1、专题15 二次函数的应用与综合问题一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1（2020浙江绍兴模拟预测）某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=-32t2+12t+30，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A3sB4sC5sD6s2（2022浙江衢州统考二模）某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件超市为了每月获利8000元，则每件应涨价多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为（）A(50-40+x)(500-x)=8000B(40+x)(5
2、00-10x)=8000C(50-40+x)(500-10x)=8000D(50-x)(500-10x)=80003（2022浙江绍兴统考一模）如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y=-112x2+23x+53，则该同学此次投掷实心球的成绩是（）A2mB6mC8mD10m4（2022浙江金华统考一模）函数y=ax2+bx图象如图，一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m最大值为（）A-3B-5C3D95（2021浙江杭州统考一模）一次足
3、球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m已知球门高是2.44m，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（）A10mB8mC6mD5m6（2022浙江杭州模拟预测）如图，二次函数y=-x2+ x+6及一次函数y=x+m，将该二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是()A14m3B254m6C2m6D-7m-37（2022浙江绍兴统考一模）如图，周长为定值的平行四边形ABCD中，B=60，设AB的长为x，AD的长为y，
4、平行四边形ABCD的面积为S当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A反比例函数关系，一次函数关系B反比例函数关系，二次函数关系C一次函数关系，反比例函数关系D一次函数关系，二次函数关系8（2022浙江嘉兴统考一模）已知抛物线y=x2+3x+c-3x0与直线y=x-2有且只有一个交点，若c为整数，则c的值有（）A1个B2个C3个D4个9（2022浙江杭州二模）如图1，在平行四边形ABCD中，B=60，BC=2AB，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线B-C-D运动到点D
5、停止图2是点P、Q运动时，BPQ的面积S与运动时间t函数关系的图象，则a的值是（）A63B93C6D1210（2022浙江宁波校联考一模）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(3，4)，M是抛物线y=ax2+bx+2(a0)对称轴上的一个动点，小明经探究发现：当ba的值确定时，抛物线的对称轴上能使AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定当ba满足（）时，抛物线y=ax2+bx+2(a0)的对称轴上存在4个不同的点M，使AOM为直角三角形.A0ba2B-8ba2C-3ba0D-6ba0二、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2022浙江杭州统考一模
6、）一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(米)与时间t(秒)的数据如表：时间t(秒)1234距离s(米)3122748写出用t表示s的函数关系式：_12（2021浙江温州模拟预测）如图，抛物线y=12x2-ax与函数y=12x的图象在第一象限交点的横坐标为4，点At,y1在抛物线上，点Bt+1,y2在正比例函数的图象上，当0t3时，y2-y1的最大值为_13（2021浙江温州校考一模）2021年1月12日世界最大跨度铁路拱桥贵州北盘江特大桥主体成功合拢如图2所示，已知桥底呈抛物线，主桥底部跨度OA=400米，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，桥
7、面BF/OA，抛物线最高点离路面距离EF=10米，BC=120米，CDBF，O，D，B三点恰好在同一直线上，则CD=_米14（2022浙江金华校考一模）如图，设定点A（1，3），点P是二次函数y=12（x+5）2+3图象上的动点，将点P绕着点A顺时针旋转60，得到一个新的点P.已知点B（2，0）、C（3，0）.(1)若点P为（-5，3），求旋转后得到的点P的坐标为 _ (2)求BCP的面积最小值为_ 15（2022浙江金华校联考一模）如图，点A，B是直线AB上的固定的两点，AB5点M是平面内一动点，满足MBMA=23（1）当ABM为等腰三角形时，ABM的周长为_（2）当ABM的面积最大时，AM
8、_16（2021浙江湖州统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰ABO的顶点A在y轴上，ABOB，tanAOB2，抛物线yx2+bx+2过点A（1）若点O关于AB中点的中心对称点O也恰好在抛物线yx2+bx+2上，则b_；（2）若将ABO绕点A按逆时针方向旋转45，得到ABO，点B在抛物线yx2+bx+2上，则b_三、解答题（本大题共7小题，共66分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（2022浙江宁波校联考一模）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c经过A(1，0)，B(3，0)两点(1)求抛物线的解析式；(2)当0x0)个单位，使平移后每到的二次函数图象的顶点落在ABC的内部
9、（不包括ABC的边界），求m的取值范围；(3)若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线AC上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由专题15 二次函数的应用与综合问题一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1（2020浙江绍兴模拟预测）某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=-32t2+12t+30，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A3sB4sC5sD6s【答案】B【分析】把二次函数的一般式写成顶点式，找出顶点坐标，即可知道多长时间后
10、得到最高点【详解】解：礼炮在点火升空到最高点引爆，h=-32t2+12t+30=-32t-42+54，-320，这个二次函数图象开口向下，当t=4时，升到最高点故选：B【点睛】本题考查二次函数的应用，判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标的值是解决本题的关键2（2022浙江衢州统考二模）某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件超市为了每月获利8000元，则每件应涨价多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为（）A(50-40+x)(500-x)=8000B(40+x)(500-10x)=8000C(50-
11、40+x)(500-10x)=8000D(50-x)(500-10x)=8000【答案】C【分析】设这种衬衫每件涨价x元，则销售量为（500-10x）件，根据“总利润=每件衬衫的利润销售量”列出一元二次方程，解方程后根据题意取舍即可得【详解】解: 设这种衬衫每件涨价x元，则销售量为（500-10x）件，根据题意，得(50-40+x)(500-10x)=8000，故选：C【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目中蕴含的相等关系，列出一元二次方程3（2022浙江绍兴统考一模）如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是
12、抛物线如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y=-112x2+23x+53，则该同学此次投掷实心球的成绩是（）A2mB6mC8mD10m【答案】D【分析】根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可【详解】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，则-112x2+23x+53=0，整理得：x2-8x-20=0，解得：x1=10，x2=-2（舍去），该同学此次投掷实心球的成绩为10m，故选：D【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题4（2
13、022浙江金华统考一模）函数y=ax2+bx图象如图，一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m最大值为（）A-3B-5C3D9【答案】C【分析】求m最大值转化为二次函数y=ax2+bx的图象与直线ym有交点，解不等式得解【详解】解：一元二次方程ax2+bx+m=0 有实数根，二次函数y=ax2+bx的图象与直线ym有交点，由图象得，m3，解得m3，m的最大值为3，故答案选：C【点睛】本题考查的是利用函数图像解不等式，把最值问题转化为两个函数图像有交点的问是解答此题的关键5（2021浙江杭州统考一模）一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离
14、为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m已知球门高是2.44m，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（）A10mB8mC6mD5m【答案】A【分析】建立坐标系，利用二次函数的顶点式求解判断【详解】解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为y=a(x-6)2+3将（0，0）代入解析式得a-112，抛物线解析式为y=-112(x-6)2+3，当x10时，y-112(10-6)2+3=53，532.44，满足题意，故选：A【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，选择顶点式求二次函数的表达式是解题的关键6（2022浙江杭州模拟预测）如图，二次函数y=-x2+ x+6及一次函数y=x+m，将该二次函
15、数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是()A14m3B254m6C2m6D-7m-3【答案】D【分析】如图所示，过点B作直线y=x+m，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数y=x+m在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解【详解】解：在y=-x2+x+6中，当y=0，0=-x2+x+6，当x=0时，y=6，解得x1=-2，x2=3，B(3,0)，如图，当直线y=x+m经过点B时，直线y=x+m与新图有3个交点，把B(3,0)代入y=x+m中，得m=-3，抛物线y=-x2+x+6翻折到x轴下方的
16、部分的解析式为y=a(x-3)(x+2)，翻折后与y轴的交点坐标为(0,-6)，将点(0,-6)代入得出：a=1，翻折后的部分解析式为：y=x2-x-6(-2x3)，当直线y=x+m与抛物线y=x2-x-6(-2x3)相切与点C时，直线y=x+m与图象有3个交点，把y=x+m代入y=x2-x-6(-2x3)中，得到方程x+m=x2-x-6有两个相等的实数根，整理得x2-2x-6-m=0，(-2)2-41(-6-m)=0，解得m=-7，当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是-7m-3故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数图象与一次函数图象综合，理解题意，找准临界点是解题关键7（20
17、22浙江绍兴统考一模）如图，周长为定值的平行四边形ABCD中，B=60，设AB的长为x，AD的长为y，平行四边形ABCD的面积为S当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A反比例函数关系，一次函数关系B反比例函数关系，二次函数关系C一次函数关系，反比例函数关系D一次函数关系，二次函数关系【答案】D【分析】根据平行四边形ABCD中，B=60，设平行四边形ABCD的周长为定值a，AB的长为x，作AEBC于点E，可求AE长，进而表示出函数，即可求解【详解】解：设平行四边形ABCD的周长为a，AB的长为x，AD的长为y，则y+x=12a，y=-x+12
18、a；作AEBC于点E，B=60，AB的长为x，AE=32x，平行四边形ABCD的面积S=32x(-x+12a)=-32x2+3a4x，y与x满足的是一次函数关系，S与x满足的是二次函数关系故选：D【点睛】本题考查的是二次函数和一次函数的应用，关键是找等量关系列出函数解析式8（2022浙江嘉兴统考一模）已知抛物线y=x2+3x+c-3x0与直线y=x-2有且只有一个交点，若c为整数，则c的值有（）A1个B2个C3个D4个【答案】D【分析】由函数解析式作出抛物线与直线的图象，根据图象关系计算求值即可；【详解】解：y=x2+3x+c-3x0，对称轴为：x=-32，x=0时，y=c；x=-3时，y=c
19、，如图为抛物线与直线关系图， 由图象可知：当直线过抛物线左端点时c=-5，当直线过抛物线右端点时c=-2，当-5c-2时，直线与抛物线只有一个交点，c为整数时可取-5，-4，-3，令x2+3x+c=x-2，则x2+2x+2+c=0，=0时4-42+c=0，解得 c=-1，此时方程有两个相等的实数根，抛物线与直线只有一个交点，c的值为：-5，-4，-3，-1，故选： D【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点问题，利用图象法确定交点个数是解题关键9（2022浙江杭州二模）如图1，在平行四边形ABCD中，B=60，BC=2AB，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q
20、从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线B-C-D运动到点D停止图2是点P、Q运动时，BPQ的面积S与运动时间t函数关系的图象，则a的值是（）A63B93C6D12【答案】B【分析】根据题意计算得AB=6；再结合题意，得当动点Q在BC上时，BPQ的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系；当动点Q在CD上时，BPQ的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系，从而得a对应动点Q和点C重合；通过计算SBPC，即可得到答案【详解】解：动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，一共用6秒钟，AB=16=6，BC=2AB=26=12，四边形ABCD为平行四边形，AB=CD=6，当动点Q在
21、BC上时，BPQ的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系，当动点Q在CD上时，BPQ的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系，a对应动点Q和点C重合，如图：动点Q以每秒4个单位的速度从点B出发，4t=12，t=3，AP=t=3，BP=AB-AP=6-3=3，如图，过点C作CEAB，交AB于点E ，CE=BCsinB=1232=63，SBPC=12BPCE=12363=93，即a=93故选：B【点睛】本题考查了平行四边形、函数图像，二次函数、一次函数、三角函数,与三角形高有关的计算等知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、三角函数的性质，从而完成求解10（2022浙江宁波校联考一模）已知在
22、平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(3，4)，M是抛物线y=ax2+bx+2(a0)对称轴上的一个动点，小明经探究发现：当ba的值确定时，抛物线的对称轴上能使AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定当ba满足（）时，抛物线y=ax2+bx+2(a0)的对称轴上存在4个不同的点M，使AOM为直角三角形.A0ba2B-8ba2C-3ba0D-6ba0【答案】A【分析】分AOM=90，OAM=90和OMA=90 确定点M的运动范围，结合抛物线的对称轴与l1，l2，P共有三个不同的交点，确定对称轴的位置即可得出结论【详解】解：由题意得：O（0，0），A（3，4）AOM为直角三角形，则有：当AOM=9
23、0时，OAOM 点M在与OA垂直的直线l1上运动 （不含点O）；如图，当OAM=90时，OAAM，点M在与OA垂直的直线l2上运动 （不含点A）；当OMA=90时，OMAM，点M在与OA为直径的圆上运动，圆心为点P，点P为OA的中点，P(32,2) 半径r=12AO=1232+42=52 抛物线y=ax2+bx+2(a0)的对称轴与x轴垂直，抛物线y=ax2+bx+2(a0)的对称轴与l1，l2分别有一个交点，由题意得，抛物线的对称轴与l1，l2，P有四个不同的交点，抛物线的对称轴与P有两个交点，且对称轴应在P的两条切线l3、l4之间点P到切线l3，l4的距离d=r=52 ，P(32,2)直线
24、l3的解析式为：x=32-52=-1；直线l4的解析式为：x=32+52=4；当-b2a=-1时，ba=2当-b2a=4时，ba=-8-8ba2且ba0 ba3故选：A【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有圆的切线的判定，直角三角形的判定，综合性较强，有一定难度运用数形结合、分类讨论是解题的关键二、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2022浙江杭州统考一模）一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(米)与时间t(秒)的数据如表：时间t(秒)1234距离s(米)3122748写出用t表示s的函数关系式：_
25、【答案】s=3t2【分析】通过观察发现距离都为3的倍数，进一步可观察到表中数据的规律，从而得到答案【详解】解：1秒时，距离为3；2秒时，距离为34=322；3秒时，距离为39=332；4秒时，距离为316=342；. t秒时，距离为3t2 =3t2s=3t2故答案为：s=3t2【点睛】本题考查了二次函数的应用题解决本题的关键是发现距离都为3的倍数，进而得到规律12（2021浙江温州模拟预测）如图，抛物线y=12x2-ax与函数y=12x的图象在第一象限交点的横坐标为4，点At,y1在抛物线上，点Bt+1,y2在正比例函数的图象上，当0t3时，y2-y1的最大值为_【答案】52【分析】根据第一象
26、限的交点求出a的值，再表示出y1，y2，列出y2-y1关于t的二次函数，根据函数的性质即可求解【详解】把x=4代入y=12x得y=2把x=4，y=2代入y=12x2-ax得2=1242-4a解得a=32y=12x2-32x当x=t时，y1=12t2-32t，当x=t+1时，y2=12t+1=12t+12当0t3时，y2-y1=12t+12-12t2-32t=-12t2+2t+12=-12t-22+52-120，当t=2时，y2-y1的最大值为52故答案为：52【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是根据题意列出关于t的二次函数进行求解13（2021浙江温州校考一模）2021年1月
27、12日世界最大跨度铁路拱桥贵州北盘江特大桥主体成功合拢如图2所示，已知桥底呈抛物线，主桥底部跨度OA=400米，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，桥面BF/OA，抛物线最高点离路面距离EF=10米，BC=120米，CDBF，O，D，B三点恰好在同一直线上，则CD=_米【答案】18【分析】根据题意设表达式为y=axx-400，得到E、F、B、D的坐标，可得CD，证明BCDOAB，得到BCCD=AOAB，求出a值，可得CD【详解】解：设抛物线y=axx-400a0，则E200,-40000a，F200,-40000a+10，B400,-40000a+10，D280,a280-120
28、=280,-33600a，CD=-40000a+10-33600a=-6400a+10，B，D，O共线，CBD=AOB，又BCD=BAO=90，BCDOAB，BCCD=AOAB，120-6400a+10=400-40000a+10，解得：a=-1800，经检验：a=-1800是原方程的解，CD=-6400a+10=64001800+10=18故答案为：18【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，相似三角形的判定和性质，根据已知条件设出函数表达式，从而表示相应点的坐标是解题的关键14（2022浙江金华校考一模）如图，设定点A（1，3），点P是二次函数y=12（x+5）2+3图象上的动点，将点P绕着
29、点A顺时针旋转60，得到一个新的点P.已知点B（2，0）、C（3，0）.(1)若点P为（-5，3），求旋转后得到的点P的坐标为 _ (2)求BCP的面积最小值为_ 【答案】 (1,33) 33-32【分析】（1）由函数关系式求出点P坐标，过点P作PD/x轴，过点B作BDPD于点D，求出PBD=60，故可知P在BD的延长线上，且PD=BD=23,故可得结论；（2）连接AB，AC，将B，C绕点A逆时针旋转60得B，C，作AHx轴于点H，证明CAOCAB（SAS），利用待定系数法求出OC的函数表达式为：y=3x，设过P且与BC平行的直线l解析式为y=3x+b，由于SBCP=SBCP，当直线l与抛物线
30、相切时取最小值，再利用一元二次方程根的判别式求解即可【详解】解：（1）y=12（x+5）2+3抛物线的顶点坐标为（-5，3）点P为抛物线的顶点，过点P作PD/x轴，过点B作BDPD于点D，如图，P（-5，3），A（1，3），D(1,3) PD=5+1=6，AD=23 又PDAD=623=3 tanPAD=3 PAD=60 BCP是等边三角形，P在BD的延长线上，且PD=BD=23,PB=33 P(1,33) 故答案为：P(1,33)（2）如图，连接AB，AC，将B，C绕点A逆时针旋转60得B，C，作AHx轴于点HA（1，-3），B（2，0），C（3，0），OH=BH=1，BC=1，OA=AB=
31、OB=2，OAB为等边三角形，此时B与O重合，即B（0，0），连接CO，CAC=BAB=60，CAB=CAB，在CAO和CAB中，CACACAOCABBAOA，CAOCAB（SAS），CO=CB=1，COA=CBA=120，作CGy轴于G，在RtCGO中，COG=90-CBC=30，CG=12OC=12，OG=32，C（12，32），此时OC的函数表达式为：y=3x，设过P且与BC平行的直线l解析式为y=3x+b，SBCP=SBCP，当直线l与抛物线相切时取最小值，则y3x+by12(x+5)2+3 ，即3x+b=12(x+5)2+312x2+(5-3)x+252+3-b=0当=0时，即(5-
32、3)2-412(252+3-b)=0 解得b=63-32，y=3x+63-32，设l与y轴交于点T，连接CT，SBCT=SBCP，SBCP=12BTCG=12(63-32)=33-32故答案为：33-32【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，全等三角形判定和性质，等边三角形性质等知识，熟练掌握一次函数、二次函数的图象和性质，全等三角形判定和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想是解题关键15（2022浙江金华校联考一模）如图，点A，B是直线AB上的固定的两点，AB5点M是平面内一动点，满足MBMA=23（1）当ABM为等腰三角形时，ABM的周长为_（2）当ABM的
33、面积最大时，AM_【答案】 17.5或403 313【分析】（1）分两种情况讨论：若AB=BM=5，若AM=AB=5，即可求解；（2）过点M作MNAB交直线AB于点N，设BN=x，MN=h，可得BM2=x2+h2，AM2=x+52+h2，再由MBMA=23，可得h2=-x2+8x+20，再由SABM=12ABMN=52h，从而得到当ABM的面积最大时，h最大，即h2最大，利用二次函数的性质，即可求解【详解】解：（1）若AB=BM=5，MBMA=23，MA=152，ABM的周长为5+5+152=17.5；若AM=AB=5，MBMA=23，MB=103，ABM的周长为5+5+103=403；综上所
34、述，ABM的周长为17.5或403；故答案为：17.5或403（2）如图，过点M作MNAB交直线AB于点N，设BN=x，MN=h，BM2=x2+h2，AM2=x+52+h2，MBMA=23，MB2MA2=49，x2+h2x+52+h2=49，解得：h2=-x2+8x+20=-x-42+36，当x=4时，h2最大，最大值为36，即h的最大值为6，SABM=12ABMN=52h当ABM的面积最大时，h最大，即h2最大，此时AM=4+52+62=313故答案为：313【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，利用分类讨论思想
35、解答是解题的关键16（2021浙江湖州统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰ABO的顶点A在y轴上，ABOB，tanAOB2，抛物线yx2+bx+2过点A（1）若点O关于AB中点的中心对称点O也恰好在抛物线yx2+bx+2上，则b_；（2）若将ABO绕点A按逆时针方向旋转45，得到ABO，点B在抛物线yx2+bx+2上，则b_【答案】 52 2+926【分析】（1）如图1，过点B作BCx轴于C，根据x=0可求得点A的坐标，根据三角函数的定义可得BC=2，即点B的坐标（2，1），然后将点B的坐标代入抛物线的解析式求出b的值即可；（2）如图2，过点B作BHAB于H，过H作GMy轴于G，过点
36、B作BMGM于M，可证AHB是等腰直角三角形，得AH=BH=102，再证AGHHMBAAS），根据三角函数可得AG=HM=22，GH=BM=2，确定点B的坐标，最后代入抛物线的解析式求出b的值即可【详解】解：（1）如图1，过点B作BCx轴于C，当x=0时，y=2，A（0，2）AB=0B，OC=12OA=1tanAOB=BCOC=2BC=2B（2，1）AB的中点坐标为（1，32），点O关于AB中点的中心对称点O的坐标为（2，3），该点O也恰好在抛物线y=-x2+bx+2上，-4+2b+2=3，解得b=52；故答填52；（2）如图2，过点B作BHAB于H，过H作GMy轴于G，过点B作BMGM于M，
37、由（1）得：AB=AC2+BC2=5，由旋转的性质可得：AB=AB=5，BAB=45，AHB=90，AHB是等腰直角三角形，AH=BH=102AGH=GAH+AHG=AHG+MHB=90，GAH=MHB，AGH=M=90，AH=BH，AGHHMBAAS），GH=BM，HM=AG，tanBAO=GHAG=2，AG=HM=22，GH=BM=2，OG=2-22B(322,2+22) 该点B也恰好在抛物线y=-x2+bx+2上，-92+32b2+2=2+22，解得b=2+926故答填2+926【点睛】本题属于二次函数的综合运用，主要考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、三角函数的定义、三
38、角形全等的性质和判定等知识点，确定点B和B的坐标是解答本题的关键三、解答题（本大题共7小题，共66分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（2022浙江宁波校联考一模）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c经过A(1，0)，B(3，0)两点(1)求抛物线的解析式；(2)当0x3时，直接写出y的取值范围；(3)点P为抛物线上一点，若SPAB=10，求出此时点P的坐标【答案】(1)y=-x2+2x+3(2)0y4(3)P(4,-5)或P(-2,-5)【分析】（1）将A与B的坐标代入抛物线的解析式即可求出b与c的值，（2）根据图象即可求出y的取值范围，（3）设P（x，y），PAB的高为|y|，AB=4，由SPAB=10列出方程即可求出y的值，从而可求出P的坐标
