1、专题11 一元二次方程【知识要点】知识点一 一元二次方程有关概念一元二次方程定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。一般形式： 。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。【判断一元二次方程的条件】1）只含有一个未知数；2）所含未知数的最高次数是2；3）整式方程。一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。考查题型一 一元二次方程的解题型1已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（）A4BC3D题型1-1（2022年四川省资阳市中考数学真题）若a是一
2、元二次方程的一个根，则的值是_题型1-2（2022年广东省中考数学真题试卷）若是方程的根，则_题型1-3（2022年江苏省连云港市中考数学真题）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是_易错点总结：知识点二：解一元二次方程（重点）方法一：直接开平方法概念：形如的方程两边直接开平方得或者，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。 【注意】1) 若b0，方程有两个不相等的实数根；2）若b=0，方程有两个相等的实数根；3)若b0，方程无解。方法二 配方法概念：将一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)配方为(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解。用配方法解一元二次方程的一般步骤：1）移项：使
3、方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；2） 二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (x+p)2=q（q0）的形式；【注意】：1）当q 0时，方程无解 2）如q0时，方程的根是x=-p4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解。方法三：公式法概念：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法它是通过配方推导出来的一元二次方程的求根公式是(b24ac0)。一元二次方程 根的判别式：1） 方程有两个不相等的实根:（）2）方程有两个相等的实根：3）方程无实根用公式法解一元二次方程的一般步骤：1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系
4、数是分数通常将其化为整数，方便计算);2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;3）如果b2-4ac0, 将a、b、c的值代入求根公式：4）最后求出x1，x2方法四：因式分解法概念：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法。（若ab=0，则a=0或b=0。）用因式分解一元二次方程的一般步骤（口诀：右化零，左分解，两因式，各求解）：1）将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；4）求解。考查题型二 解一元二次方程题型2（2022山东聊城中考真题）用配方法解一元二次方
5、程时，将它化为的形式，则的值为（）ABC2D题型2-1（2022四川雅安中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c0配方后得到方程（x+3）22c，则c的值为（）A3B0C3D9题型2-2（2022山东东营中考真题）一元二次方程的解是（）ABCD题型2-3（2022天津中考真题）方程的两个根为（）ABCD题型2-4（2022黑龙江绥化中考真题）设与为一元二次方程的两根，则的值为_题型2-5（2022广西梧州中考真题）一元二次方程的根是_题型2-6（2022四川凉山中考真题）已知实数a、b满足ab24，则代数式a23b2a14的最小值是_题型2-7（2022黑龙江齐齐哈尔中考真题）解方程：题
6、型2-8（2022贵州贵阳中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示用“”填空：a_b，ab_0；（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程x2+2x1=0；x23x=0；x24x=4；x24=0易错点总结：考查题型三 一元二次方程根的判别式题型3（2022贵州安顺中考真题）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（）A有一个实根B有两个不相等的实数根C有两个相等的实数根D没有实数根题型3-1（2
7、022甘肃兰州中考真题）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（）A-2B-1C0D1题型3-2（2022湖北荆州中考真题）关于x的方程实数根的情况，下列判断正确的是（）A有两个相等实数根B有两个不相等实数根C没有实数根D有一个实数根题型3-3（2022四川宜宾中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）AB且C且D题型3-4（2022辽宁本溪市教师进修学院中考真题）下列一元二次方程无实数根的是（）ABCD题型3-5（2022西藏中考真题）已知关于x的一元二次方程（m1）x2+2x30有实数根，则m的取值范围是（）AmBmCm且m1Dm且m1题型3-6（202
8、2四川巴中市教育科学研究所中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（）ABC且D且题型3-7（2022内蒙古内蒙古中考真题）对于实数a，b定义运算“”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D无法确定题型3-8（2022江苏扬州中考真题）请填写一个常数，使得关于的方程_有两个不相等的实数根题型3-9（2022广东广州中考真题）已知T=(1)化简T；(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值易错点总结：知识点三 一元二次方程根与系数关系若一元二次方程ax2+bx+c0（a）的两个根是和
9、，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+； 【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化：1）； 2）；3）； 4）；考查题型四 一元二次方程根与系数的关系题型4（2022内蒙古呼和浩特中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（）A4045B4044C2022D1题型3-1（2022贵州黔东南中考真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，若，则的值为（）A7BC6D题型4-2（2022四川宜宾中考真题）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（）A0B10C3D10题型4-3（2022四川泸州中考真题）已知关于的方程的两实数根为，若，则的值为（）ABC或3D或3题型4-4（20
10、22湖南益阳中考真题）若x1是方程x2+x+m0的一个根，则此方程的另一个根是（）A1B0C1D2题型4-5（2022内蒙古包头中考真题）若是方程的两个实数根，则的值为（）A3或B或9C3或D或6题型4-6（2022四川乐山中考真题）关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（）ABC1D题型4-7（2022山东日照中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=_题型4-8（2022四川内江中考真题）已知x1、x2是关于x的方程x22x+k10的两实数根，且x12+2x21，则k的值为 _题型4-9（2022湖北十堰中考真题）已知关于的
11、一元二次方程(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为，且，求的值题型4-10（2022四川南充中考真题）已知关于x的一元二次方程有实数根(1)求实数k的取值范围(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值题型4-11（2022四川凉山中考真题）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2bxc0（a0）的两个根为x1，x2，则x1x2，x1x2材料2：已知一元二次方程x2x10的两个实数根分别为m，n，求m2nmn2的值解：一元二次方程x2x10的两个实数根分别为m，n，mn1，mn1，则m2nmn2mn（mn）111根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题
12、：(1)材料理解：一元二次方程2x23x10的两个根为x1，x2，则x1x2 ；x1x2 (2)类比应用：已知一元二次方程2x23x10的两根分别为m、n，求的值(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s23s10，2t23t10，且st，求的值题型4-12（2022湖北黄石中考真题）阅读材料，解答问题：材料1为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法材料2已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由书达定理可知，根据上述材料，解决以下问题：(1)直接应用：方程的解为_；(2)间接应用：已知实数
13、a，b满足：，且，求的值；(3)拓展应用：已知实数x，y满足：，且，求的值易错点总结：知识点四 一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。“解”就是求出说列方程的解； “答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。【常见类型】销售类问题、几何图形类问题、传播类问题销售类问题思路：1）增长率等量关系：增长率100%；设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，
14、b为增长后的量，则a(1+m)n=b；【易错点】增长率不为负，降低率不超过1。2）利润等量关系：成本价：俗称进价，是商家进货时的价格；标价：商家出售时标注的价格；打折：打折就是以标价为基础，按一定比例降价出售。如：打9折，就是按标价的90出售。利润=售价进价，利润0时盈利，利润0，方程有两个不相等的实数根；2）若b=0，方程有两个相等的实数根；3)若b0，方程无解。方法二 配方法概念：将一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)配方为(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解。用配方法解一元二次方程的一般步骤：1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；3） 二次项系数化为1：方程两边
15、都除以二次项系数；3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (x+p)2=q（q0）的形式；【注意】：1）当q 0时，方程无解 2）如q0时，方程的根是x=-p4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解。方法三：公式法概念：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法它是通过配方推导出来的一元二次方程的求根公式是(b24ac0)。一元二次方程 根的判别式：2） 方程有两个不相等的实根:（）2）方程有两个相等的实根：3）方程无实根用公式法解一元二次方程的一般步骤：1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);2）求出b2-4ac的值，根据其值
16、的情况确定一元二次方程是否有解;3）如果b2-4ac0, 将a、b、c的值代入求根公式：4）最后求出x1，x2方法四：因式分解法概念：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法。（若ab=0，则a=0或b=0。）用因式分解一元二次方程的一般步骤（口诀：右化零，左分解，两因式，各求解）：1）将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；4）求解。考查题型二 解一元二次方程题型2（2022山东聊城中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（）ABC2D【答案】B【提示】将常数项移
17、到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案【详解】解：，则，即，故选：B【名师点拨】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键题型2-1（2022四川雅安中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c0配方后得到方程（x+3）22c，则c的值为（）A3B0C3D9【答案】C【提示】先移项把方程化为再配方可得结合已知条件构建关于c的一元一次方程，从而可得答案【详解】解：x2+6x+c0，移项得： 配方得： 而（x+3）22c， 解得： 故选C【名师点拨】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键题型2-2（2022山东东营中考真
18、题）一元二次方程的解是（）ABCD【答案】D【提示】利用配方法解方程即可【详解】解：，解得，故选D【名师点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键题型2-3（2022天津中考真题）方程的两个根为（）ABCD【答案】D【提示】将进行因式分解，计算出答案【详解】故选：D【名师点拨】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程题型2-4（2022黑龙江绥化中考真题）设与为一元二次方程的两根，则的值为_【答案】20【提示】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可；【详解】解：=9-4=50，=，故答案为：20；【名师点拨】本题考查了一元二次方
19、程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键题型2-5（2022广西梧州中考真题）一元二次方程的根是_【答案】，【提示】由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解【详解】解：由题意可知：或，或，故答案为：或【名师点拨】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可题型2-6（2022四川凉山中考真题）已知实数a、b满足ab24，则代数式a23b2a14的最小值是_【答案】6【提示】根据ab24得出，代入代数式a23b2a14中，通过计算即可得到答案【详解】ab24将代入a23b2a14中得：当a=4时，取得最小值为6的最小值为6的最小值6故答案为：6【名师点拨】本题考查了代数式的知
20、识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解题型2-7（2022黑龙江齐齐哈尔中考真题）解方程：【答案】，【提示】直接开方可得或，然后计算求解即可【详解】解：或解得，【名师点拨】本题考查了解一元二次方程解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程题型2-8（2022贵州贵阳中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示用“”填空：a_b，ab_0；（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程x2+2x1=0；x23x=0；x24x=4；x24=0【答案】（1），；（2）x1=-1+，x2=-1
21、-；x1=0，x2=3；x1=2+，x2=2-；x1=-2，x2=2【提示】（1）由题意可知：a0，b0，据此求解即可；（2）找出适当的方法解一元二次方程即可【详解】解：（1）由题意可知：a0，b0，ab，ab0；故答案为：，；（2）x2+2x1=0；移项得x2+2x=1，配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，则x+1=，x1=-1+，x2=-1-；x23x=0；因式分解得x(x-3)=0，则x=0或x-3=0，解得x1=0，x2=3；x24x=4；配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，则x-2=，x1=2+，x2=2-；x24=0因式分解得(x+2) (x-2)=0，
22、则x+2=0或x-2=0，解得x1=-2，x2=2【名师点拨】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法还考查了实数与数轴考查题型三 一元二次方程根的判别式题型3（2022贵州安顺中考真题）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（）A有一个实根B有两个不相等的实数根C有两个相等的实数根D没有实数根【答案】B【提示】将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，可得，即可得出答案.【详解】解：根据新运
23、算法则可得：，则即为，整理得：，则，可得：，；，方程有两个不相等的实数根；故答案选：B.【名师点拨】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号.题型3-1（2022甘肃兰州中考真题）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（）A-2B-1C0D1【答案】B【提示】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式b24ac0，据此可列出关于k的等量关系式，即可求得k的值【详解】原方程有两个相等的实数根，b24ac44（k）0，且k0；解得故选：B【名师点拨】本题考查了一元
24、二次方程根的判别式的应用切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件题型3-2（2022湖北荆州中考真题）关于x的方程实数根的情况，下列判断正确的是（）A有两个相等实数根B有两个不相等实数根C没有实数根D有一个实数根【答案】B【提示】根据根的判别式直接判断即可得出答案【详解】解：对于关于x的方程，此方程有两个不相等的实数根故选B【名师点拨】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根题型3-3（2022四川宜宾中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）
25、AB且C且D【答案】B【提示】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a0，=22-4a（-1）=4+4a0，再求出即可【详解】解：关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根，a0，=22-4a（-1）=4+4a0，解得：a-1且a0，故选：B【名师点拨】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a0），当b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac0时，方程没有实数根题型3-4（2022辽宁本溪市教师进修学院中考真题）下列一元二次方程无实数根
26、的是（）ABCD【答案】C【提示】利用一元二次方程根的判别式判断即可；【详解】解：A，方程有两个不等的实数根，不符合题意；B，方程有两个不等的实数根，不符合题意；C，方程没有实数根，符合题意；D，方程有两个相等的实数根，不符合题意；故选： C【名师点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c（a0）根的判别式=b2-4ac：0时方程有两个不等的实数根；=0时方程有两个相等的实数根；0时方程没有实数根题型3-5（2022西藏中考真题）已知关于x的一元二次方程（m1）x2+2x30有实数根，则m的取值范围是（）AmBmCm且m1Dm且m1【答案】D【提示】方程为一元二次方程，二次项系数不能为0，方
27、程有实根，0，综合以上两方面进行计算即可【详解】解关于x的一元二次方程（m1）x2+2x30有实数根， ，解得：m且m1故选D【名师点拨】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围注意不要忽略一元二次方程的系数不为0这一条件题型3-6（2022四川巴中市教育科学研究所中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（）ABC且D且【答案】A【提示】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解【详解】解：，即，关于的方程有两个不相等的实数根，解得：，故A正确故选：A【名师点拨】本题属于新定义题目，考查一元二次方
28、程的根的判别式，熟练掌握根的判别式当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0方程没有实数根题型3-7（2022内蒙古内蒙古中考真题）对于实数a，b定义运算“”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D无法确定【答案】A【提示】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可【详解】解：，方程有两个不相等的实数根，故选A【名师点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键题型3-8（2022江苏扬州中考真题）请填写一个常数，使得关于的
29、方程_有两个不相等的实数根【答案】0（答案不唯一）【提示】设这个常数为a，利用一元二次方程根的判别式求出a的取值范围即可得到答案【详解】解：设这个常数为a，要使原方程有两个不同的实数根，满足题意的常数可以为0，故答案为：0（答案不唯一）【名师点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键题型3-9（2022广东广州中考真题）已知T=(1)化简T；(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值【答案】(1)；(2)T=【提示】(1)根据整式的四则运算法则化简即可；(2)由方程有两个相等的实数根得到判别式=4a-4(-ab+1)=0即可得到，整体代入即可求解（1
30、）解：T=；（2）解：方程有两个相等的实数根， =2a2-4-ab+1=0， ，则T=【名师点拨】本题考查了整式的四则运算法则、一元二次方程的实数根的判别、整体思想，属于基础题，熟练掌握运算法则及一元二次方程的根的判别式是解题的关键知识点三 一元二次方程根与系数关系若一元二次方程ax2+bx+c0（a）的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+； 【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化：1）； 2）；3）； 4）；考查题型四 一元二次方程根与系数的关系题型4（2022内蒙古呼和浩特中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（）A4045B4044C2022D1【答案】A【提示】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解【详解】解：解：，是方程的两个实数根，故选A【名师点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键题型3-1（2022贵州黔东南中考真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，若，则的值为（）A7BC6D【答案】B【提示】根据根与系数关系求出=3，a=3，再求代数式
