1、专题23 圆的有关性质一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1（2022鹿城区校级模拟）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若BAC20则D的大小为（）A100B110C120D1302（2022浦江县模拟）已知：如图，OA是O的半径，若BAO27，则圆周角BDA的度数是（）A63B60C58D543（2022鹿城区校级三模）如图，点A，B，C在O上，为优弧，已知50，则C为（）A25B35C40D504（2022鹿城区校级三模）如图，AB，AC是O的两条弦，且ABAC，点D，P分别在，上若BDC140，则APC的度数为（）A105B110C115D1205（20
2、22衢州二模）如图，C、D是O上的两点，且位于直径AB两侧，连接BC、CD、BD，若ABC20，则BDC（）A40B50C60D706（2022龙湾区模拟）如图，AB，AC是O的两条弦，且ABAC，点D，P分别在，上若BDC142，则APC的度数为（）A119B112C109D1087（2022上城区校级二模）如图，已知OA，OB，OC是O的半径，连结BC，交OA于点D，设ADB，OBC，AOC，则（）A+290B2+90C+180D3+1808（2022富阳区一模）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，G是弧AC上一点，连接AD，AG，GD，BC则下列结论错误的是（）AADCAGDB若AD
3、CGAD，则2C若，则ADG是等腰三角形D若，则AGF是等腰三角形9（2022金华模拟）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB16厘米若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）A1.0厘米/分B0.8厘米/分C1.2厘米/分D1.4厘米/分10（2022黄岩区一模）如图，ABC是等边三角形，点A，点B在数轴上，点A表示数2，点B表示数2，以AB为直径作圆交边AC于点P，以B为圆心，BP为半径作弧交数轴于点Q，则点Q在数轴上表示的数为（）AB2C22D22二、 填空
4、题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2022文成县一模）如图，点A，B，C都在O上，AOC：BOC2：5，OABC，则ABC 12（2022定海区一模）如图，在O中，点C为优弧ACB上的一点，168，则C 13（2022婺城区模拟）如图，一块直角三角板的30角的顶点P落在O上，两边分别交O于A，B两点，若O的直径为8，则弦AB的长为 14（2022诸暨市模拟）有一圆柱形木材，埋在墙壁中，其横截面如图所示，测得木材的半径为15cm，露在墙体外侧的弦长AB18cm，其中半径OC垂直平分AB，则埋在墙体内的弓形高CD cm15（2022宁海县校级模拟）如图，圆O的
5、半径为4，点P是直径AB上定点，AP1，过P的直线与圆O交于C，D两点，则COD面积的最大值为 ；作弦DEAB，CHDE于H，则CH的最大值为 16（2022海曙区校级模拟）如图，AB是O的弦，点P是优弧APB上的动点，P45，连接PA，PB，AC是ABP的中线（1）若CABP，则AC ；（2）AC的最大值 三、解答题（本大题共7小题，共66分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（2023宁波模拟）如图，AB是O的直径，C、D为O上的点，且BCOD，过点D作DEAB于点E（1）求证：BD平分ABC；（2）若BC4，DE3，求O的半径长18（2022定海区校级模拟）如图，四边形ABCD
6、是O的内接四边形，DB平分ADC，连接OC，OCBD（1）求证：ABCD（2）若A等于66，求ADB的度数19（2022金东区一模）如图，已知点C在以AB为直径的半圆O上，点D为弧BC中点，连结AC并延长交BD的延长线于点E，过点E作EGAB，垂足为点F，交AD于点G，连结OG，DG1，DB2（1）求证：AEAB（2）求FB的长（3）求OG的长20（2021永嘉县模拟）如图，点A、B、C、D在O上，ABAC，BDAC，垂足为E，过点D作GFAC，分别交BC，BA的延长线于点F，G（1）求证：G2DBC（2）作O直径AM，连结DC，CM，若DC1，AB3，求AM的长21（2021临海市模拟）如图
7、，在RtABC中，ACB90，点D为AB边的中点，以CD为直径作O，分别与AC，BC，AB交于点E，F，G（1）求证：AECE；（2）若CE4，CF3，求DG的长22（2022永嘉县模拟）如图，在ABC中，AC6，AB8，BC10，点P在边AC上运动，PEBC，交AB于点E，以4为半径的C交边AC于点Q，延长EP交C于点F，GFEF，交AC延长线于点G（1）求证：GB（2）若PCPQ，求GF的长23（2021拱墅区二模）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC（1）求证：CGFAGD（2）已知DGF120，AB4求CD的长若，求CDG
8、与ADG的面积之比专题23 圆的有关性质一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1（2022鹿城区校级模拟）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若BAC20则D的大小为（）A100B110C120D130【分析】由AB是半圆O的直径，得ACB90，由直角三角形的性质求出B，由圆内接四边形的性质即可求解【解答】解：AB是半圆O的直径，ACB90，ABC90BAC902070，D+ABC180，D18070110故选：B2（2022浦江县模拟）已知：如图，OA是O的半径，若BAO27，则圆周角BDA的度数是（）A63B60C58D54【分析】连接OB，可先求出AOB的度
9、数，进而根据圆周角定理可得BDA的度数【解答】解：连接OB，OAOB，BAO27，BOA1802BAO18054126，BDABOA63，故选：A3（2022鹿城区校级三模）如图，点A，B，C在O上，为优弧，已知50，则C为（）A25B35C40D50【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论【解答】解：连接OA、OB50，AOB50，CAOB25故选：A4（2022鹿城区校级三模）如图，AB，AC是O的两条弦，且ABAC，点D，P分别在，上若BDC140，则APC的度数为（）A105B110C115D120【分析】根据圆内接四边形对角互补求得BAC的度数，即可求得的度数，进而求得的度数，的度数，
10、则根据圆周角定理即可求解APC的度数【解答】解：在圆内接四边形ABCD中，BDC140，BAC180BDC18014040，则的度数是80，又ABAC，的度数的度数（36080）140，的度数是220，APC220110，故选：B5（2022衢州二模）如图，C、D是O上的两点，且位于直径AB两侧，连接BC、CD、BD，若ABC20，则BDC（）A40B50C60D70【分析】利用圆周角定理得到ACB90，则BAC65，然后再根据圆周角得到BDC的度数【解答】解：AB为O的直径，ACB90，ABC20，BAC70，BDCBAC70故选：D6（2022龙湾区模拟）如图，AB，AC是O的两条弦，且A
11、BAC，点D，P分别在，上若BDC142，则APC的度数为（）A119B112C109D108【分析】根据圆内接四边形对角互补求得BAC的度数，即可求得弧BC的度数，进而求得弧AB的度数，弧ABC的度数，则APC的度数即可求解【解答】解：在圆内接四边形ABCD中，BDC142，BAC180BDC18014238，则弧BC的度数是76，又ABAC，弧AB的度数弧AC的度数142，弧ABC的度数是218，APC218109，故选：C7（2022上城区校级二模）如图，已知OA，OB，OC是O的半径，连结BC，交OA于点D，设ADB，OBC，AOC，则（）A+290B2+90C+180D3+180【分
12、析】根据圆中半径相等，得到角相等，再把，转化到CDO中，根据内角和定理解答即可【解答】解：OA，OB，OC是O的半径，OBOC，OBCOCB，CDOADB，AOC，CDO中，CDO+OCD+COD180，即+180，故选：C8（2022富阳区一模）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，G是弧AC上一点，连接AD，AG，GD，BC则下列结论错误的是（）AADCAGDB若ADCGAD，则2C若，则ADG是等腰三角形D若，则AGF是等腰三角形【分析】根据圆周角定理求解判断即可【解答】解：AB是O的直径，CDAB，ADCAGD，故A正确，不符合题意；ADCGAD，2，2，故B正确，不符合题意；若，A
13、DDG，ADG是等腰三角形，故C正确，不符合题意；由，不能推出AGF是等腰三角形，故D错误，符合题意；故选：D9（2022金华模拟）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB16厘米若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）A1.0厘米/分B0.8厘米/分C1.2厘米/分D1.4厘米/分【分析】连接OA，过点O作ODAB于D，由垂径定理求出AD的长，再由勾股定理求出OD的长，然后计算出太阳在海平线以下部分的高度，即可求解【解答】解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过
14、点O作ODAB于D，如图所示：AB16厘米，ADAB8（厘米），OA10厘米，OD6（厘米），海平线以下部分的高度OA+OD10+616（厘米），太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，“图上”太阳升起的速度16161.0（厘米/分），故选：A10（2022黄岩区一模）如图，ABC是等边三角形，点A，点B在数轴上，点A表示数2，点B表示数2，以AB为直径作圆交边AC于点P，以B为圆心，BP为半径作弧交数轴于点Q，则点Q在数轴上表示的数为（）AB2C22D22【分析】根据题意可得AB4，利用等边三角形的性质可得BAC60，由AB是O的直径可得APB90，由三角形内角和定理可得ABP30，
15、由此可得AP2，根据勾股定理可以求得BP的长，进而可以得到点Q表示的数【解答】解：由题意可得AB4，ABC是等边三角形，BAC60，AB是O的直径，APB90，ABP30，APAB2，在RtAPB中，AB4，AP2，PB2，BP为半径作弧交数轴于点Q，BQPB2点Q表示数为22故选：C二、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2022文成县一模）如图，点A，B，C都在O上，AOC：BOC2：5，OABC，则ABC20【分析】根据圆周角定理及三角形内角和定理求解即可【解答】解：OAOB，AOBA，OABC，AABC，AOC2ABC，AOC：BOC2：5，B
16、OC5ABC，AOB7ABC，在AOB中，A+AOB+OBA180，9ABC180，ABC20，故答案为：2012（2022定海区一模）如图，在O中，点C为优弧ACB上的一点，168，则C84【分析】连接OA，OB，根据已知可得AOB168，从而利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半，进行计算即可解答【解答】解：连接OA，OB，168，AOB168，CAOB84，故答案为：8413（2022婺城区模拟）如图，一块直角三角板的30角的顶点P落在O上，两边分别交O于A，B两点，若O的直径为8，则弦AB的长为 4【分析】作直径AC，连接BC，如图，根据圆周角定理得到ABC90，CP30，
17、然后利用含30度角的直角三角形的性质求出AB【解答】解：作直径AC，连接BC，如图，AC为直径，ABC90，CP30，AC8，ABAC84故答案为：414（2022诸暨市模拟）有一圆柱形木材，埋在墙壁中，其横截面如图所示，测得木材的半径为15cm，露在墙体外侧的弦长AB18cm，其中半径OC垂直平分AB，则埋在墙体内的弓形高CD3cm【分析】在RtADO中，AO15cm，AD9cm，利用勾股定理得出DO的长，进而得出答案【解答】解：在RtADO中，DO12（cm），则CDCODO15123（cm），故答案为：315（2022宁海县校级模拟）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP1，过
18、P的直线与圆O交于C，D两点，则COD面积的最大值为 8；作弦DEAB，CHDE于H，则CH的最大值为 【分析】当COD90时，COD面积有最大值，利用三角形的面积公式即可求解；当COD面积有最大值时，CH取最大值，设APO的PO边上的高为h1，DPO的边PO上 的高为h2，利用SCDOSPCO+SDPO，列出等式，即可求得h1+h2，则CHh1+h2，结论可得【解答】解：如图1，OCODsinCOD，当COD90时，COD面积有最大值，且最大值4418；设CPO的PO边上的高为h1，DPO的边PO上的高为h2，如图，SCDOSPCO+SDPO，当COD面积有最大值时，POh1+POh283（
19、h1+h2）8，h1+h2CH的最大值为故答案为：8；16（2022海曙区校级模拟）如图，AB是O的弦，点P是优弧APB上的动点，P45，连接PA，PB，AC是ABP的中线（1）若CABP，则AC2；（2）AC的最大值1+【分析】（1）作BHAC，根据BACBPA，求出BC2，再证明H和C重合即可得到答案；（2）确定点C的运动轨迹，轨迹点圆关系找到AC的最大值就是AC长，再计算求解【解答】解：如图1，过点B作BHAC于点H，BB，CABP，BACBPA，BA2BCBP，AC是ABP的中线，BP2BC，（2）2BC2BC，BC2，在RtABH中，CABP45，AB2，BHAH2，又BC2，点H和
20、点C重合，ACAH2故答案为：2；（2）如图2，点P的运动轨迹是圆，点C的运动轨迹是OB为直径的圆，当AC经过圆心O时最大P45，AOB90，又AB2，AOBO2，OO1，AO，OC1，AC1+，AC的最大值为1+故答案为：1+三、解答题（本大题共7小题，共66分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（2023宁波模拟）如图，AB是O的直径，C、D为O上的点，且BCOD，过点D作DEAB于点E（1）求证：BD平分ABC；（2）若BC4，DE3，求O的半径长【分析】（1）利用平行线的性质得到ODBCBD，根据半径相等可得ODBOBD，等量代换得到OBDCBD，进而证得结论；（2）过O点作
21、OHBC于H，如图，根据垂径定理得到BHCH2，再证明ODEBOH得到DEOH3，然后利用勾股定理计算OB的长即可【解答】（1）证明：ODBC，ODBCBD，OBOD，ODBOBD，OBDCBD，BD平分ABC；（2）解：过O点作OHBC于H，BC4，BHCHBC2，DEAB，OHBC，DEO90，OHB90，ODBC，DOEOBH，在ODE和BOH中，ODEBOH（AAS），DEOH3，在RtOBH中，OB，即O的半径长为18（2022定海区校级模拟）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，DB平分ADC，连接OC，OCBD（1）求证：ABCD（2）若A等于66，求ADB的度数【分析】（1）根
22、据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，根据圆周角定理证明结论；（2）根据圆内接四边形的性质得到BCD114，根据等腰三角形的性质求出BDC，根据角平分线的定义解答【解答】（1）证明：DB平分ADC，OCBD，ABCD；（2）解：四边形ABCD是O的内接四边形，BCD180A114，BCCD，BDC（180114）33，DB平分ADC，ADBBDC3319（2022金东区一模）如图，已知点C在以AB为直径的半圆O上，点D为弧BC中点，连结AC并延长交BD的延长线于点E，过点E作EGAB，垂足为点F，交AD于点G，连结OG，DG1，DB2（1）求证：AEAB（2）求FB的长（3）求OG的长【分析】（
23、1）根据圆周角定理可得ADB90，由点D为弧BC中点，可得CADBAD，则可证明AEDADB，即可得出答案；（2）根据题意可证明EDGEFB，则，根据勾股定理可得EF，代入计算即可得出答案；（3）在RtEFB中，根据已知条件可算出EF的长，在RtEGD中，可算出EG的长，由GFEFEG即可算出GF的长，由EFBADB，可得，代入计算可算出AD的长，在RtADB中，可算出AB的长，即可算出OB的长，根据OFOBFB即可算出OF的长，在RtOGF中根据勾股定理即可得出答案【解答】解：（1）AB是半圆O的直径，ADB90，CADBAD，在AED和ADB中，AEDADB（ASA），AEAB（2）GED
24、FEB，EDGEFB90，EDGEFB，EDDB2，EF，解得：FB（3）在RtEFB中，EB4，FB，EF，在RtEGD中，EG，GFEFEG，EFBADB，AD4，在RtADB中，AB2，OB，OFOBFB，在RtOGF中，OG20（2021永嘉县模拟）如图，点A、B、C、D在O上，ABAC，BDAC，垂足为E，过点D作GFAC，分别交BC，BA的延长线于点F，G（1）求证：G2DBC（2）作O直径AM，连结DC，CM，若DC1，AB3，求AM的长【分析】（1）根据直角三角形性质、等腰三角形性质、平行线性质即可得解；（2）根据圆周角定理得到AMCAMB，ACMABM90，即可得到CAMBA
25、MCABGDBC，再根据圆周角定理、勾股定理求解即可【解答】（1）证明：设DBCx，BDAC，ACB90x，ABAC，ABCACB90x，BAC1802（90x）2x，GFAC，GBAC2x，又DBCx，G2DBC；（2）解：如图，连接BM，ACAB，AM是O的直径，AMCAMB，ACMABM90，CAMBAMCABGDBC，CMDC，DC1，CM1，ACAB3，ACM90，21（2021临海市模拟）如图，在RtABC中，ACB90，点D为AB边的中点，以CD为直径作O，分别与AC，BC，AB交于点E，F，G（1）求证：AECE；（2）若CE4，CF3，求DG的长【分析】（1）连接DE，根据直
26、角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DADC，根据直径所对的圆周角是直角得到DEC90，根据等腰三角形三线合一的性质即可得到AEAC；（2）连接CG，由（1）可知E是AC中点，同理可得F是BC中点，得到AC2CE8，BC2CF6，根据勾股定理得到AB10，得到CD5，根据CD是O的直径，得到DGC90，根据等面积法求出CG的长，根据勾股定理即可得到DG的长【解答】（1）证明：如图，连接DE，ACB90，D为AB边的中点，DADC，CD是O的直径，DEC90，AEAC；（2）解：连接CG，由（1）可知E是AC中点，同理可得F是BC中点，AC2CE8，BC2CF6，由勾股定理得AB10，CD5，
27、CD是O的直径，DGC90，ACBCABCG，DG22（2022永嘉县模拟）如图，在ABC中，AC6，AB8，BC10，点P在边AC上运动，PEBC，交AB于点E，以4为半径的C交边AC于点Q，延长EP交C于点F，GFEF，交AC延长线于点G（1）求证：GB（2）若PCPQ，求GF的长【分析】（1）由勾股定理逆定理得到A90，即知FA90，根据平行线的性质及对顶角性质得到GPFACB，由三角形内角和定理即得证；（2）作CHPF于点H，连接CF，由CQ4，PCPQ，得PCPQ2，根据tanCPHtanBCA，可得CHPH，在RtCPH中，由勾股定理即得PH，CH，在RtCHF中，FH，即得PFP
28、H+FH，在RtGPF中，tanGPF，即可得GF【解答】（1）证明：AC6，AB8，BC10，AC2+AB2BC2，A90，GFEF，GFPA90，PEBC，GPFACB，GB；（2）解：作CHPF于点H，连接CF，如图：CQ4，PCPQ，PCPQ2，PEBC，CPHBCA，tanCPHtanBCA，即，CHPH，在RtCPH中，CH2+PH2CP2，（PH）2+PH222，解得PH（负值已舍去），CH，在RtCHF中，FH，PFPH+FH，在RtGPF中，tanGPF，GF，答：GF的长为23（2021拱墅区二模）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点
29、F，连接AD，GD，GC（1）求证：CGFAGD（2）已知DGF120，AB4求CD的长若，求CDG与ADG的面积之比【分析】（1）连接AC，根据垂径定理和圆周角定理即可证结论；（2）连接BD，先根据题意得到AGD60，进而即可证得ACD是等边三角形，根据圆周角定理得到ADB90，ABD60，解直角三角形求得AD，即可求得CD的长；根据相似三角形的性质得到，从而得到，DF3，AFAGAD212，进一步得到，由相似三角形的性质得到FGFAFCFD9，即可得到即，进而求得【解答】（1）证明：连接AC，弦CDAB于点E，DGBBGC，AB为直径，AGB90，BGF90，AGBDGBFGBCGB，CGFAGD；（2）解：连接BD，BG，DGF120，AGD18012060，ACDABDAGD60，ACD是等边三角形，AB是直径，ADB90，sinABD，AB4，CDAD2；DAGFAD，AGDADC，ADGAFD，ADCD2，DF3，AFAGAD212，CFDFCD，GCFDAF，FF，FCGFAD，FGFAFCFD9，即，解法二：可以证明AGDCGF，可得2
