1、计算-公式类计算-山顶数公式课程目标知识点考试要求具体要求考察频率山顶数公式A1.熟悉山顶数公式2.能够将一些式子变形后再利用山顶数公式进行计算。少考知识提要山顶数公式 公式 1+2+3+(n-1)+n+(n-1)+3+2+1=n2 精选例题山顶数公式 1. 1+2+8+9+10+9+8+2+1= 【答案】100【分析】1+2+3+n+3+2+1=nn，所以原式 =1010=100 2. 计算： 1+2+3+2013+2014= 1+2+3+2013+2014+2013+3+2+1= 1+3+5+7+2013= 【答案】 2029105； 4056196； 1014049【分析】1+2+3+2
2、013+2014=201420152=2029105;1+2+3+2013+2014+2013+3+2+1=20142=4056196; (2013-1)2+1=1007（个）数，1+3+5+7+2013=10072=1014049 3. 计算：(22+42+62+1002)-(12+32+52+992)1+2+3+10+9+2+1= 【答案】50.5【分析】原式=22-12+42-32+62-52+1002-9921+2+3+10+9+2+1=2+1+4+3+6+5+100+99102=50.5 4. 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+13333666
3、6+44448888= 【答案】21234321【分析】原式=1021111218+1111232=1001111250=21234321 5. 计算：1+2+3+2013+2014+2013+3+2+1= 【答案】4056196【分析】根据公式：1+2+3+(n1)+n+(n1)+3+2+1nnn2，原式=20142014=4056196 6. 计算：（1）1+2+3+4+5+20+5+4+3+2+1；（2）1+2+3+44+45+44+3+2+1；（3）2+4+6+18+6+4+2；（4）2+4+6+22+6+4+2；（5）21+22+23+50+23+22+21【答案】（1）400；（2
4、）2025；（3）162；（4）242；（5）2080【分析】（1）1+2+3+4+5+20+5+4+3+2+1=2020=400;（2）1+2+3+45+3+2+1=4545=2025;（3）2+4+6+18+6+4+2=2(1+2+3+9+3+2+1)=299=162;（4）2+4+6+22+6+4+2=2(1+2+3+11+3+2+1)=21111=242;（5）21+22+23+50+23+22+21=(1+2+3+50+3+2+1)-(1+2+3+20+3+2+1)-20=502-202-20=2500-400-20=2080. 7. 计算：（1）111111111111;（2）11
5、11111111111111;（3）1+2+3+8+9+10+9+8+3+2+1;（4）1+2+3+28+29+30+29+28+3+2+1;（5）111111999999;（6）1111111199999999.【答案】（1）12345654321；（2）123456787654321；（3）100；（4）900；（5）111110888889；（6）1111111088888889；【分析】（1）12345654321;（2）123456787654321;（3）1010=100;（4）3030=900;（5）111111999999=111110888889;（6）11111111999
6、99999=1111111088888889. 8. 计算：（1）111111111111111111；（2）1+2+3+98+99+100+99+98+3+2+1【答案】（1）12345678987654321；（2）10000【分析】（1）观察算式发现是连续的 9 个 1 相乘，观察下面算式的特点，然后再归纳，这样计算比较简便11=1,1111=121,111111=12321,11111111=1234321,1111111111=123454321,111111111111111111=12345678987654321.（2）观察算式发现左边是自然数等差数列右边是自然数等差数，我们可
7、以把这样的数列起名为金字塔数列可以用等差数列公式，但是我们可以从简单入手再来观察该题这样计算比较简便1+2+1=22=4,1+2+3+2+1=33=9,1+2+3+4+3+2+1=44=16,1+2+3+4+5+4+3+2+1=55=25,1+2+3+98+99+100+99+98+3+2+1=100100=10000. 9. 计算：（1）1+3+5+7+9+139；（2）1+2+3+4+19+20+19+7+6【答案】（1）4900；（2）385【分析】（1）项数：(139-1)2+1=1382+1=70(项),和：7070=4900.（2）先补成金字塔数列，然后减去补的数2020-(5+4
8、+3+2+1)=400-15=385.10. 计算：（1）1+2+3+4+5+11+5+4+3+2+1；1+2+3+100+3+2+1；（2）2+4+6+8+100+8+6+4+2；（3）51+52+100+52+51【答案】（1）121；10000；（2）5000；（3）7450【分析】（1）观察算式发现是山顶和公式原式=1111=121;原式=100100=10000;（2）观察算式发现这个算式不符合山顶和，但是能不能变成山顶和呢，可以提取公因数 2，所以可以变成 2(1+2+3+50+3+2+1)原式=2(1+2+3+50+3+2+1)=25050=5000;（3）观察算式发现这个算式不
9、能直接用山顶和公式，但是可以用借来还去的思想变成山顶和公式原式=(1+2+3+100+3+2+1)-(1+2+3+50+3+2+1)-50=1002-502-50=10000-2500-50=7450.11. 已知 (1+2+3+4+5+4+3+2+1)(123454321)=x2，求 x 的值【答案】55555【分析】因为 1+2+3+4+5+4+3+2+1=52，123454321=111112，x2=52111112=(511111)2=555552，所以 x=5555512. (1+2+3+2007+2008+2007+3+2+1)2008=【答案】2008【分析】观察原式可知，1、2
10、、32007 分别可与 2007、2006、20051 组成 2008，于是括号中有 2008 个 2008，故原式结果为 200813. 观察下面的几个算式：1+2+1=4,1+2+3+2+1=9,1+2+3+4+3+2+1=16,1+2+3+4+5+4+3+2+1=25根据你所发现的规律，请直接写出下面式子的结果：1+2+3+99+100+99+3+2+1= 【答案】10000【分析】1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=33,1+2+3+4+3+2+1=16=44,1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=55,即左边数列的和是中间最大数的平方，所以：1+2+3+99+100+9
11、9+3+2+1=100100=1000014. 计算：（1）1+3+5+7+9+41；（2）1+2+28+29+30+29+28+2+1【答案】（1）441；（2）900【分析】（1）从 1 开始的连续奇数相加，“天下无双，项数平方”，所以先求出项数，项数：(41-1)2+1=21,1+3+5+7+9+41=2121=441;（2）金字塔数列 ,和=中间数中间数，1+2+28+29+30+29+28+2+1=3030=900.15. 计算：（1）1+3+5+7+9+11+13+15；（2）39+34+31+3+1；（3）1+2+3+4+5+100+99+98+3+2+1；（4）1+2+3+4+
12、5+50+49+48+6+5【答案】（1）64；（2）400；（3）10000；（4）2490【分析】（1）方法一、利用高斯求和，可得(1+15)82=1682=64方法二、从 1 开始的连续奇数，和为项数的平方，即88=64.（2）想要求和，需要知道项数，项数：(39-1)2+1=382+1=20(项).方法一、利用高斯求和，可得(39+1)202=40202=4010=400.方法二、从 1 开始的连续奇数，和为项数的平方，即2020=400.（3）方法一、利用高斯求和1+2+3+4+5+100=5050,99+98+3+2+1=5050-100=4950,5050+4950=10000.
13、方法二、此数列从 1 连续上升，再连续下降到 1，为金字塔数列，金字塔数列和为 中间项中间项，即100100=10000.（4）先补成金字塔数列，再减去补的数，即5050-(4+3+2+1)=2490.16. 计算：（1）1+2+3+4+49+50+49+48+6+5；（2）1+3+5+7+9+999【答案】（1）2490；（2）250000【分析】（1）1 连续上升到 50 再连续下降到 1，为金字塔数列，和=中间数中间数，此题少 (4+3+2+1)，可以先补后减，1+2+3+4+49+50+49+48+6+5=5050-(4+3+2+1)=2500-10=2490;（2）从 1 开始的连续奇数，和=项数项数，所以先求项数，再求和，项数：(999-1)2+1=9982+1=500,1+3+5+7+9+999=500500=250000.17. 计算：11+12+22+12+13+23+33+23+13+11995+21995+19951995+11995.【答案】1991010【分析】原式=1+222+323+199521995=1+2+3+4+1995=1991010.
