以为基底建立“空间斜60坐标系”.若，求向量的斜坐标；若，且，求.【答案】（1） （2）；2【解析】【分析】（1）根据所给定义可得，再根据空间向量线性运算法则计算可得；（2）设分别为与同方向的单位向量，则，根据空间向量线性运算法则得到，即可得解；依题意、且根据空间向量数量积的运算律得到方程，即可求出，再根据及向量数量积的运算律计算可得；【小问1详解】解：由，知，所以，所以；【小问2详解】解：设分别为与同方向的单位向量，则，由题，因为，所以，由知则
