1、专题24 圆新课标对单元考点的要求（1）理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆位置关系。（2）探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两 条弧。（3）探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧） 所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它 所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90的圆周角 所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。（4）了解三角形的内心与外心。（5）了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念。（6）能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外 接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边
2、形。（7）能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线。（8）*探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等。（9）会计算圆的弧长、扇形的面积。（10）了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。单元知识框架整合思维导图对单元考点解读考点1：圆的概念 1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。2.圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。3.圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。注意：(1)确
3、定圆的要素：圆心决定位置，半径决定大小(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.考点2：点与圆的位置关系判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r比较得到 设O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有 dr 点P在圆内； d=r 点P在圆上； dr 点P在圆外.注意：点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系考点3：直线与圆的位置关系直线与圆有3种位置关系：（1）相离；（2）相交；（3）相切。设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离 考点4：圆与圆的位置关系两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫
4、内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且Rr，圆心距为L,则（1）外离LR+r；（2）外切L=R+r；（3）相交R-rLR+r；（4）内切L=R-r；（5）内含LR-r。 考点5：垂径定理垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。考点6：圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等考点7：圆周角定理（1）在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径考点8：圆
5、内接多边形1.外接圆、内接正多边形:将一个圆n(n3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆.（1）圆内接正三角形 （2）圆内接正四边形 （3）圆内接正六边形 2.圆内接正多边形的计算(1)正n边形的中心角为(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系 (3)边长a，边心距r的正n边形的面积为 其中l为正n边形的周长.3.外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形的外心.注意：(1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点(2)一个三角形的外接圆是唯一的.4.内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个这个三角形的内心.注意：(1)三角形的
6、内心是三角形三条角平分线的交点(2)一个三角形的内切圆是唯一的.5.正多边形的相关概念(1) 正多边形的中心：正多边形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心.(2) 正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.(3) 正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.(4) 正多边形的中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.考点9：切线的判定定理与性质1.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2.切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆
7、的切线垂直于经过切点的半径。考点10：圆的公切线1.公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，例如和两个圆相切的直线叫做这两个圆的公切线。如果两个圆在公切线的同侧，则这公切线叫外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则叫内公切线。（1）若两圆相离，则有4条公切线。（2）若两圆外切，则有3条公切线。（3）两圆相交，则有2条公切线。（4）若两圆内切，则有1条公切线。（5）若两圆内含，则有0条公切线。2.公切线性质（1）两圆的两条外公切线长相等；（2）两条内公切线的长也相等。（3）两圆的外公切线与连心线或者交于一点或者平行。考点11：两圆公共弦定理两圆圆心的连线垂直并且评分这两个圆的公共弦。考点1
8、2：扇形、圆柱和圆锥等的相关计算1.圆的周长与面积计算公式：（1） 圆的周长C=2R=d （2）圆的面积S=R22.扇形弧长与面积公式（1）半径为r的圆中，n圆心角所对的弧长 （2）扇形面积公式半径为R，圆心角为n的扇形面积 （l是扇形的弧长）3.弓形面积公式弓形的面积=扇形的面积三角形的面积。4.圆柱表面积与体积公式（1）圆柱表面积S表=S侧 +2S底=2Rh+2R2（2）圆柱体的体积V=S底h=R2h5.圆锥的侧面积与体积(1)圆锥的侧面展开图是一个扇形。(2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2r， (3)圆锥的侧面积为rl，(4)圆锥的全面积为r
9、（l+r）（8）圆锥体的体积V=r2h/3注意：解决圆有关系列问题方法总结1.证明切线与求解线段长度方法（1）证切线时添加辅助线的解题方法有两种： 有公共点，连半径，证垂直； 无公共点，作垂直，证半径；有切线时添加辅助线的解题方法是：见切点，连半径，得垂直； （2）设未知数，通常利用勾股定理建立方程.2.圆中常用辅助线的添法在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。（1）见弦作弦心距。有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须
10、作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。（2）见直径作圆周角。在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角这一特征来证明问题。（3）见切线作半径。命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用切线与半径垂直这一性质来证明问题。（4）两圆相切作公切线。对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。（5）两圆相交作公共弦。对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。3.圆中常用辅助线的添法顺口溜（圆问题的解题技巧）半
11、径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多
12、变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。4.拓展知识：（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。重要结论：PAPB=PCPD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。重要结论：CE2=AEBE（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。重要结论：PA2=PCPB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。重要结论：PCPB=PDPE单元考点例题解析中考重要类型1：垂径定理及圆周角定理问题 【例题1】如图，是的两
13、条直径，E是劣弧的中点，连接，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 中考重要类型2：与圆圆的切线性质问题【例题2】（2022山东济南）如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使，连接BF，DF（1）求证：DF与半圆相切；（2）如果AB10，BF6，求矩形ABCD的面积中考重要类型3：扇形弧长与面积问题 【例题3】（2022内蒙古包头）如图，已知的半径为2，是的弦若，则劣弧的长为_中考重要类型4：与圆有关的作图问题 【例题4】（2022山东日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测
14、得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为_中考重要类型5：与圆有关的综合类问题【例题5】（2022大连）是的直径，C是上一点，垂足为D，过点A作的切线，与的延长线相交于点E（1）如图1，求证；（2）如图2，连接，若的半径为2，求的长单元核心素养达标检测（试卷满分120分，答题时间120分钟）一、选择题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）1.如图，O中，OCAB，APC28，则BOC的度数为（）A14B28C42D562.（2022山西）如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ）A. 60B. 65C. 70D. 753.（2022黑龙江大庆）已知圆锥的底面半径为5，高为12
15、，则它的侧面展开图的面积是( )A. B. C. D. 4.（2022黑龙江哈尔滨）如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 5.（2022贵州毕节）如图，一件扇形艺术品完全打开后，夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积是（ ）A. 375cm2B. 450cm2C. 600cm2D. 750cm26.（2022浙江温州）如图，是的两条弦，于点D，于点E，连结，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题有10小题，每空3分，共30分）1.（2021南京）如图，是的弦，C是的中点，交于点D若，则的半径为_2.如图，点A
16、，C，D，B在O上，ACBC，ACB90若CDa，tanCBD，则AD的长是_3. （2022湖南长沙）如图，A、B、C是上的点，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为_4如图所示，若用半径为8，圆心角为120的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是 5如图，已知锐角三角形ABC内接于半径为2的O，ODBC于点D，BAC60，则OD 6. （2022江苏连云港）如图，是的直径，是的切线，为切点，连接，与交于点，连接若，则_7.圆锥的母线长为9cm，底面圆的直径为10cm，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 .2008.如图，在矩形ABCD中，AB2cmcm以
17、点B为圆心，AB长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 cm29（2021湖北荆门）如图，PA，PB是O的切线，A，B是切点，若P70，则ABO 。10.如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则PEF的面积为 cm2三、解答题（本大题有6小题，共66分）1.(6分)如何作圆内接正五边形怎么作？2. (12分)（2022内蒙古包头）如图，为的切线，C为切点，D是上一点，过点D作，垂足为F，交于点E，连接并延长交于点G，连接，已知（1）若的半径为5，求的长；（2）试探究与之间的数量关系，写出并证明你的结论（请用两种证法解答）3. (12分)（2022山东日照）如图，在RtABC
18、中，C=90，B=30，点D为边AB中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D（1）求证：直线AB是O的切线；（2）若，求图中阴影部分的面积4(12分)如图，BE是圆O的直径，点A和点D是O上的两点，过点A作O的切线交BE延长线于点C,（1）若ADE=25，求C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求O半径的长5.(12分)如图，在ABC中，ABBC，以ABC的边AB为直径作O，交AC于点D，过点D作DEBC，垂足为点E（1）试证明DE是O的切线；（2）若O的半径为5，AC610，求此时DE的长6(12分)如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，CAB90，以点A为圆
19、心，以AB的长为半径作A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE（1）求证：DE与A相切；（2）若ABC60，AB4，求阴影部分的面积专题24 圆新课标对单元考点的要求（1）理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆位置关系。（2）探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两 条弧。（3）探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧） 所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它 所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90的圆周角 所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。（4）了解三角形的内心与外心。（5）了解直线与
20、圆的位置关系，掌握切线的概念。（6）能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外 接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形。（7）能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线。（8）*探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等。（9）会计算圆的弧长、扇形的面积。（10）了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。单元知识框架整合思维导图对单元考点解读考点1：圆的概念 1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。2.圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的
21、弦叫做直径。3.圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。注意：(1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定大小(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.考点2：点与圆的位置关系判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r比较得到 设O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有 dr 点P在圆内； d=r 点P在圆上； dr 点P在圆外.注意：点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系考点3：直线与圆的位置关系直线与圆有3种位置关系：（1）相离；（2）相交；（3）相
22、切。设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离 考点4：圆与圆的位置关系两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且Rr，圆心距为L,则（1）外离LR+r；（2）外切L=R+r；（3）相交R-rLR+r；（4）内切L=R-r；（5）内含LR-r。 考点5：垂径定理垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。考点6：圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等考点7：圆周角定理（1）在同圆或等圆中
23、，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径考点8：圆内接多边形1.外接圆、内接正多边形:将一个圆n(n3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆.（1）圆内接正三角形 （2）圆内接正四边形 （3）圆内接正六边形 2.圆内接正多边形的计算(1)正n边形的中心角为(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系 (3)边长a，边心距r的正n边形的面积为 其中l为正n边形的周长.3.外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形的外心.注意：(1)三角形的外心是三角形
24、三条边的垂直平分线的交点(2)一个三角形的外接圆是唯一的.4.内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个这个三角形的内心.注意：(1)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(2)一个三角形的内切圆是唯一的.5.正多边形的相关概念(1) 正多边形的中心：正多边形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心.(2) 正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.(3) 正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.(4) 正多边形的中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.考点9：切线的判定定理与性质1.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条
25、半径的直线是圆的切线。2.切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。考点10：圆的公切线1.公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，例如和两个圆相切的直线叫做这两个圆的公切线。如果两个圆在公切线的同侧，则这公切线叫外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则叫内公切线。（1）若两圆相离，则有4条公切线。（2）若两圆外切，则有3条公切线。（3）两圆相交，则有2条公切线。（4）若两圆内切，则有1条公切线。（5）若两圆内含，则有0条公切线。2.公切线性质（1）两圆的两条外公切线长相等；（2）两条内公切线的
26、长也相等。（3）两圆的外公切线与连心线或者交于一点或者平行。考点11：两圆公共弦定理两圆圆心的连线垂直并且评分这两个圆的公共弦。考点12：扇形、圆柱和圆锥等的相关计算1.圆的周长与面积计算公式：（2） 圆的周长C=2R=d （2）圆的面积S=R22.扇形弧长与面积公式（1）半径为r的圆中，n圆心角所对的弧长 （2）扇形面积公式半径为R，圆心角为n的扇形面积 （l是扇形的弧长）3.弓形面积公式OO弓形的面积=扇形的面积三角形的面积。4.圆柱表面积与体积公式（1）圆柱表面积S表=S侧 +2S底=2Rh+2R2（2）圆柱体的体积V=S底h=R2h5.圆锥的侧面积与体积(1)圆锥的侧面展开图是一个扇形
27、。(2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2r， (3)圆锥的侧面积为rl，(4)圆锥的全面积为r（l+r）（8）圆锥体的体积V=r2h/3注意：解决圆有关系列问题方法总结1.证明切线与求解线段长度方法（1）证切线时添加辅助线的解题方法有两种： 有公共点，连半径，证垂直； 无公共点，作垂直，证半径；有切线时添加辅助线的解题方法是：见切点，连半径，得垂直； （2）设未知数，通常利用勾股定理建立方程.2.圆中常用辅助线的添法在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活
28、掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。（1）见弦作弦心距。有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。（2）见直径作圆周角。在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角这一特征来证明问题。（3）见切线作半径。命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用切线与半径垂直这一性质来证明问题。（4）两圆相切作公切线。对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。（5）两圆相交作公共弦。对两圆相交的问题，通常是
29、作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。3.圆中常用辅助线的添法顺口溜（圆问题的解题技巧）半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画
30、图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。4.拓展知识：（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。重要结论：PAPB=PCPD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。重要结论：CE2=AEBE（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。重要结论：PA2=PCPB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与
31、圆的交点的两条线段长的积相等。重要结论：PCPB=PDPE单元考点例题解析中考重要类型1：垂径定理及圆周角定理问题 【例题1】如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】连接OE，由题意易得，则有，然后可得，进而根据圆周角定理可求解连接OE，如图所示：OB=OC，E是劣弧的中点，；故选C【点睛】本题主要考查圆周角定理及垂径定理，熟练掌握圆周角定理及垂径定理是解题的关键中考重要类型2：与圆圆的切线性质问题【例题2】（2022山东济南）如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使，
32、连接BF，DF（1）求证：DF与半圆相切；（2）如果AB10，BF6，求矩形ABCD的面积【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接OF，证明，可得，根据矩形的性质可得，进而即可得证；（2）连接，根据题意证明，根据相似三角形的性质求得，进而勾股定理，根据矩形的面积公式即可求解【详解】（1）证明：连接OF ，四边形是矩形，DF与半圆相切.（2）解：连接，为半圆的直径，在中，矩形的面积为【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键中考重要类型3：扇形弧长与面积问题 【例题3】（2022内蒙古包头）如图，已知的半径为2，是的弦若，则
33、劣弧的长为_【答案】【解析】根据条件可证为直角三角形，得到，之后利用弧长公式即可得到答案由题知， 劣弧故答案为：【点睛】本题主要考查勾股定理，弧长的公式，掌握弧长的公式是解题的关键中考重要类型4：与圆有关的作图问题 【例题4】（2022山东日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为_【答案】【解析】连接AC，根据ABC=90得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可连接AC，ABC=90，且ABC是圆周角，AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：，所以圆形镜面的半径为，故答案为：【点睛】本
34、题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键中考重要类型5：与圆有关的综合类问题【例题5】（2022大连）是的直径，C是上一点，垂足为D，过点A作的切线，与的延长线相交于点E（1）如图1，求证；（2）如图2，连接，若的半径为2，求的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）证明，即可得出；（2）证明，求出OD，由勾股定理求出DB，由垂径定理求出BC，进而利用勾股定理求出AC，AD【详解】（1）解： ， 是的切线，在和中，；（2）解：如图，连接AC 的半径为2， 在和中，即，在中，由勾股定理得：， ，经过的圆心，
35、是的直径，C是上一点，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，【点睛】本题考查切线的定义、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握上述知识点，通过证明求出OD的长度是解题的关键单元核心素养达标检测（试卷满分120分，答题时间120分钟）一、选择题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）1.如图，O中，OCAB，APC28，则BOC的度数为（）A14B28C42D56【答案】D【解析】根据垂径定理，可得AC=BC，APC28，根据圆周角定理，可得BOC在O中，OCAB，AC=BC，APC28，BOC2APC562.（2022山西）如图，内接于，AD是的直
36、径，若，则的度数是（ ）A. 60B. 65C. 70D. 75【答案】C【解析】首先连接CD，由AD是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由圆周角定理，可得，再用三角形内角和定理求得答案连接CD，AD是的直径，故选：C【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理熟练掌握圆周角定理是解此题的关键3.（2022黑龙江大庆）已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据圆锥侧面展开图的面积，计算求解即可由题意知，圆锥侧面展开图的半径即圆锥的母线长为，圆锥侧面展开图的面积为，故选B【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的面积，勾
37、股定理解题的关键在于明确圆锥侧面展开图的面积，其中为圆锥底面半径，为圆锥侧面展开图的半径即圆锥的母线长4.（2022黑龙江哈尔滨）如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由切线性质得出，根据三角形的内角和是、对顶角相等求出，即可得出答案；PA与O相切于点A，AD是O的直径，【点睛】本题考查圆内求角的度数，涉及知识点：切线的性质、对顶角相等、等腰三角形的性质、三角形的内角和是，解题关键根据切线性质推出5.（2022贵州毕节）如图，一件扇形艺术品完全打开后，夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积是（ ）A. 375cm2
38、B. 450cm2C. 600cm2D. 750cm2【答案】C【解析】根据扇形的面积公式，利用减去即可得扇面的面积【详解】解：cm，cmcm=cm2故选：C【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，熟知扇形面积公式并能够将不规则图形的面积转化为已学图形的面积是解决本题的关键6.（2022浙江温州）如图，是的两条弦，于点D，于点E，连结，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据四边形的内角和等于360计算可得BAC=50，再根据圆周角定理得到BOC=2BAC，进而可以得到答案ODAB，OEAC，ADO=90，AEO=90，DOE=130，BAC=360-90-90-130
39、=50，BOC=2BAC=100，故选：B【点睛】本题考查是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半二、填空题（本大题有10小题，每空3分，共30分）1.（2021南京）如图，是的弦，C是的中点，交于点D若，则的半径为_【答案】5【解析】连接OA，由垂径定理得AD=4cm，设圆的半径为R，根据勾股定理得到方程，求解即可.连接OA，C是的中点， 设的半径为R， 在中，即，解得， 即的半径为5cm故答案为：52.如图，点A，C，D，B在O上，ACBC，ACB90若CDa，tanCBD，则AD的长是_【答案】【解析】如图，连接，设交于点，根据题意可得是的
40、直径，设，证明，根据相似三角形的性质以及正切的定义，分别表示出，根据，勾股定理求得，根据即可求解如图，连接，设交于点，ACB90是的直径， tanCBD，在中， ，设则， ACBC， 中， ,又，解得，故答案为：【点睛】本题考查了90圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键3. （2022湖南长沙）如图，A、B、C是上的点，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为_【答案】7【解析】根据垂径定理可得垂直平分，根据题意可得平方，可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质即可求解如图，连接， A、B、C是上的点， D为OC的
41、中点，四边形是菱形，故答案为：7【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键4如图所示，若用半径为8，圆心角为120的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是 【答案】83【解析】根据半径为8，圆心角为120的扇形弧长，等于圆锥的底面周长，列方程求解即可设圆锥的底面半径为r，由题意得，1208180=2r，解得，r=835如图，已知锐角三角形ABC内接于半径为2的O，ODBC于点D，BAC60，则OD 【答案】1【分析】连接OB和OC，根据圆周角定理得出BOC的度数，再依据等腰三角形的性质得到BOD的度数，结合直角三角形的性质可得OD【解析】连接
42、OB和OC，ABC内接于半径为2的O，BAC60，BOC120，OBOC2，ODBC，OBOC，BODCOD60，OBD30，OD=12OB16. （2022江苏连云港）如图，是的直径，是的切线，为切点，连接，与交于点，连接若，则_【答案】49【解析】利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得B=AOD=41，根据AC是O的切线得到BAC=90，即可求出答案AOD=82，B=AOD=41，AC为圆的切线，A为切点，BAC=90，C=90-41=49【点睛】此题考查圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形两锐角互余，正确理解圆周角定理及切线的性质定理是解题的关键7.圆锥的母线长为9cm，底面圆的直径为10cm，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 .【答案】200【解析】因为展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长，根据弧长公式列方程即可，解得n=2008.如图，在矩形ABCD中，AB2cmcm以点B为圆心，AB长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 cm2【答案】(6)【解析】连接BE首先证明EBC30，根据S阴S矩形ABCDSEBCS扇形AEB计算即可如图
