1、专题9 不等式与不等式组新课标对单元考点的要求（1）结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质。（2）能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集; 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。（3）能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。对单元考点解读考点1：不等式及其性质1. 不等式：用不等号（“”或“”或“”或“”或“”）表示不等关系的式子，叫做不等式2. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值3. 不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合
2、叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集4. 解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式5. 不等式基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或同一个整式），不等号的方向不变 若ab，则acbc（2）不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若ab，c0，则acbc（或）（3）不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 若ab，c0，则acbc（或）考点2：一元一次不等式及其解法1. 一元一次不等式的定义：不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式2.一元一次不等式的解法：一般步骤：（1）去分母（2）去括
3、号（3）移项（4）合并同类项（5）将未知项的系数化为1.考点3：一元一次不等式组及其解法1. 一元一次不等式组的定义：把关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立起来，就组成一个一元一次不等式组2. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集3. 解不等式组：求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组4. 一元一次不等式组的解法：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集5. 解集在数轴上的表示（令ab）：xa
4、大大取大xb小小取小bx6 x+xyy2 3-1/x 5A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.下列说法中，正确的是( )Ax2是不等式x34的解Bx3是不等式3x7的解C不等式3x8的解3.根据不等式的性质，下列变形正确的是()A由ab得ac2bc2B由ac2bc2得abC由a2得a2D由2x1x得x14.（2022甘肃威武）不等式的解集是（）A. B. C. D. 5不等式2x13的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD6对于不等式组,下列说法正确的是（）A此不等式组无解B此不等式组有7个整数解C此不等式组的负整数解是3，2，1D此不等式组的解集是x27.小明准备用40元钱购买作业本和签字
5、笔已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元，小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（ ）A5B4C3D28（2022湖南衡阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B. C. D. 9若关于x的不等式3x+a2只有2个正整数解，则a的取值范围为（）A7a4B7a4C7a4D7a410.（2022湖南邵阳）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题有10小题，每空3分，共30分）1.如果不等式(a1)xa1可变形为x1，那么a必须满足_2（2022黑龙江大庆）满足不等式组的整数解是_3.（2022黑龙江哈尔滨）不等式组的
6、解集是_4（2021湖北荆门）关于x的不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是 5.（2022黑龙江龙东地区）若关于x的一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是_6世纪公园的门票是每人5元，一次购门票满40张，每张门票可少1元若少于40人时，一个团队至少要有 人进公园，买40张门票反而合算7若关于x的一元一次不等式组x-102x-a0有2个整数解，则a的取值范围是 8不等式组5x-13(x+1)12x-14-13x的解集为 9不等式组2x-63x，x+25-x-140的解集为 10不等式组：10x7x+6，x-1x+73的解集为 三、解答题（6个小题，共60分）1.（12分）（2022河北）
7、整式的值为P（1）当m2时，求P的值；（2）若P的取值范围如图所示，求m的负整数值2.（10分）（2022广西百色）解不等式2x35，并把解集在数轴上表示出来3.（8分）（2022武汉）解不等式组请按下列步骤完成解答（1）解不等式，得_；（2）解不等式，得_；（3）把不等式和的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集是_4.（10分）（2022湖北孝感）某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元（1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？（2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过12
8、80元，问至少买乙种快餐多少份？5（10分）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案6.(10分）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法例如，代数式|x2|的几何意义是数轴上x所对应的点与
9、2所对应的点之间的距离：因为|x+1|x（1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离（1）发现问题：代数式|x+1|+|x2|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数1、2、x，AB3|x+1|+|x2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，当点P在线段AB上时，PA+PB3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB3|x+1|+|x2|的最小值是3（3）解决问题：|x4|+|x+2|的最小值是 ；利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x1|4；当a为何值时，代数式|x+a|+|x3|的最小值是2专题9 不等式与不等式组新课标对单元
10、考点的要求（1）结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质。（2）能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集; 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。（3）能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。对单元考点解读考点1：不等式及其性质1. 不等式：用不等号（“”或“”或“”或“”或“”）表示不等关系的式子，叫做不等式2. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值3. 不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不
11、等式的解集4. 解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式5. 不等式基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或同一个整式），不等号的方向不变 若ab，则acbc（2）不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若ab，c0，则acbc（或）（3）不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 若ab，c0，则acbc（或）考点2：一元一次不等式及其解法2. 一元一次不等式的定义：不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式2.一元一次不等式的解法：一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将
12、未知项的系数化为1.考点3：一元一次不等式组及其解法1. 一元一次不等式组的定义：把关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立起来，就组成一个一元一次不等式组2. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集3. 解不等式组：求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组4. 一元一次不等式组的解法：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集5. 解集在数轴上的表示（令ab）：xa大大取大xb小小取小bx6 x+xy
13、y2 3-1/x 6，这两个式子有不等号连接；不等号两边都是关于未知数的整式；只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为1.属于一元一次不等式。x+xyy2，含有两个未知数，不是一元一次不等式。 3-1/x 5，左端是含有分式，不是整式，不是一元一次不等式。2.下列说法中，正确的是( )Ax2是不等式x34的解Bx3是不等式3x7的解C不等式3x8的解【答案】D【解析】A不正确，因为当x2时，x34不成立；B不正确，因为不等式3x7的解集是x，当x3时，不等式3x7不成立；C不正确，因为不等式3x7有无数多个解，而x2只是其中一个解，因此只能说x2是3x7的解，而不能说不等式3x8成立故选
14、D.方法总结：不等式的解可以有无数个，一般是某个范围内的所有数未知数取解集中任何一个值时，不等式都成立；未知数取解集外任何一个值时，不等式都不成立3.根据不等式的性质，下列变形正确的是()A由ab得ac2bc2B由ac2bc2得abC由a2得ab，c0时，ac2bc2，故A错误；B中不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的符号不改变，故B正确；C中不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，右边也应乘以2，故C错误；D中不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变，故D错误故选B.方法总结：本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变4
15、.（2022甘肃威武）不等式的解集是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】按照解一元一次不等式步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1即可得出答案3x-24，移项得：3x4+2，合并同类项得：3x6，系数化为1得：x2故选：C【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1是解题的关键5不等式2x13的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD【答案】C【解析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可移项得，2x3+1，合并同类项得，2x4，x的系数化为1得，x2在数轴上表示为：6对于不等式组,下列说法正确的是（）A此不
16、等式组无解B此不等式组有7个整数解C此不等式组的负整数解是3，2，1D此不等式组的解集是x2【答案】B【解析】本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解分别解两个不等式得到x4和x2.5，利用大于小的小于大的取中间可确定不等式组的解集，再写出不等式组的整数解，然后对各选项进行判断，解得x4，解得x2.5，所以不等式组的解集为2.5x4，所以不等式组的整数解为2，1，0，1，2，3，47.小明准备用40元钱购买作业本和签字
17、笔已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元，小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（ ）A5B4C3D2【答案】B【解析】设还可以买x个作业本，根据总价=单价数量结合总价不超过40元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论设还可以买x个作业本，依题意，得：2.27+6x40，解得：又x为正整数，x的最大值为4【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键8（2022湖南衡阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可解不等式得
18、：解不等式得：不等式组的解集为故选：A【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键9若关于x的不等式3x+a2只有2个正整数解，则a的取值范围为（）A7a4B7a4C7a4D7a4【答案】D【解析】先解不等式得出x2-a3，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出22-a33，解之可得答案3x+a2，3x2a，则x2-a3，不等式只有2个正整数解，不等式的正整数解为1、2，则22-a33，解得：7a410.（2022湖南邵阳）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是
19、（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】分别对两个不等式进行求解，得到不等式组的解集为，根据不等式组有且只有三个整数解的条件计算出的最大值解不等式，解不等式，得，的解集为，不等式组有且只有三个整数解，不等式组的整数解应为：2，3，4，的最大值应为5故选：C【点睛】本题考查不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握不等式组的相关知识二、填空题（本大题有10小题，每空3分，共30分）1.如果不等式(a1)xa1可变形为x1，那么a必须满足_【答案】见解析【解析】根据不等式的性质可判断a1为负数，即a10，可得a1.方法总结：只有当不等式的两边都乘(或除以)一个负数时，不等号的方向才改变
20、2（2022黑龙江大庆）满足不等式组的整数解是_【答案】2【解析】分别求出不等式组中各不等式的解集，再求出其公共解集，找出符合条件的x的整数解即可，解不等式得，；解不等式得， 不等式组的解集为：不等式组的整数解为2，故答案为：2【点睛】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，解答此类题目的关键是熟练掌握求不等式组解集的方法3.（2022黑龙江哈尔滨）不等式组的解集是_【答案】【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集 由得， 解得；由得， 解得；不等式组的解集为故答案为：【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每
21、一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键4（2021湖北荆门）关于x的不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是 【答案】5a6【解析】求出每个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数得出关于a的不等式，解之可得答案解：解不等式（x+a）3，得：xa3，解不等式x1，得：x4，不等式组有2个整数解，2a33，解得5a65.（2022黑龙江龙东地区）若关于x的一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是_【答案】【解析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案，解不等式得：，解不等式得：，关于的不等式组的解集为，故答案为：
22、【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）6世纪公园的门票是每人5元，一次购门票满40张，每张门票可少1元若少于40人时，一个团队至少要有 人进公园，买40张门票反而合算【答案】33【解析】先求出购买40张票，优惠后需要多少钱，然后再利用5x160时，求出买到的张数的取值范围再加上1即可设x人进公园，若购满40张票则需要：40（51）404160（元），故5x160时，解得：x32，则当有32人时，购买32张票和40张票的价格相同，则再多1人时买40张票较合算；32+133（人）则
23、至少要有33人去世纪公园，买40张票反而合算7若关于x的一元一次不等式组x-102x-a0有2个整数解，则a的取值范围是 【答案】6a8【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于a的不等式组，解之可得答案解不等式x10，得：x1，解不等式2xa0，得：xa2，则不等式组的解集为1xa2，不等式组有2个整数解，不等式组的整数解为2、3，则3a24，解得6a88不等式组5x-13(x+1)12x-14-13x的解集为 【答案】2x6【解析】先根据解不等式的基本步骤求出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”可确定不等式组的
24、解集解不等式5x13（x+1），得：x2，解不等式12x14-13x，得：x6，则不等式组的解集为2x69不等式组2x-63x，x+25-x-140的解集为 【答案】6x13【解析】首先分别计算出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可2x-63xx+25-x-140，解得：x6，解得：x13，不等式组的解集为：6x1310不等式组：10x7x+6，x-1x+73的解集为 【答案】2x5【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解10x7x+6x-1x+73，解不等式得x2，解不等式得x5故原不等式组的解集是2x5三、解答题（6个小题，共60分）1.（12分）（2
25、022河北）整式的值为P（1）当m2时，求P的值；（2）若P的取值范围如图所示，求m的负整数值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）将m2代入代数式求解即可，（2）根据题意，根据不等式，然后求不等式的负整数解【详解】(1)解：当时，；(2)，由数轴可知，即，解得，的负整数值为【点睛】本题考查了代数式求值，解不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键2.（10分）（2022广西百色）解不等式2x35，并把解集在数轴上表示出来【答案】原不等式的解集为；见解析【解析】通过移项，合并同类项及不等式的两边同时除以2，进行求解并把解集在数轴上表示出来即可移项，得，合并同类项，得，不等式的两边同
26、时除以2，得，所以，原不等式的解集为如图所示： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，及将解集在数轴上表示出来，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键3.（8分）（2022武汉）解不等式组请按下列步骤完成解答（1）解不等式，得_；（2）解不等式，得_；（3）把不等式和的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集是_【答案】（1） （2） （3）详见解析 （4）【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”原则取所含不等式解集的公共部分，即确定为不等式组的解集【详解】（1）解：解不等式，得（2）解：解不等式，得（3）解：把不等式和的
27、解集在数轴上表示出来：【小问4详解】解：由图可得，原不等式组的解集是：【点睛】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键4.（10分）（2022湖北孝感）某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元（1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？（2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？【答案】（1）买一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元 （2）至少买乙种快餐37
28、份【解析】【分析】（1）设一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元，根据题意列出方程组，解方程即可求解；（2）设购买乙种快餐份，则购买甲种快餐份，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解【详解】(1)解：设一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元，根据题意得，解得答：买一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元；(2)设购买乙种快餐份，则购买甲种快餐份，根据题意得，解得至少买乙种快餐37份答：至少买乙种快餐37份【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键5（10分）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强
29、体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案【答案】见解析。【解析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，依题意，得：2x+5y=324x+3y=36，解得：x=6y=4答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元（2）设购买m根跳绳，则购买（54m）个毽子，依题意，得：6m+4(54-m)260m20，解得：20m22
30、又m为正整数，m可以为21，22共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子6（10分）（2020自贡）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法例如，代数式|x2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|x（1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离（1）发现问题：代数式|x+1|+|x2|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数1、2、x，AB3|x+1|+|x2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，当点P
31、在线段AB上时，PA+PB3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB3|x+1|+|x2|的最小值是3（3）解决问题：|x4|+|x+2|的最小值是 ；利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x1|4；当a为何值时，代数式|x+a|+|x3|的最小值是2【答案】见解析。【分析】观察阅读材料中的（1）和（2），总结出求最值方法；（3）原式变形2和4距离x最小值为4（2）6；根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可【解析】（1）发现问题：代数式|x+1|+|x2|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数1、2、x，AB3|x+1|+|x2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，当点P在线段AB上时，PA+PB3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB3|x+1|+|x2|的最小值是3（3）解决问题：|x4|+|x+2|的最小值是6；故答案为：6；如图所示，满足|x+3|+|x1|4的x范围为x3或x1；当a为1或5时，代数式|x+a|+|x3|的最小值是2
