1、专题27 相似新课标对单元考点的要求（1）了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。（2）通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。（3）掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。（4）了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相 似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。* 了解相似三角形判定定理的证明。（5）了解相似三角形的性质定理F :相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。（6）会利用图形的相似解决一些简单的实际
2、问题。（7）在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标 (有一个顶点为原点)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原 图形是位似的。单元知识框架整合思维导图对单元考点解读考点1：图形的相似(1) 形状相同的图形表象：大小不等，形状相同。实质：各对应角相等、各对应边成比例。（2）相似比：相似多边形对应边的比。（3）相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形。 考点2：相似三角形的判定定理1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；定理2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对
3、应相等,那么这两个三角形相似；定理3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；定理4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；定理5.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。定理6.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。 3. 相似三角形的性质（1）对应角相等、对应边成比例（2）对应高、中线、角平分线的比等于相似比（3）周长比等于相似比（4）面积比等于相似比的平方4. 相似三角形的应用(1) 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物
4、高与影长成比例”的原理解决.(2) 测距(不能直接测量的两点间的距离)测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.5. 位似（1）位似的定义每幅图的两个多边形不仅相似，而且对应定点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心。这时我们说这两个图形关于这点位似。 (这时的相似比也称为位似比)（2）位似比两个相似图形的相似比，成为位似比。(3) 位似的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在 一条直线上.(4) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.(5) 平面直角坐标系中的位似当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当
5、位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为k.单元考点例题解析类型1.相似三角形的判定和性质问题【例题1】（2022甘肃兰州）已知，若，则（ ）A. 4B. 6C. 8D. 16类型2.相似的应用问题【例题2】（2019湖北省荆门市）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC2m，BD2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE类型3.位似的性质及应用问题【例题3】（2022广西北部湾） 古希
6、腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是_米单元核心素养达标检测（试卷满分120分，答题时间120分钟）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1.如图，直线l1l2l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB5，BC6，EF4，则DE的长为（）A2B3C4D1032.（2022四川凉山）如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DEBC，DE6cm，则BC的长为（ ）A. 9cmB. 12cmC. 15cmD. 18cm3.如图
7、，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S则=（ ）A. B. C. D. 4如图，ABO的顶点A在函数y=kx（x0）的图象上，ABO90，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（）A9B12C15D185.如图，在直角坐标系中，OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）以点O为位似中心，在第三象限内作与OAB的位似比为13的位似图形OCD，则点C坐标（）A（1，1）B（-43，1）C（1，-43）D（2，1）6.如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，点A，B的对应点分别为
8、点A，则AB的长为（）A8B9C10D157. （2022重庆）如图，与位似，点O是它们的位似中心，且位似比为12，则与的周长之比是（ ）A. 12B. 14C. 13D. 198.如图，在矩形ABCD中，AB3，BC10，点E在BC边上，DFAE，垂足为F若DF6，则线段EF的长为（）A2B3C4D59.如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF，使DEF与ABC成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（）A5B2C4D2510. （2022浙江绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个
9、直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）A. B. C. 10D. 二、填空题（本大题有10小题，每空3分，共30分）1.（2022湖南邵阳） 如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_，使2.（2022湖南怀化）如图，ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若SADE2，则SABC_ 3.（2022北京）如图，在矩形中，若，则的长为_4.（2022陕西）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成
10、果如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即已知为2米，则线段的长为_米5.如图，BCDE，且BCDE，ADBC4，AB+DE10则AEAC的值为 6.如图，在RtABC中，ACB90，AB4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB2AD，AE3EC，连接BE，CD，相交于点O，则ABO面积最大值为 7.（2022黑龙江绥化）如图，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使.按照此规律，线段的长为_8.（2022湖南娄底）如图，已知等腰的顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A沿顺时针方向旋转角度时点落在处
11、，连接给出下列结论：；当时，的面积取得最小值其中正确的结论有_（填结论对应的序号）9.（2022四川成都）如图，和是以点为位似中心的位似图形若，则与的周长比是_10.（2022湖南常德）如图，已知是内的一点，若的面积为2，则的面积是_三、解答题（本大题有6小题，共60分）1.（10分）（2022上海）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE=AQAB求证：（1）CAE=BAF；（2）CFFQ=AFBQ2.（10分）已知：如图，ABC中，ABAC，BDAC于D求证： BC22CDAC3.（10分）已知在ABC中，AD是BAC的平分线求
12、证：AB/AC=BD/CD4.（10分）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，为平面直角坐标系的原点，矩形的4个顶点均在格点上，连接对角线（1）在平面直角坐标系内，以原点为位似中心，把缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与的相似比等于；（2）将以为旋转中心，逆时针旋转，得到，作出，并求出线段旋转过程中所形成扇形的周长5.（10分）（2022江西）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，（1）求证：；（2）当时，求的长6（10分）问题背景： 如图（1），已知ABCADE，求证：ABDACE；尝试应用 如图（2），在ABC和ADE中，BACDAE9
13、0，ABCADE30，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，ADBD=3，求DFCF的值；拓展创新 如图（3），D是ABC内一点，BADCBD30，BDC90，AB4，AC23，直接写出AD的长专题27 相似新课标对单元考点的要求（1）了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。（2）通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。（3）掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。（4）了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相 似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。* 了解相似三角形判定定理的
14、证明。（5）了解相似三角形的性质定理F :相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。（6）会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。（7）在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标 (有一个顶点为原点)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原 图形是位似的。单元知识框架整合思维导图对单元考点解读考点1：图形的相似(1) 形状相同的图形表象：大小不等，形状相同。实质：各对应角相等、各对应边成比例。（2）相似比：相似多边形对应边的比。（3）相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三
15、角形叫做相似三角形。 考点2：相似三角形的判定定理1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；定理2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；定理3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；定理4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；定理5.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。定理6.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。 3. 相似三角形的性质（1）对应角相等、对应边成比例（2）对应高、
16、中线、角平分线的比等于相似比（3）周长比等于相似比（4）面积比等于相似比的平方4. 相似三角形的应用(1) 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.(2) 测距(不能直接测量的两点间的距离)测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.5. 位似（1）位似的定义每幅图的两个多边形不仅相似，而且对应定点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心。这时我们说这两个图形关于这点位似。 (这时的相似比也称为位似比)（2）位似比两个相似图形的相似比，成为位似比。(3) 位似的性质：位似图形上任意一对对应点到
17、位似中心的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在 一条直线上.(4) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.(5) 平面直角坐标系中的位似当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为k.单元考点例题解析类型1.相似三角形的判定和性质问题【例题1】（2022甘肃兰州）已知，若，则（ ）A. 4B. 6C. 8D. 16【答案】A【解析】根据相似三角形的性质得到，代入求解即可，即，解得【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形性质相似三角形性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等相似三角形的相似比等于周长比，相似三角形的
18、相似比等于对应高，对应角平分线，对应中线的比，相似三角形的面积比等于相似比的平方类型2.相似的应用问题【例题2】（2019湖北省荆门市）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC2m，BD2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE【答案】楼的高度OE为32米【解析】设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，GFAC，MACMFG，即：，O
19、E32类型3.位似的性质及应用问题【例题3】（2022广西北部湾） 古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是_米【答案】134【解析】在同一时刻物高和影子成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，根据相似三角形的性质即可得，【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是了解：同一时刻物高和影长成正比单元核心素养达标检测（试卷满分120分，答题时间120分钟）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共
20、30分）1.如图，直线l1l2l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB5，BC6，EF4，则DE的长为（）A2B3C4D103【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可【解析】直线l1l2l3，ABBC=DEEF，AB5，BC6，EF4，56=DE4，DE=1032.（2022四川凉山）如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DEBC，DE6cm，则BC的长为（ ）A. 9cmB. 12cmC. 15cmD. 18cm【答案】C【解析】根据平行得到，根据相似的性质得出，再结合，DE6cm，利用相似比即可得出结论在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上
21、，若DEBC，故选：C【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键3.如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S则=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】先判定，得到相似比为，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解题即可D、E分别为线段BC、BA的中点，又，相似比为，【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键4如图，ABO的顶点A在函数y=kx（x0）的图象上，ABO90，过AO边的三等
22、分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（）A9B12C15D18【答案】D【解析】易证ANQAMPAOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出ANQ的面积，进而可求出AOB的面积，则k的值也可求出NQMPOB，ANQAMPAOB，M、N是OA的三等分点，ANAM=12，ANAO=13，SANQSAMP=14，四边形MNQP的面积为3，SANQ3+SANQ=14，SANQ1，1SAOB=（ANAO）2=19，SAOB9，k2SAOB185.如图，在直角坐标系中，OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）以点O为位似中心，在第三象
23、限内作与OAB的位似比为13的位似图形OCD，则点C坐标（）A（1，1）B（-43，1）C（1，-43）D（2，1）【答案】B【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以-13即可【解析】以点O为位似中心，位似比为13，而A （4，3），A点的对应点C的坐标为（-43，1）6.如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，点A，B的对应点分别为点A，则AB的长为（）A8B9C10D15【答案】B【解析】根据位似图形的概念列出比例式，代入计算即可图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3，即，解得，AB97. （2022重庆）如图，与位似，点O是它们的位似中心，且位
24、似比为12，则与的周长之比是（ ）A. 12B. 14C. 13D. 19【答案】A【解析】根据位似图形是相似图形，位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比即可求解与位似与的位似比是1:2与的相似比是1:2与的周长比是1:2【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质和相似三角形的性质8.如图，在矩形ABCD中，AB3，BC10，点E在BC边上，DFAE，垂足为F若DF6，则线段EF的长为（）A2B3C4D5【答案】B【分析】证明AFDEBA，得到AFBE=ADAE=DFAB，求出AF，即可求出AE，从而可得EF【解析】四边形ABCD为矩形，ABCD3，BCAD10，ADB
25、C，AEBDAF，AFDEBA，AFBE=ADAE=DFAB，DF6，AF=102-62=8，8BE=10AE=63，AE5，EFAFAE8539.如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF，使DEF与ABC成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（）A5B2C4D25【答案】D【解析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF，使DEF与ABC成位似图形，且相似比为2：1，而A（1，2），C（3，1），D（2，4），F（
26、6，2），DF=(2-6)2+(4-2)2=2510. （2022浙江绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）A. B. C. 10D. 【答案】A【解析】根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出剪掉的两个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意当DFEECB时，如图， ，设DF=x，CE=y，解得：，故B选项不符合题意；，故选项D不符合题意；如图，当DCFFEB时，设FC=
27、m，FD=n，解得：，FD=10，故选项C不符合题意；，故选项A符合题意；故选：A【点睛】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答二、填空题（本大题有10小题，每空3分，共30分）1.（2022湖南邵阳） 如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_，使【答案】ADE=B（答案不唯一）【解析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定A=A，根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件ADE=B或AED=C证相似；根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件证相似故答案为AD
28、EB（答案不唯一）【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法2.（2022湖南怀化）如图，ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若SADE2，则SABC_ 【答案】8【解析】根据三角形中位线定理求得DEBC，从而求得ADEABC，然后利用相似三角形的性质求解D、E分别是AB、AC的中点，则DE为中位线，所以DEBC，所以ADEABC SADE=2，SABC=8【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握3.（2022北京）如图，在矩形中，若，则的长为_【答案】1【解析】根据勾股定理求出BC，以
29、及平行线分线段成比例进行解答即可在矩形中：，【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键4.（2022陕西）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即已知为2米，则线段的长为_米【答案】或者【解析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案点E是AB的黄金分割点，AB=2米，米【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键5.如图，BCDE，且BCDE，ADBC4，AB+DE10则AEAC的
30、值为 【解析】2【解析】由平行线得三角形相似，得出ABDE，进而求得AB，DE，再由相似三角形求得结果BCDE，ADEABC，ADAB=DEBC=AEAC，即4AB=DE4=AEAC，ABDE16，AB+DE10，AB2，DE8，AEAC=DEBC=84=26.如图，在RtABC中，ACB90，AB4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB2AD，AE3EC，连接BE，CD，相交于点O，则ABO面积最大值为 【解析】83【解析】如图，过点D作DFAE，则DFAE=BDBA=23，ECAE=13，DF2EC，DO2OC，DO=23DC，SADO=23SADC，SBDO=23SBDC，SABO=23
31、SABC，ACB90，C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，当CGAB时，ABC的面积最大为：12424，此时ABO的面积最大为：234=837.（2022黑龙江绥化）如图，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使.按照此规律，线段的长为_【答案】【解析】解直角三角形分别求得，探究出规律，利用规律即可解决问题，是直角三角形，在中，同理可得：，故答案为：【点睛】本题考查了图形的规律，解直角三角形，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会探究规律的方法8.（2022湖南娄底）如图，已知等腰的顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A
32、沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接给出下列结论：；当时，的面积取得最小值其中正确的结论有_（填结论对应的序号）【答案】【解析】依题意知，和是顶角相等的等腰三角形，可判断；利用SAS证明， 可判断；利用面积比等于相似比的平方，相似比为，故最小时面积最小，即，等腰三角形三线合一，D为中点时 . 【详解】绕点A沿顺时针方向旋转角度得到，即得：（SAS）故对和是顶角相等的等腰三角形故对即AD最小时最小当时，AD最小由等腰三角形三线合一，此时D点是BC中点故对故答案为：【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，手拉手模型，选项中将面积与相似比结合是解题的关键 . 9.（2022四
33、川成都）如图，和是以点为位似中心的位似图形若，则与的周长比是_【答案】【解析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论和是以点为位似中心的位似图形，根据与的周长比等于相似比可得【点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键10.（2022湖南常德）如图，已知是内的一点，若的面积为2，则的面积是_【答案】12【解析】延长EF、DF分布交AC于点M、N，可以得到相似三角形并利用相似三角形分别求出AM、MN、CN之间的关系，从而得到三角形的面积关系即可求解如图所示：延长EF、DF分布交AC于点M、N， 令
34、，则，设，求出,【点睛】本题考查了相似三角形中的A型，也可以利用平行线分线段成比例知识，具有一定的难度，不断的利用相似三角形的性质：对应线段成比例进行求解线段的长度；利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键三、解答题（本大题有6小题，共60分）1.（10分）（2022上海）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE=AQAB求证：（1）CAE=BAF；（2）CFFQ=AFBQ【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）利用SAS证明ACEABF即可；（2）先证ACEAFQ可得AEC=AQF，求出BQF=AFE，
35、再证CAFBFQ，利用相似三角形的性质得出结论【小问1详解】证明：AB=AC，B=C，CF=BE，CE=BF，在ACE和ABF中，ACEABF（SAS），CAE=BAF；【小问2详解】证明：ACEABF，AEAF，CAE=BAF，AE=AQAB，ACAB，即，ACEAFQ，AEC=AQF，AEF=BQF，AEAF，AEF=AFE，BQF=AFE，B=C，CAFBFQ，即CFFQ=AFBQ【点睛】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键2.（10分）已知：如图，ABC中，ABAC，BDAC于D求证： BC22CDAC整
36、体分析：欲证 BC22CDAC，只需证但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似由“2”所放的位置不同，证法也不同证法一（构造2CD）：如图，我们很容易想到，在AC截取DEDC，（或者说在AC上取一点E，使得CD=DE, 这样就有CE=2CD）BDAC于D，BD是线段CE的垂直平分线，BC=BE，C=BEC，又 ABAC，C=ABC BCEACB， BC22CDAC证法二（构造2AC）：如图，在CA的延长线上截取AEAC，连结BE，得到EBC ABAC， ABAC=AE
37、EBC=90，又BDACEBC=BDC=EDB=90，E=DBC，EBCBDC即BC22CDAC证法三（构造） ：如图，取BC的中点E，连结AE，则EC=又AB=AC，AEBC，ACE=CAEC=BDC=90ACEBCD即BC22CDAC证法四（构造）：如图，取BC中点E，连结DE，则CE= BDAC，BE=EC=ED，EDC=C又AB=AC，ABC=C，ABCEDC，即BC22CDAC说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧在解题中方法要灵活，思路要开阔3.（10分）已知在ABC中，AD是BAC的平分线求证：AB/AC=BD/CD【答案】见解析。【解析】比例线段常由平行线而产生
38、，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生此题中AD为ABC内角A的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决证法1：如图，过C点作CEAD，交BA的延长线于E在BCE中， DACE，BD/DC=BA/AE 又 CEAD， 1=3，2=4，且AD平分BAC， 1=2，于是3=4， AC=AEBD/DC=BA/AC 证法2： 由于BD、CD是点D分BC而得，故可过分点D作平行线如图，过D作DEAC交AB于E，则
39、2=3 1=2， 1=3于是EA=ED又， ， .证法3： 欲证式子左边为AB：AC，而AB、AC不在同一直线上，又不平行，故考虑将AB转移到与AC平行的位置如图，过B作BEAC，交AD的延长线于E，则2=E 1=2， 1=E，AB=BE又， .证法4：由于AD是BAC的平分线，故可过D分别作AB、AC的平行线，构造相似三角形求证如图，过D点作DEAC交AB于E，DFAB交AC于F易证四边形AEDF是菱形则DE=DF由BDEDFC，得又 ， .4.（10分）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，为平面直角坐标系的原点，矩形的4个顶点均在格点上，连接对
40、角线（1）在平面直角坐标系内，以原点为位似中心，把缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与的相似比等于；（2）将以为旋转中心，逆时针旋转，得到，作出，并求出线段旋转过程中所形成扇形的周长【答案】（1）见详解；（2）见详解； 弧长是【解析】（1）根据位似图形的定义作图即可；（定义：如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线交于一点，这两个图形叫做位似图形，交点叫做位似中心；）（2）根据图形旋转的方法：将顶点与旋转中心的连线旋转即可得旋转后的图形；OB旋转后扇形的半径为OB长度，在坐标网格中，根据直角三角形勾股定理可得OB长度，然后代入扇形弧长公式,同时加上扇形两半径即可求出答案【详解】（1）位
41、似图形如图所示（2）作出旋转后图形，周长是【点睛】题目主要考察位似图形的画法、旋转图形画法、勾股定理及弧长公式的计算，难点是对定义的理解及对公式的运用5.（10分）（2022江西）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，（1）求证：；（2）当时，求的长【答案】（1）见解析 （2）AE=9【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，得出，根据平行线的性质和等边对等角，结合，得出，即可证明结论；（2）根据，得出，代入数据进行计算，即可得出AE的值【小问1详解】证明：四边形ABCD为菱形，【小问2详解】，即，解得：【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意得出，是解题关键6（10分）问题背景： 如图（1），已知ABCADE，求证：ABDACE；尝试应用 如图（2），在ABC和ADE中，BACDAE90，ABCADE30，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，ADBD=3，求DFCF的值；拓展创新 如图（3），D是ABC内一点，BADCBD30，BDC90，AB4，AC23
