1、专题16 二次根式新课标对单元考点的要求了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。对单元考点解读考点1二次根式的有关概念（1）二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数注意：被开方数只能是非负数即要使二次根式有意义，则a0（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式（3）同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式考点2二次根式的性质（1） 0（0）；（2）； （3）；（4
2、）；（5）考点3二次根式的运算1.二次根式的加减（1）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。（2）二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简的二次根式，再将被开方数相同的根式进行合并。（3）二次根式的混合运算 1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； 2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。2.二次根式的乘除乘法法则：；除法法则：3.二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的在运算过程中
3、，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用单元考点例题解析类型1：二次根式的相关概念有意义的条件【例题1】（2022北京）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_类型2：二次根式的性质【例题2】（2022广西贺州）若实数m，n满足，则_类型3：二次根式的运算及应用【例题3】（2022广西河池）计算：类型4：二次根式的化简求值【例题4】已知x为实数时，化简.类型5：二次根式的混合运算【例题5】（2022甘肃威武）计算：单元核心素养达标检测（试卷满分120分，答题时间120分钟）一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）1.（2022黑龙江绥化）若式子在实数范围内有意义，
4、则x的取值范围是（ ）A. B. C. 且D. 且2.下列计算中，正确的是（）A5221B2+2C3D33.下列各式是最简二次根式的是（）A13B12Ca3D534.当1a2时，代数式+|1a|的值是（）A1 B1 C2a3 D32a5下列各式是最简二次根式的是（）A13B12Ca3D536下列计算中，正确的是（）A2+3=5B2+2=22C23=6D23-2=37.（2022河北）下列正确的是（ ）A. B. C. D. 8下列计算正确的是()A. B.6 C. D.49.1和1的关系是()A互为相反数 B互为倒数 C相等 D以上都不是10下列计算结果错误的是（ ）A.=9B.(3)(3)=
5、-25C.=10D.=0二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）1.（2022广西河池）若二次根式有意义，则a的取值范围是 _2. （2022黑龙江哈尔滨）计算结果是_3. （2022武汉）计算的结果是_4. （2022广西柳州）计算：=_5.（2022黑龙江大庆）在函数中，自变量的取值范围是_6.计算：92-12+8= 7.计算：2等于 8.（）=9计算：8+|2-1|=_10. （2021辽宁盘锦）计算：_三、解答题（本大题有7个小题，共60分）1.（8分）（2022安徽）计算：2.（10分）先化简，再求值：，其中a+3；3.（8分）（2022湖南怀化）计算：（3.14）0+|
6、1|+（）14.（8分）把下列式子的分母有理化：5（8分）探究过程：观察下列各式及其验证过程3.验证：3.同理可得：45，通过上述探究你能猜测出：a_(a0)，并验证你的结论6.（8分）用定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：（1）求；（2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集7.（10分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mna=m2+2n2，b=2mn这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的
7、方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+2=（+）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？专题16 二次根式新课标对单元考点的要求了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。对单元考点解读考点1二次根式的有关概念（1）二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数注意：被开方数只能是非负数即要使二次根式有意
8、义，则a0（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式（3）同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式考点2二次根式的性质（1） 0（0）；（2）； （3）；（4）；（5）考点3二次根式的运算1.二次根式的加减（1）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。（2）二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简的二次根式，再将被开方数相同的根式进行合并。（3）二次根式的混合运算 1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加
9、减，有括号先算括号里； 2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。2.二次根式的乘除乘法法则：；除法法则：3.二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用单元考点例题解析类型1：二次根式的相关概念有意义的条件【例题1】（2022北京）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_【答案】x8【解析】根据二次根式有意义的条件，可得x-80，然后进行计算即可解答【详解】解：由题意得：x-80，解得：x8故答案为：x8【点睛】本题考查了二次
10、根式有意义条件，熟练掌握二次根式是解题的关键类型2：二次根式的性质【例题2】（2022广西贺州）若实数m，n满足，则_【答案】7【解析】根据非负数的性质可求出m、n的值，进而代入数值可求解由题意知，m，n满足，m-n-5=0，2m+n4=0，m=3，n=-2，故答案为：7【点睛】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0根据这个结论可以求解这类题目类型3：二次根式的运算及应用【例题3】（2022广西河池）计算：【答案】【解析】根据化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂
11、进行计算即可求解原式【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂是解题的关键类型4：二次根式的化简求值【例题4】已知x为实数时，化简.【答案】见解析。【解析】根据|a|，结合绝对值的性质，将x的取值范围分段进行讨论解答|x1|x|.当x0时，x10，原式1x(x)12x；当0x1时，x10，原式1xx1；当x1时，x10，原式x1x2x1.方法总结：利用二次根式的性质进行化简时，要结合具体问题，先确定出被开方数的正负，对于式子|a|，当a的符号无法判断时，就需要分类讨论，分类时要做到不重不漏类型5：二次根式的混合运算【例题5】（2022甘肃威武）计算：
12、【答案】【解析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解原式.【点睛】本题考查了次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键单元核心素养达标检测（试卷满分120分，答题时间120分钟）一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）1.（2022黑龙江绥化）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）A. B. C. 且D. 且【答案】C【解析】根据二次根式被开方数不能为负数，负整数指数幂的底数不等于0，计算求值即可；由题意得：x+10且x0，x-1且x0，故选： C【点睛】本题考查了二次根式的定义，负整数指数幂的定义，掌握其定义是解题关键2.下列计算中，正确的是（）A5221B2+2C3
13、D3【答案】C【解析】根据合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法则逐一判断即可A523，此选项计算错误；B2与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；C3，此选项计算正确；D，此选项计算错误3.下列各式是最简二次根式的是（）A13B12Ca3D53【答案】A【解析】A、13是最简二次根式，符合题意；B、12=23，不是最简二次根式，不符合题意；C、a3=|a|a，不是最简二次根式，不符合题意；D、53=153，不是最简二次根式，不符合题意【点拨】利用最简二次根式定义判断即可4.当1a2时，代数式+|1a|的值是（）A1 B1 C2a3 D32a【答案】B 【解析】
14、首先判断出a20，1a0，进而利用绝对值以及二次根式的性质化简求出即可当1a2时，a20，1a0，+|1a|=2a+a1=15下列各式是最简二次根式的是（）A13B12Ca3D53【答案】A【解析】A.13是最简二次根式，符合题意；B.12=23，不是最简二次根式，不符合题意；C.a3=|a|a，不是最简二次根式，不符合题意；D.53=153，不是最简二次根式，不符合题意【点拨】利用最简二次根式定义判断即可6下列计算中，正确的是（）A2+3=5B2+2=22C23=6D23-2=3【答案】C【解析】A2与3不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；B2与2不是同类二次根式，不能合并，此选项计
15、算错误；C23=23=6，此选项计算正确；D23与2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；【点拨】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案7.（2022河北）下列正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据二次根式的性质判断即可A.，故错误；B.，故正确；C.，故错误；D.，故错误；故选：B【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键8下列计算正确的是()A. B.6 C. D.4【答案】C【解析】2.9.1和1的关系是()A互为相反数 B互为倒数 C相等 D以上都不是【答案】B【解析】1与1的积是1，所以互为倒数10下列计算结果错误的是（
16、 ）A.=9B.(3)(3)=-25C.=10D.=0【答案】C【解析】A.原式33339.B.原式()2(3)222725.C.原式()26.D.原式220.二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）1.（2022广西河池）若二次根式有意义，则a的取值范围是 _【答案】【解析】要根据二次根式有意义的条件列式计算即可求解由题意得，a10，解得，a1，故答案为：【点睛】此题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义时被开方数为非负数是解题的关键2. （2022黑龙江哈尔滨）计算结果是_【答案】【解析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可= =，故答案为：【点睛】本题考查了二次根
17、式的加减，把二次根式化为最简二次根式是解题的关键3. （2022武汉）计算的结果是_【答案】2【解析】根据二次根式的性质进行化简即可故答案为：2【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，注意：4. （2022广西柳州）计算：=_【答案】【解析】=；故答案为点睛：此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则是本题的关键5.（2022黑龙江大庆）在函数中，自变量的取值范围是_【答案】【解析】二次根式内非负，则函数有意义要使函数有意义，则二次根式内为非负2x+30解得：故答案为：【点睛】考查函数的取值范围，我们通常需要关注2点：一是分母不能为0，二是二次根式内的式子非负6.计算：92-12
18、+8= 【答案】32【解析】原式=322-22+2232【点拨】直接化简二次根式进而合并得出答案7.计算：2等于 【答案】2【解析】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可原式=3=28.（）=【答案】8【解析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键原式利用乘法分配律及二次根式乘法法则计算即可得到结果原式=91=89计算：8+|2-1|=_【答案】32-1【解析】首先利用二次根式的性质化简二次根式，利用绝
19、对值的性质计算绝对值，然后再算加减即可原式22+2-132-110. （2021辽宁盘锦）计算：_【答案】【解析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案原式三、解答题（本大题有7个小题，共60分）1.（8分）（2022安徽）计算：【答案】1【解析】原式运用零指数幂，二次根式的化简，乘方的意义分别计算即可得到结果故答案为：1【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂，二次根式的化简和乘方的意义是解本题的关键2.（10分）先化简，再求值：，其中a+3；【答案】见解析。【解析】分式的混合运算，注意先算乘除，然后算加减，有小括号先算小括号里面的，然后代入求值；原式，当a+3时，
20、原式；3.（8分）（2022湖南怀化）计算：（3.14）0+|1|+（）1【答案】2-【解析】分别根据二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可（3.14）0+|1|+（）1=1+-1+2-2=2-【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则是解答此题的关键4.（8分）把下列式子的分母有理化：【答案】见解析。【解析】把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如与，与 均为有理化因式。5（8分）探究过程：观察下列各式
21、及其验证过程3.验证：3.同理可得：45，通过上述探究你能猜测出：a_(a0)，并验证你的结论【答案】见解析。【解析】a验证：a.6.（8分）用定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：（1）求；（2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集【答案】(1)；(2)，图见解析【解析】（1）=（2），解得：将解集表示在数轴上如下：7.（10分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mna=m2+2n2，b=2mn这样小明
22、就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+2=（+）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？【答案】（1）m2+3n2，2mn（2）4、1（3）13 【解析】根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值（1）a+b=，a+b=m2+3n2+2mn，a=m2+3n2，b=2mn（2）设m=1，n=1，a=m2+3n2=4，b=2mn=2故答案为4、2、1、1（3）由题意，得：a=m2+3n2，b=2mn4=2mn，且m、n为正整数，m=2，n=1或者m=1，n=2，a=22+312=7，或a=12+322=13
