1、专题21 多边形与平行四边形一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1（2022宁海县校级开学）一个n边形的每个外角都是45，则这个n边形的内角和是（）A1080B540C2700D21602（2021春嵊州市期末）已知ABC中，ABAC，求证：B90，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：A+B+C180，这与三角形内角和为180矛盾因此假设不成立B90假设在ABC中，B90由ABAC，得BC90，即B+C180这四个步骤正确的顺序应是（）ABCD3（2019春萧山区期中）下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是（）ABCD4（2022春西湖区
2、期中）四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）ABADBCD，ABCADCBABCADC，ABCDCABCD，OBODDABCD，OAOC5（2022秋西湖区校级月考）如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1l2，则（）A72B78C84D906（2022秋西湖区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，EFBD，在现有点、线及字母的情况下，图中能表示的与ADF面积相等的（除ADF外）三角形有（）A3个B4个C5个D6个7（2022衢江区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB5，AD8，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长
3、线于点F若AE6，则CEF的周长为（）A13B10.5C10D9.68（2022金东区二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AD于点F；分别以点B，F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧相交于点G；连结AG并延长，交BC于点E连结BF，若AE8，BF6，则AB的长为（）A5B8C12D159（2022宁波模拟）如图，O是ABCD对角线AC上一点，过O作EFAD交AB于点E，交CD于点F，GHAB交AD于点G，交BC于点H，连结GE，GF，HE，HF，若已知下列图形的面积，不能求出ABCD面积的是（）A四边形EHFGBAEG和CHFC四边形EBHO和四边形G
4、OFDDAEO和四边形GOFD10（2022嘉兴一模）如图1，直线l1l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形下列判断正确的是（）A都正确B错误，正确C都错误D正确，错误二、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2022上城区一模）如图为北京2022年冬残奥会会徽纪念邮票，其规格为边长14.92毫米的正八边形，则正八边形的内角和为 12（2022钱塘区二模）如图，在ABCD中，点E、F分别为AD、DC的
5、中点，BFCD，已知BF8，EF5，则ABCD的周长为 13（2022诸暨市二模）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则BAC的度数为 14（2022仙居县二模）如图，平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，1），D（2，3），要把顶点A平移到顶点C的位置，则其平移方式可以是：先向右平移 个单位，再向上平移 个单位15（2021长兴县模拟）如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC，分别以点A，C为圆心画弧，交于M，N两点，直线MN与AD，BC分别交于点E，F，连结AF，CE若AC4，EF2，则AE的长是 16（2022永嘉县三模）如图，在平行
6、四边形ABCD中，AB6，BC8，B30，点E从点D出发沿DC方向匀速向终点C运动，同时点F从点C出发沿CB方向匀速向终点B运动，它们同时到达终点，记EDx，则CEF的面积为 （用含x的代数式表示）三、解答题（本大题共7小题，共66分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（2022滨江区二模）在ADBC，ADBC，BADBCD这三个条件中选择其中一个你认为合适的，补充在下面的问题中，并完成问题的解答问题：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OAOC，若 （请填序号），求证：四边形ABCD为平行四边形18（2022海曙区一模）在44的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细
7、观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答（1）请在六个图案中，选出三个具有相同对称性的图案选出的三个图案是 （填写序号）；它们都是 图形（填写“中心对称”或“轴对称”）；（2）请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个44的方格也具有（1）中所选图案相同的对称性19（2022平阳县一模）如图，在ABCD中，点E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，连结BE（1）求证：DEACEF；（2）若BFCD，D52，求ABE的度数20（2022诸暨市二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB10，AD8，DAB，ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F（1）求EF的长（2）把题中的条件
8、“AD8”去掉，其余条件不变当点E与点F重合时，求AD的长当点E与点C重合时，判断四边形ABCD的形状21（2021永嘉县校级模拟）如图，在ABC中，D为AB的中点，点E在AC上，F在DE的延长线上，DEEF，连接CF，CFAB（1）如图1，求证：四边形DBCF是平行四边形；（2）如图2，若ABAC，请直接写出图中与线段CF相等的所有线段22（2020温岭市模拟）如图，在ABCD中，ABC和BCD的角平分线BE与CE相交于点E，且点E恰好落在AD上；（1）求证：BE2+CE2BC2；（2）若AB2，求ABCD的周长23（2021长兴县模拟）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD2
9、AD，点E在线段OC上，且OECE（1）求证：OBEADO；（2）若F，G分别是OD，AB的中点，且BC10，求证：EFG是等腰三角形；当EFEG时，求ABCD的面积专题21 多边形与平行四边形一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1（2022宁海县校级开学）一个n边形的每个外角都是45，则这个n边形的内角和是（）A1080B540C2700D2160【分析】根据多边形的外角和是360度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数，根据内角和定理即可求得内角和【解答】解：多边形的边数是：360458，则多边形的内角和是：（82）1801080故答案为：A2（2
10、021春嵊州市期末）已知ABC中，ABAC，求证：B90，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：A+B+C180，这与三角形内角和为180矛盾因此假设不成立B90假设在ABC中，B90由ABAC，得BC90，即B+C180这四个步骤正确的顺序应是（）ABCD【分析】根据反证法的一般步骤判断即可【解答】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在ABC中，B90，2、由ABAC，得BC90，即B+C180，3、A+B+C180，这与三角形内角和为180矛盾，4、因此假设不成立B90，故选：D3（2019春萧山区期中）下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是（）
11、ABCD【分析】利用平行四边形的性质，根据三角形的面积和平行四边形的面积逐个进行判断，即可求解【解答】解：A、无法判断阴影部分面积是否等于平行四边形面积一半，错误；B、因为两阴影部分的底与平行四边形的底相等，高之和正好等于平行四边形的高，所以阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；C、根据平行四边形的对称性，可知小阴影部分的面积等于小空白部分的面积，所以阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；D、因为高相等，三个底是平行四边形的底，根据三角形和平行四边形的面积可知，阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确故选：A4（2022春西湖区期中）四边形ABCD的对角线AC、BD交
12、于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）ABADBCD，ABCADCBABCADC，ABCDCABCD，OBODDABCD，OAOC【分析】根据题意画出图形，然后根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可【解答】解：如图，ABADBCD，ABCADC，四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；BABCADC，ABCD，BAD+ADC180，DCB+ABC180，BADBCD，四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；CABCD，OBOD，ABOCDO，AOBCOD，ABOCDO，ABCD，四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；DABCD，OAOC不能判定四
13、边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；故选：D5（2022秋西湖区校级月考）如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1l2，则（）A72B78C84D90【分析】如图，延长AB并交l2于点M由l1l2，得BMF由BMF+MBA，得BMAMBF，那么MBA欲求，需求MBA由正五边形的性质，得MBA72，从而解决此题【解答】解：如图，延长CB并交l1于点M五边形ABCDE是正五边形，正五边形ABCDE的每个外角相等MBA72l1l2，BMFBMF+MBA，BMAMBFMBA72故选：A6（2022秋西湖区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，EFBD，在现有点、线及字母的情况
14、下，图中能表示的与ADF面积相等的（除ADF外）三角形有（）A3个B4个C5个D6个【分析】可推出SACFSADFSACDS平行四边形ABCD，进而得出ACE，ABE，BCF，BDF的面积均为ABCD面积的，从而得出结果【解答】解：点E是BC的中点，CEBE，EFBD，1，点F是CD的中点，SACFSADFSACD，四边形ABCD是平行四边形，SACDS平行四边形ABCD，同理可得，ACE，ABE，BCF，BDF的面积均为ABCD面积的，与ADF面积相等的三角形共5个，故选：C7（2022衢江区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB5，AD8，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F
15、若AE6，则CEF的周长为（）A13B10.5C10D9.6【分析】由平行四边形的性质得出ABDC，BAFDAF，证出DFAD8，BEAB5，求出ABE的周长为16，由相似三角形的性质可求出答案【解答】解：在ABCD中，CDAB5，BCAD8，BAD的平分线交BC于点E，ABDC，BAFDAF，BAFF，DAFF，DFAD8，同理BEAB5，CFDFCD853，AE6，ABE的周长等于5+5+616，四边形ABCD是平行四边形，ABCF，CEFBEA，相似比为3：5，CEF的周长为9.6，故选：D8（2022金东区二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AD
16、于点F；分别以点B，F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧相交于点G；连结AG并延长，交BC于点E连结BF，若AE8，BF6，则AB的长为（）A5B8C12D15【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出AB即可【解答】解：如图，连接FG，设AE交BF于点O由作图可知：ABAF，AE平分BAD，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，FAEAEBBAE，ABBE，AFBE，AFBE，四边形ABEF是平行四边形，ABAF，四边形ABEF是菱形，AEBF，AOOE4，BOOF3，在RtAOB中，AB5，故选：A9（2022宁波模拟）如图，O是ABCD对角线AC上一点，过O作EFAD交AB
17、于点E，交CD于点F，GHAB交AD于点G，交BC于点H，连结GE，GF，HE，HF，若已知下列图形的面积，不能求出ABCD面积的是（）A四边形EHFGBAEG和CHFC四边形EBHO和四边形GOFDDAEO和四边形GOFD【分析】A、根据平行四边形的对角线平分平行四边形的面积可作判断；B、先根据等式的性质证明SBEOHSGOFD，再由同底边的平行四边形的面积的比是对应高的比可作判断；C、四边形EBHO的面积和四边形GOFD的面积相等，已知四边形EBHO和四边形GOFD的面积，不能求出ABCD面积；D、同选项B同理可作判断【解答】解：A、在ABCD中，ABCD，ADBC，EFAD，GHAB，A
18、DEFBC，ABGHCD，四边形AEOG，BEOH，CFOH，DFOG都是平行四边形，SEOGSAEOG，SEOHSBEOH，SFOHSOHCF，SFOGSOGDF，四边形EHFG的面积ABCD的面积，已知四边形EHFG的面积，可求出ABCD的面积，故A不符合题意；B、SABCSAEOSCHOSACDSAOGSCFO，SBEOHSGOFD，SBEOHSOGDF2，已知AEG和CHF的面积，可求出ABCD的面积，故B不符合题意；C、已知四边形EBHO和四边形GOFD的面积，不能求出ABCD面积，故C符合题意；D、，SOHCFS2OGDF，已知AEO和四边形GOFD的面积，能求出ABCD面积；故D
19、不符合题意；故选：C10（2022嘉兴一模）如图1，直线l1l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形下列判断正确的是（）A都正确B错误，正确C都错误D正确，错误【分析】根据作图过程可得ABCB，ABDCBD，由l1l2，可得ADBCBD，然后可以证明四边形ABCD是菱形，进而可以解决问题【解答】解：根据作图过程可知：ABCB，ABDCBD，l1l2，ADBCBD，ABDADB，ABAD，ADBC，四边形ABCD是平行四边形，ABCB，四边形A
20、BCD是菱形，四边形ABCD对角线互相垂直错误，正确故选B二、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2022上城区一模）如图为北京2022年冬残奥会会徽纪念邮票，其规格为边长14.92毫米的正八边形，则正八边形的内角和为 1080【分析】n边形的内角和可以表示成（n2）180，代入公式就可以求出内角和【解答】解：（82）1801080故答案为：108012（2022钱塘区二模）如图，在ABCD中，点E、F分别为AD、DC的中点，BFCD，已知BF8，EF5，则ABCD的周长为 【分析】连接AC、过点C作CMBF交AB的延长线于点M，证四边形BMCF为矩形
21、，得BMC90，BMCF，CMBF8，再由勾股定理求出AM长，得出AB的长，然后由勾股定理求出BC的长，即可求出平行四边形的周长【解答】解：如图，连接AC、过点C作CMBF交AB的延长线于点M，四边形ABCD为平行四边形，ABCD，ABCD，ADBC，四边形BMCF为平行四边形，BFCD，BFC90，四边形BMCF为矩形，BMC90，BMCF，CMBF8，E、F分别为AD、CD的中点，EF5，AC10，ABCD2CF2BM，CF2，故答案为：13（2022诸暨市二模）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则BAC的度数为36【分析】利用全等三角形的性质和正五边形的定义可判断五边形
22、花环为正五边形，根据多边形的内角和定理可计算出ABD108，然后根据三角形内角和求解即可【解答】解：如图，五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，五边形花环为正五边形，ABD108，ABC+CBDABC+BAC108，BCA18010872，BAC1802BCA36故答案为：3614（2022仙居县二模）如图，平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，1），D（2，3），要把顶点A平移到顶点C的位置，则其平移方式可以是：先向右平移 4个单位，再向上平移 2个单位【分析】根据平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，1），D（2，3），可得C（5，3），
23、然后根据平移的性质即可解决问题【解答】解：平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，1），D（2，3），C（5，3），要把顶点A平移到顶点C的位置，可以先向右平移4个单位，再向上平移2个单位故答案为：4，215（2021长兴县模拟）如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC，分别以点A，C为圆心画弧，交于M，N两点，直线MN与AD，BC分别交于点E，F，连结AF，CE若AC4，EF2，则AE的长是 【分析】由作图可知：MN是AC的垂直平分线，即可得AECE，AFCF，通过证明AOEAOF（ASA），可证明四边形ABCD为菱形，进而可求解AO，EO的长，再利用勾股
24、定理可求解AE的长【解答】解：由作图可知：MN是AC的垂直平分线，AECE，AFCF，AOEAOF，FACFCA，四边形ABCD为平行四边形，ADBC，EACFCA，EACFAC，在AOE和AOF中，AOEAOF（ASA），AEAF，AEAFCFCE，四边形ABCD为菱形，AC4，EF2，AOAC2，EOEF1，AE故答案为16（2022永嘉县三模）如图，在平行四边形ABCD中，AB6，BC8，B30，点E从点D出发沿DC方向匀速向终点C运动，同时点F从点C出发沿CB方向匀速向终点B运动，它们同时到达终点，记EDx，则CEF的面积为 （用含x的代数式表示）【分析】根据点E和点F分别同时从点D和
25、点C出发，同时到达终点，可得出点E和点F的路程关系，联系平行四边形ABCD的两邻边长度、DEx，可得出CE、CF的长度，过点E作边CF上的高EH，在CHE可表示出高EH的长度，最后根据三角形面积公式，即可得出CEF的面积【解答】解：平行四边形ABCD，AB6，BC8，CDAB6，又点E和点F分别同时从点D和点C出发，同时到达终点，点E和点F的路程比为6：83：4，又DEx，CE6x，CFx，如图，CEF中，过点E作边CF上的高EH，交CF的反向延长线于点H，ABCD，B30，DCHB30，在CHE中，EHCE，x，故答案为：三、解答题（本大题共7小题，共66分解答时应写出文字说明、证明过程或演
26、算步骤）17（2022滨江区二模）在ADBC，ADBC，BADBCD这三个条件中选择其中一个你认为合适的，补充在下面的问题中，并完成问题的解答问题：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OAOC，若 （请填序号），求证：四边形ABCD为平行四边形【分析】根据平行线的性质和平行四边形的判定解答即可【解答】解：添加ADBC，ADBC，DAOBCO，在AOD与COB中，AODCOB（ASA），OBOD，四边形ABCD是平行四边形故答案为：18（2022海曙区一模）在44的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答（1）请在六个图案中，选出三个具有相同
27、对称性的图案选出的三个图案是 （填写序号）；它们都是 轴对称图形（填写“中心对称”或“轴对称”）；（2）请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个44的方格也具有（1）中所选图案相同的对称性【分析】轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形【解答】解：（1）三个图案是轴对称图形，故答案为：；轴对称；（2）如图所示，19（2022平阳县一模）如图，在ABCD中，点E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，连结BE（1）求证：
28、DEACEF；（2）若BFCD，D52，求ABE的度数【分析】（1）利用中点定义可得DECE，再用平行四边形的性质，证明ADEFCE，即可得结论；（2）根据平行四边形的性质得到ADBC，ABCD，ABCD52，根据全等三角形的性质得到ADFC，AEEF，根据等腰三角形的性质即可得到结论【解答】（1）证明：E是边CD的中点，DECE，四边形ABCD是平行四边形，ADBF，DDCF，在DEA和CEF中，DEACEF（ASA）；（2）解：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，ABCD52，ADEFCE，ADFC，AEEF，BFCD，BFAB，ABEFBE2620（2022诸暨市二模）如图，
29、在平行四边形ABCD中，AB10，AD8，DAB，ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F（1）求EF的长（2）把题中的条件“AD8”去掉，其余条件不变当点E与点F重合时，求AD的长当点E与点C重合时，判断四边形ABCD的形状【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质得：ADDE8，BCCF8，最后由线段的和差可得答案；（2）同理可得DECEAD5；由题意得DEAD，再由CFBC，即可求解【解答】解：（1）四边形ABCD是平行四边形，CDAB，BAEAED，ABFCFB，DAB，ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，BAEDAE，ABFCBF，DAEAED，CBFC
30、FB，ADDE8，BCCF8，ABCD10，EFDE+CFCD8+8106；（2）如图1所示：同理得：ADDE，BCCE，DECECDAB5，ADDE5；四边形ABCD是菱形，理由如下：如图2所示：点E与点C重合，DEAD，CFBC，点F与点D重合，ABCD是菱形21（2021永嘉县校级模拟）如图，在ABC中，D为AB的中点，点E在AC上，F在DE的延长线上，DEEF，连接CF，CFAB（1）如图1，求证：四边形DBCF是平行四边形；（2）如图2，若ABAC，请直接写出图中与线段CF相等的所有线段【分析】（1）先证ADECFE（AAS），得ADCF，再证BDCF，即可得出结论；（2）由（1）得
31、：BDADCF，AECE，即可得出结论【解答】（1）证明：CFAB，AECF，又AEDCEF，DEFE，ADECFE（AAS），ADCF，D为AB的中点，ADBD，BDCF，且CFBD，四边形DBCF是平行四边形；（2）解：与线段CF相等的所有线段为AD、BD、AE、CE；理由如下：由（1）得：BDADCF，AECE，ABAC，BDADAECECF22（2020温岭市模拟）如图，在ABCD中，ABC和BCD的角平分线BE与CE相交于点E，且点E恰好落在AD上；（1）求证：BE2+CE2BC2；（2）若AB2，求ABCD的周长【分析】（1）根据平行四边形的性质和勾股定理的逆定理解答即可；（2）根
32、据平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质解答【解答】证明：（1）BE、CE 分别平分ABC 和BCDEBC，ECB，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABC+BCD180，EBC+ECB90，BEC90，BE2+CE2BC2 ，（2）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，CDAB2，EBCAEB，BE 平分ABC，EBCABE，AEBABE，ABAE，同理可证 DEDC，DE+AEAD4，CABCD2（4+2）1223（2021长兴县模拟）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD2AD，点E在线段OC上，且OECE（1）求证：OBEADO；（2）若F，G分别是OD，AB的中点
33、，且BC10，求证：EFG是等腰三角形；当EFEG时，求ABCD的面积【分析】（1）根据平行四边形的性质可得ADBDBC，再证明BOC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得OBEOBC，进而可证明结论；（2）首先证明EGAB，再根据三角形中位线的性质可得EFCD，进而得到EGEF，可证明结论；由得EFAB，由EFEG，G是AB的中点，可证得AEBE，设CEx，则AOCO2CE2x，利用勾股定理可求解x值，进而可求解AC，BE，再利用平行四边形的面积公式可求解【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，DOBOBD，ADBDBC，BD2AD，ADDO，BCBO，E是CO中点，OBEOBC，OBEADO；（2）证明：BCBO，BOC是等腰三角形，E是CO中点，EBCO，BEA90，G为AB中点，EGAB，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，E、F分别是OC、OD的中点，EFCDEGEF，EFG是等腰三角形；解：由得EFAB，EFEG，EGAB，G是AB的中点，AEBE，设CEx，则AOCO2CE2x，BEAE3x，在RtBEC中，BC10，EC2+BE2BC2，即x2+（3x）2102，解得x，AC，BE，SABCD2SABC
