1、专题9：反比例函数一、单选题1如图，一次函数y1ax+b（a0）与反比例函数（k0，x0）的交点A坐标为（2，1），当y1y2时，x的取值范围是（）A0x2B0x2Cx2Dx2【答案】A【解析】【分析】根据一次函数y1=ax+b（a0）与反比例函数的交点坐标即可得到结论【详解】由图象得，当y1y2时，x的取值范围是0x2，故选：A【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据A的坐标，结合图象是解题的关键2如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线ly轴，且直线l分别与反比例函数和的图象交于P、Q两点若SPOQ15，则k的值为（）A38B22C7D22【答案】D【解
2、析】【分析】设点P（a，b），Q（a，），则OMa，PMb，MQ，则PQPM+MQ，再根据ab8，SPOQ15，列出式子求解即可【详解】解：设点P（a，b），Q（a，），则OMa，PMb，MQ，PQPM+MQ点P在反比例函数y的图象上，ab8SPOQ15，PQOM15，a（b）15abk308k30，解得：k22故选：D【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的相关知识是解题的关键二、填空题3（2022四川宜宾）如图，OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y=(x0)的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）若ABOM于点B，则k的值为_【答案】【解析】
3、【分析】过点B作BCx轴于点C，过点A作ADx轴于点D，设OC=x，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得点B(x，x)，点A(15-2x，2x-5)，再利用反比例函数的性质列方程，解方程即可求解【详解】解：过点B作BCx轴于点C，过点A作ADx轴于点D，如图：OMN是边长为10的等边三角形，OM=MN=ON=10，MON=MNO=M=60，OBC=MAB=NAD=30，设OC=x，则OB=2x，BC=x，MB=10-2x，MA=2MB=20-4x，NA=10-MA=4x-10，DN=NA=2x-5，AD=DN=(2x-5)= 2x-5，OD=ON-DN=15-2x，点B(x，x)，
4、点A(15-2x，2x-5)，反比例函数y=(x0)的图象与边MN、OM分别交于点A、B，xx=(15-2x)( 2x-5)，解得x=5(舍去)或x=3，点B(3，)，k= 9故答案为：9【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题4（2022四川乐山）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=(k0)上，且ADx轴，CA的延长线交y轴于点E若SABE=，则k=_【答案】3【解析】【分析】连接OD、DE，利用同底等高的两个三角形面积相等得到SADE= SABE=，以及SADE=SADO=，
5、再利用反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可【详解】解：连接OD、DE，四边形ABCD是平行四边形，点B、点D到对角线AC的距离相等，SADE= SABE=，ADx轴，ADOE，SADE=SADO=，设点D(x，y) ，SADO=OAAD=xy=，k=xy=3故答案为：3【点睛】本题考查的是反比例系数k的几何意义，涉及到平行四边形的性质及反比例函数图象上点的坐标特点等相关知识，利用同底等高的两个三角形面积相等得到SADE= SABE是解题的关键三、解答题5（2022四川乐山）如图，已知直线1：y=x+4与反比例函数y=(x0)的图象交于点A(1，n)，直线l经过点A，且与l关于直线x=1对称
6、(1)求反比例函数的解析式；(2)求图中阴影部分的面积【答案】(1)反比例函数的解析式为y=；(2)图中阴影部分的面积为7【解析】【分析】（1）先求得点A的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）先求得直线l的解析式为y=-x+2，再根据图中阴影部分的面积=SABC- SOCD求解即可(1)解：直线1：y=x+4经过点A(-1，n)，n=-1+4=3，点A的坐标为(-1，3)，反比例函数y=(x0)的图象经过点A(-1，3)，k=-13=-3，反比例函数的解析式为y=；(2)解：直线l经过点A，且与l关于直线x=1对称，设直线l的解析式为y=-x+m，把A(-1，3)代入得3=1+m，解得m=2
7、，直线l的解析式为y=-x+2，直线1：y=x+4与x轴的交点坐标为B(-4，0)，直线l：y=-x+2与x轴的交点坐标为C(2，0)，与y轴的交点坐标为D(0，2)，图中阴影部分的面积=SABC- SOCD=63-22=9-2=7【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数点的坐标特征，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键6（2020四川广安）如图，直线与双曲线（k为常数，k0）交于A，D两点，与x轴、y轴分别交于B，C两点，点A的坐标为（m，2）（1）求反比例函数的解析式（2）结合图象直接写出当时，x的取值范围【答案】（1）反比例函数的解析式为；（2）当
8、时，x-2或0x1【解析】【分析】（1）将点A的坐标为（m，2）代入一次函数解析式中,即可求出m，从而得出点A的坐标，然后将点A的坐标代入反比例函数解析式中即可得出结论；（2）结合图象即可得出结论【详解】解：（1）点A的坐标为（m，2）代入一次函数解析式中,得2=m1解得：m=1点A的坐标为（1，2）将点A的坐标代入反比例函数解析式中，得解得：k=2反比例函数的解析式为；（2）联立解得：或（此时符合点A的坐标，故舍去）点D的坐标为（-2，-1）由函数图象可知：在点D的右侧和y轴与点A之间，一次函数图象在反比例函数图象下方当时，x-2或0x1【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌
9、握利用待定系数法求反比例函数解析式和利用图象和函数值的大小关系，求自变量的取值范围是解题关键7（2020四川）如图，一次函数y1ax+b与反比例函数y2的图象交于A、B两点点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1（1）求a，b的值（2）在反比例y2第三象限的图象上找一点P，使点P到直线AB的距离最短，求点P的坐标【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先确定A，B两点坐标，再利用待定系数法求解即可（2）过点P作直线PMAB，当直线PM与反比例函数只有一个交点时，点P到直线AB的距离最短，构建方程组把问题转化为一元二次方程，利用判别式=0，构建方程求解即可【详解】（1）一次函数y1=ax+b与反
10、比例函数y2=的图象交于A、B两点且点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，A（2，2），B（4，1），则有，解得，；（2）过点P作直线PMAB，当直线PM与反比例函数只有一个交点时，点P到直线AB的距离最短，设直线PM的解析式为y=x+n，由，消去y得到，x22nx+8=0，由题意，4n232=0，n=2或2（舍弃），解得，P（2，）【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题8（2020四川绵阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y（k0）的图象在第二象限交于A（3，m），B（n，2）两
11、点（1）当m1时，求一次函数的解析式；（2）若点E在x轴上，满足AEB90，且AE2m，求反比例函数的解析式【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将点坐标代入反比例函数解析式中求出，进而得出点坐标，最后用待定系数法求出直线的解析式；（2）先判断出，进而得出，得出，即，再求出，进而得出，即，再判断出，得出，得出，最后用勾股定理求出，即可得出结论【详解】解：（1）当时，点，点在反比例函数的图象上，反比例函数的解析式为；点在反比例函数图象上，设直线的解析式为，则，直线的解析式为；（2）如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作于，交于，则四边形是矩形，在和中，点，在反比例函数的图象上，在中，根据勾股
12、定理得，反比例函数的解析式为【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出是解本题的关键9（2021四川巴中）如图，双曲线y与直线ykx+b交于点A(8，1)、B(2，4)，与两坐标轴分别交于点C、D，已知点E(1，0)，连接AE、BE（1）求m，k，b的值；（2）求ABE的面积；（3）作直线ED，将直线ED向上平移n（n0）个单位后，与双曲线y有唯一交点，求n的值【答案】（1），；（2）；（3）【解析】【分析】（1）将点A(8，1)、B(2，4)代入直线和双曲线，即可求解；（2）由图形可得ABE面积为ACE和CBE面积的和，分别求得ACE和CBE的面积即可求解；（3）先求得直线ED解析式，根据平移法则求得平移后的直线解析式，联立双曲线，得到一元二次方程，令，即可求解【详解】解：（1）将A(8，1)、B(2，4)代入直线ykx+b得：，解得将A(8，1)代入双曲线y得：，解得（2）将代入直线得，即将代入直线得，即E(1，0)，由图像可得（3）设直线解析式为，将E(1，0)、代入，得：，解得直线解析式为直线ED向上平移n（n0）个单位，则，联立双曲线得：，化简得与双曲线y有唯一交点解得又n0【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、涉及了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关基本性质是解题的关键
