1、专题18 平行四边形新课标对单元考点的要求（1）理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。（2）探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。（3）理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离。（4）探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直。（5）探索并证明矩形、菱形的判定定理：三个角是直角的四边形是
2、矩形，对角线相等的 平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系。注意：本标准中多边形指凸多边形。（6）探索并证明三角形的中位线定理。单元知识框架整合思维导图对单元考点解读考点1：几种特殊四边形的性质考点2：几种特殊四边形的常用判定方法考点3：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系考点4：其他重要概念及性质 1.两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线之间的距离.2.三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.3.直角三角形斜
3、边上的中线： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.考点5：技巧记忆与辅助线添加1.几种特殊四边形的定义（1）平行四边形定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 （2）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。（3）菱形的定义 ：邻边相等的平行四边形叫做菱形。（4）正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形叫做正方形。2.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用
4、方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线；（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形；（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线；（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。3.四边形中常用辅助线的添法顺口溜平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。单元考点例题解析重点类型1：平
5、行四边形的性质与判定问题【例题1】（2022广西河池）如图，点A，F，C，D在同一直线上，ABDE，AFCD，BCEF（1）求证：ACBDFE；（2）连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状重点类型2：三角形的中位线问题【例题2】（2022广东）如图，在中，点D，E分别为，的中点，则（ ）A. B. C. 1D. 2重点类型3：特殊平行四边形的性质与判定问题 【例题3】（2022贵州铜仁）如图，在矩形中，则D的坐标为（ ）A. B. C. D. 【例题4】（2022海南）如图，菱形中，点E是边的中点，垂直交的延长线于点F，若，则菱形的边长是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 【例题5】（2
6、022海南）如图，正方形中，点E、F分别在边上，则_；若的面积等于1，则的值是_重点类型4：解题思想方法问题【例题6】（2022黑龙江绥化）在长为2，宽为x（）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为_单元核心素养达标检测（试卷满分120分，答题时间120分钟）一、选择题（本题有7小题，每小题3分，共21分）1.（2022河北）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A B C D2.（2022湖南衡阳）下列命题为假命题的是（ ）
7、A. 对角线相等的平行四边形是矩形B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形C. 有一个内角是直角的平行四边形是正方形D. 有一组邻边相等的矩形是正方形3.（2022广西河池）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是( )A. ABADB. ACBDC. ACBDD. DACBAC4.菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（）A5B20C24D325. （2022甘肃兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，则（ ）A. 4B. C. 2D. 6.（2022河南） 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E
8、为CD的中点若OE3，则菱形ABCD的周长为（ ）A. 6B. 12C. 24D. 487.如图，在平行四边形中，连接AC，过点B作，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F若，则四边形ABEC的面积为（ ） A. B. C. 6D. 二、填空题（本题有10小题，每空3分，共33分）1.（2022福建）如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点若BC12，则DE的长为_2.（2022贵州铜仁）如图，四边形ABCD为菱形，ABC=80，延长BC到E，在DCE内作射钱CM，使得ECM=30，过点D作DFCM，垂足为F若DF=，则BD的长为_（结果保留很号）3. （2022贵州铜仁）如图，在
9、边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将CDE沿CE翻折得CME，点M落在四边形ABCE内点N为线段CE上的动点，过点N作NP/EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为_4.（2022甘肃威武）如图，菱形中，对角线与相交于点，若，则的长为_cm5.（2022黑龙江齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，ACBD，垂足为O，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是_（只需写出一个条件即可）6.（2022甘肃威武）如图，在四边形中，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个矩形，只需添加的一个条件是_7.（2022广西北部湾）如图，在正方形ABCD中，对角线相交于点O点E是对角线AC上一点
10、，连接BE，过点E作，分别交于点F、G，连接BF，交AC于点H，将沿EF翻折，点H的对应点恰好落在BD上，得到若点F为CD的中点，则的周长是_8.（2022湖北十堰）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡，分别架在墙体的点，处，且，侧面四边形为矩形，若测得，则_9.如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 是 AD 的中点，BCD 的周长为 18，则DEO 的周长是 10.已知菱形ABCD的面积为2，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD上的动点连接AE，若AE平分BAC，则线段PE与PC的和的最小值为 ，最大值为 三、解答题（
11、本题有6小题，共66分）1.（11分） （2022广西北部湾）如图，在中，BD是它的一条对角线，（1）求证：；（2）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；（3）连接BE，若，求的度数2（10分）.（2022湖北鄂州） 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且CDF=BDC、DCF=ACD（1）求证：DF=CF；（2）若CDF=60，DF=6，求矩形ABCD的面积3. （10分）（2022云南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，BDF=90（1）求证：四边形ABDF
12、是矩形；（2）若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S4. （10分）（2022贵州遵义）将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点，分别在，上（1）求证：；（2）若，求的长5.（10分）如图，在ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：DHF=DEF6.（15分）（2022广东深圳）（1）【探究发现】如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点求证：（2）【类比迁移】如图，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长（3）【拓展应用】如图
13、，在菱形中，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长专题18 平行四边形新课标对单元考点的要求（1）理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它 们之间的关系；了解四边形的不稳定性。（2）探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。（3）理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离。（4）探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直
14、。（5）探索并证明矩形、菱形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的 平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系。注意：本标准中多边形指凸多边形。（6）探索并证明三角形的中位线定理。单元知识框架整合思维导图对单元考点解读考点1：几种特殊四边形的性质考点2：几种特殊四边形的常用判定方法考点3：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系考点4：其他重要概念及性质 1.两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线之间的距离.2.三角形的中位线定理： 三角
15、形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.3.直角三角形斜边上的中线： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.考点5：技巧记忆与辅助线添加1.几种特殊四边形的定义（1）平行四边形定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 （2）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。（3）菱形的定义 ：邻边相等的平行四边形叫做菱形。（4）正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形叫做正方形。2.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似
16、，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线；（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形；（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线；（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。3.四边形中常用辅助线的添法顺口溜平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。
17、斜边上面作高线，比例中项一大片。单元考点例题解析重点类型1：平行四边形的性质与判定问题【例题1】（2022广西河池）如图，点A，F，C，D在同一直线上，ABDE，AFCD，BCEF（1）求证：ACBDFE；（2）连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状【答案】（1）见解析（2）四边形BFEC是平行四边形【解析】【分析】（1）证ABCDEF（SSS），再由全等三角形的性质即可得出结论；（2）由（1）可知，ACB=DFE，则BCEF，再由平行四边形的判定即可得出结论【详解】（1）证明：AF=CD，AF CF = CD CF，即ACDF，在ABC和DEF中，ABCDEF（SSS）（2）如图，四边
18、形BFEC是平行四边形，理由如下：由（1）可知，ACB=DFE，BC EF，又 BC = EF，四边形BFEC是平行四边形【点睛】本题考查了平行网边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键重点类型2：三角形的中位线问题【例题2】（2022广东）如图，在中，点D，E分别为，的中点，则（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】D【解析】利用中位线的性质即可求解D、E分别为AB、AC的中点，DE为ABC的中位线，BC=4，DE=2，故选：D【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，掌握中位线的判定与性质是解答本题的关键重点类型3：特殊
19、平行四边形的性质与判定问题 【例题3】（2022贵州铜仁）如图，在矩形中，则D的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】先根据A、B的坐标求出AB的长，则CD=AB=6，并证明轴，同理可得轴，由此即可得到答案A（-3，2），B（3，2），AB=6，轴，四边形ABCD是矩形，CD=AB=6，轴，同理可得轴，点C（3，-1），点D的坐标为（-3，-1），故选D【点睛】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，熟知矩形的性质是解题的关键【例题4】（2022海南）如图，菱形中，点E是边的中点，垂直交的延长线于点F，若，则菱形的边长是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 【答案】B【解析】过C作
20、CMAB延长线于M，根据设，由菱形的性质表示出BC=4x，BM=3x，根据勾股定理列方程计算即可【详解】过C作CMAB延长线于M，设点E是边的中点菱形，CEAB，CMAB四边形EFMC是矩形，BM=3x在RtBCM中，解得或（舍去）故选：B【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用属于拔高题【例题5】（2022海南）如图，正方形中，点E、F分别在边上，则_；若的面积等于1，则的值是_【答案】 60 【解析】由正方形的性质证明，即可得到，再由可得，即可求出设，表示出的面积，解方程即可【详解】正方形，（HL），设的面积等于1，解得，（舍去）故答
21、案为：60；【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、30直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键重点类型4：解题思想方法问题【例题6】（2022黑龙江绥化）在长为2，宽为x（）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为_【答案】 或【解析】分析题意，根据x的取值范围不同，对剩下矩形的长宽进行讨论，求出满足题意的x值即可第一次操作后剩下的矩形两边长为 和 ， ，又， ， ，则第一次操作后，剩下矩形的宽
22、为，所以可得第二次操作后，剩下矩形一边为 ，另一边为： ，第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，第二次操作后剩下矩形的长是宽的2倍，分以下两种情况进行讨论：当 ，即时 ，第三次操作后剩下的矩形的宽为 ，长是 ，则由题意可知： ，解得： ；当 ，即时，第三次操作后剩下的矩形的宽为 ，长是 ，由题意得： ，解得： ， 或者 故答案为： 或 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质以及分类讨论的数学思想方法，熟练掌握矩形，正方形性质以及分类讨论的方法是解题的关键单元核心素养达标检测（试卷满分120分，答题时间120分钟）一、选择题（本题有7小题，每小题3分，共21分）1.（2022河北）依据所标数据
23、，下列一定为平行四边形的是（ ） A B C D【答案】D【解析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可；平行四边形对角相等，故A错误；一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误；三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确；故选：D【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键2.（2022湖南衡阳）下列命题为假命题的是（ ）A. 对角线相等的平行四边形是矩形B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形C. 有一个内角是直角的平行四边形是正方形D. 有一组邻边相等的矩形是正方形【答案】C【解析】根据矩形、菱
24、形、正方形判定方法，一一判断即可A.对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，本选项不符合题意B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意C.有一个内角是直角的平行四边形可能是长方形，是假命题，应该是矩形，推不出正方形，本选项符合题意D.有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，本选项不符合题意故选：C【点睛】本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法，属于中考常考题型3.（2022广西河池）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是( )A. ABADB. ACBDC. ACBDD. DACBAC【答案
25、】C【解析】根据菱形的性质逐项分析判断即可求解四边形ABCD是菱形，ABAD，ACBD，DACBAC，故A、B、D选项正确，不能得出，故C选项不正确，故选：C.【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键4.菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（）A5B20C24D32【答案】B【解析】根据题意画出图形，由菱形的性质求得OA4，OB3，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长如图所示：四边形ABCD是菱形，AC8，BD6，ABBCCDAD，OA=12AC4，OB=12BD3，ACBD，AB=OA2+OB2=42+32=5，此菱形的周长45205. （2022甘肃兰州）
26、如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，则（ ）A. 4B. C. 2D. 【答案】C【解析】根据菱形的性质得出，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出利用菱形性质、直角三角形边长公式求出，进而求出是菱形，E为AD的中点，是直角三角形，即，故选：C【点睛】本题主要考查菱形、直角三角形的性质的理解与应用能力解题关键是得出并求得求解本题时应恰当理解并运用菱形对角线互相垂直且平分、对角相等，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质6.（2022河南） 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点若OE3，则菱形ABCD的周长为（ ）A.
27、6B. 12C. 24D. 48【答案】C【解析】由菱形的性质可得出BO=DO，AB=BC=CD=DA，再根据中位线的性质可得，结合菱形的周长公式即可得出结论四边形ABCD为菱形，BO=DO，AB=BC=CD=DA，OE=3，且点E为CD的中点，是的中位线，BC=2OE=6菱形ABCD的周长为:4BC=46=24故选：C【点睛】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出AD=67.如图，在平行四边形中，连接AC，过点B作，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F若，则四边形ABEC的面积为（ ） A. B. C. 6D. 【答案】B【解析】先证明四边形ABEC为矩形，再求出AC
28、，即可求出四边形ABEC的面积四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AB=CD=2，BC=AD=3，D=ABC，四边形ABEC为平行四边形，AFC=ABF+BAF，ABF=BAF，AF=BF，2AF=2BF，即BC=AE，平行四边形ABEC是矩形，BAC=90，,矩形ABEC的面积为【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟知相关定理，证明四边形ABEC为矩形是解题关键二、填空题（本题有10小题，每空3分，共33分）1.（2022福建）如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点若BC12，则DE的长为_【答案】6【解析】利用中位线的性质计算即可D，E分别是AB
29、，AC的中点，DE是ABC的中位线，又BC=12，故答案为：6【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，中位线平行且等于第三边的一半，熟记中位线的性质是解题的关键2.（2022贵州铜仁）如图，四边形ABCD为菱形，ABC=80，延长BC到E，在DCE内作射钱CM，使得ECM=30，过点D作DFCM，垂足为F若DF=，则BD的长为_（结果保留很号）【答案】【解析】连接AC交BD于H，证明DCHDCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度如图，连接AC交BD于点H，由菱形的性质得ADC=ABC=80，DCE=80，DHC=90，又ECM=30，DCF=50，DFCM，CFD=90，CDF=4
30、0，又四边形ABCD是菱形，BD平分ADC，HDC=40，在CDH和CDF中，CDHCDF（AAS），DH=DF=，DB=2DH=故答案为：【点睛】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，菱形的对角线互相平分是此题的关键知识点，得出HDC=FDC是这个题最关键的一点3. （2022贵州铜仁）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将CDE沿CE翻折得CME，点M落在四边形ABCE内点N为线段CE上的动点，过点N作NP/EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为_【答案】【解析】过点M作MFCD于F，推出MN+NP的最小值为MF的长，证明四边形DEMG为菱形，利用相似三角形的判定和
31、性质求解即可作点P关于CE的对称点P， 由折叠的性质知CE是DCM的平分线，点P在CD上，过点M作MFCD于F，交CE于点G，MN+NP=MN+NPMF，MN+NP的最小值为MF的长， 连接DG，DM，由折叠的性质知CE为线段 DM的垂直平分线，AD=CD=2，DE=1，CE=，CEDO=CDDE， DO=，EO=，MFCD，EDC=90，DEMF，EDO=GMO， CE为线段DM的垂直平分线，DO=OM，DOE=MOG=90，DOEMOG，DE=GM，四边形DEMG为平行四边形， MOG=90，四边形DEMG为菱形，EG=2OE=，GM= DE=1，CG=，DEMF，即DEGF，CFGCDE
32、，即， FG=，MF=1+=，MN+NP的最小值为故答案为：【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键4.（2022甘肃威武）如图，菱形中，对角线与相交于点，若，则的长为_cm【答案】8【解析】利用菱形对角线互相垂直且平分的性质结合勾股定理得出答案即可 菱形中，对角线，相交于点，AC=4，AO=OC=AC=2， ，故答案为：8【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理解直角三角形，是解题关键5.（2022黑龙江齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD
33、中，ACBD，垂足为O，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是_（只需写出一个条件即可）【答案】AB=CD或ADBC或OA=OC或OB=OD等（只需写出一个条件即可）【解析】由菱形的判定方法进行判断即可可以添加的条件是：ABCD，理由如下：，四边形ABCD是平行四边形，ACBD，四边形ABCD是菱形；也可以添加条件是：，利用如下：，四边形ABCD是平行四边形，ACBD，四边形ABCD是菱形；也可以添加的条件是OA=OC，利用如下：，（AAS），AB=CD，四边形ABCD是平行四边形，ACBD，四边形ABCD是菱形；也可以添加的条件是OB=OD，利用如下：，（AAS），AB=CD，四边形ABC
34、D是平行四边形，ACBD，四边形ABCD是菱形故答案为：AB=CD或ADBC或OA=OC或OB=OD等（只需写出一个条件即可）【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，熟记“对角线互相垂直的平行四边形为菱形”，是解题的关键6.（2022甘肃威武）如图，在四边形中，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个矩形，只需添加的一个条件是_【答案】（答案不唯一）【解析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论需添加的一个条件是A=90，理由如下：ABDC，ADBC，四边形ABCD是平行四边形，又A=90，平行四边形ABCD是矩形，故答案
35、为：A=90（答案不唯一）【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键7.（2022广西北部湾）如图，在正方形ABCD中，对角线相交于点O点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作，分别交于点F、G，连接BF，交AC于点H，将沿EF翻折，点H的对应点恰好落在BD上，得到若点F为CD的中点，则的周长是_【答案】#【解析】【分析】过点E作PQAD交AB于点P，交DC于点Q，得到BP=CQ，从而证得，得到BE=EF，再利用，F为中点，求得，从而得到，再求出，再利用ABFC，求出，得到，求得，从而得到EH=AH-AE=，再求得得到，
36、求得EG=，OG=1， 过点F作FMAC 于点M，作FNOD于点N，求得FM=2，MH=，FN=2，证得RtRt得到，从而得到ON=2，NG=1， ，从而得到答案【详解】解：过点E作PQAD交AB于点P，交DC于点Q，ADPQ，AP=DQ，BP=CQ，BP=CQ=EQ，EFBE，在与中 ，BE=EF，又，F为中点，又， ，AE=AO-EO=4-2=2，ABFC， ，EH=AH-AE=，又， ，EG=，OG=1，过点F作FMAC 于点M，FM=MC=，MH=CH-MC=， 作FNOD于点N，在Rt与Rt中RtRt，ON=2，NG=1，故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质应用，重点是与三角形相
37、似和三角形全等的结合，熟练掌握做辅助线是解题的关键8.（2022湖北十堰）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡，分别架在墙体的点，处，且，侧面四边形为矩形，若测得，则_【答案】【解析】根据矩形的性质可得，求出，根据等边对等角可得，然后根据三角形内角和定理即可求解四边形为矩形， 故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键9.如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 是 AD 的中点，BCD 的周长为 18，则DEO 的周长是 【答案】9【解析】E 为 AD 中点，四边形 ABCD
38、 是平行四边形，DE= AD= BC，DO=BD，AO=CO，OE= CD，BCD 的周长为 18，BD+DC+B=18，DEO 的周长是 DE+OE+DO=（BC+DC+BD）=18=910.已知菱形ABCD的面积为2，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD上的动点连接AE，若AE平分BAC，则线段PE与PC的和的最小值为 ，最大值为 【答案】；2+【解析】由点E是一边BC上的中点及AE平分BAC，可得ABC是等边三角形，根据菱形ABCD的面积为2，可得菱形的边长为2；求PE+PC的最小值，点E和点C是定点，点P是线段BD上动点，由轴对称最值问题，可求出最小值；求和的最大值，观察图形可知，
39、当PE和PC的长度最大时，和最大，即点P和点D重合时，PE+PC的值最大解：根据图形可画出图形，如图所示，过点B作BFAC交AE的延长线于点F，FCAE，EBFACE，点E是BC的中点，ACEFBE（AAS），BFAC，AE平分BAC，BAECAE，BAEF，ABBFAC，在菱形ABCD中，ABBC，ABBCAC，即ABC是等边三角形；ABC60，设ABa，则BD，菱形ABCD的面积ACBD2，即2，a2，即ABBCCD2；四边形ABCD是菱形，点A和点C关于BD对称，PE+PCAP+EP，当点A，P，E三点共线时，AP+EP的和最小，此时AE；点P和点D重合时，PE+PC的值最大，此时PCD
40、C2，过点D作DGBC交BC的延长线于点G，连接DE，ABCD，ABC60，DCG60，CG1，DG，EG2，DE，此时PE+PC2+；即线段PE与PC的和的最小值为；最大值为2+故答案为：；2+三、解答题（本题有6小题，共66分）1.（11分） （2022广西北部湾）如图，在中，BD是它的一条对角线，（1）求证：；（2）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；（3）连接BE，若，求的度数【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）50【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出，可利用“SSS”证明三角形全等；（2）根据垂直平分线的作法即可解答；
41、（3）根据垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质求解即可【详解】（1）四边形ABCD是平行四边形，（2）如图，EF即为所求；（3） BD的垂直平分线为EF，【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键2（10分）.（2022湖北鄂州） 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且CDF=BDC、DCF=ACD（1）求证：DF=CF；（2）若CDF=60，DF=6，求矩形ABCD的面积【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）先证明DCFDCO得到DF=DO，CF=CO，再由矩形的性质证明OC=OD，即可证明DF=CF=OC=OD；（2）由全等三角形的性质得到CDO=CDF=60，OD=DF=6，即可证明OCD是等边三角形，得到CD=OD=6，然后解直角三角形BCD求出BC的长即可得到答案【详解】（1）解：在DCF和DCO中，DCFDCO（ASA），DF=DO，CF=CO，四边形ABCD是矩形，DF=CF=OC=OD；（2）解：DCF
