1、2023年中考数学复习三角形综合解答题专题提升训练1【问题初探】如图（1），ABC中，BAC90，ABAC，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作ADE，使DAE90，ADAE，连接BE，BE和CD有怎样的数量关系 （直接写出答案，不写过程）【类比再探】如图（2），ABC中，BAC90，ABAC，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作MDE，使DME90，MDME，连接BE，则EBD （直接写出答案，不写过程，但要求作出辅助线）【方法迁移】如图（3），ABC是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形ADE，连接BE，则BD、BE、BC之间有怎样
2、的数量关系？ （直接写出答案，不写过程）【拓展创新】如图（4），ABC是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作等边三角形MDE，连接BE猜想EBD的度数，并说明理由2如图，在ABC中，BAC90，ABACADBC于点D，AD4E为AC边上一点（不与A，C重合），连结BE，作AGBE，垂足为F，交BC于点G，连结EG分别记AEB，AGB，CEG为1，2，3（1）AB的长为 （2）当12时，求EGC的周长（3）当13时，AE的长为 （直接给出答案）3如图，ABC中，BAC120，ABAC，点D为BC边上一点（1）如图1，若ADAM，DAM120求证：BDCM；若C
3、MD90，求的值；（2）如图2，点E为线段CD上一点，且CE1，AB2，DAE60，求DE的长4ABC、DPC都是等边三角形（1）如图1，求证：APBD；（2）如图2，点P在ABC内，M为AC的中点，连PM、PA、PB，若PAPM，且PB2PM求证：BPBD；判断PC与PA的数量关系并证明5已知等腰三角形ABC中，ABAC20cm，ABC30，CDAB交BA延长线于点D，AF为CA的延长线，点P从A点出发以每秒2cm的速度在射线AF上向右运动，连接BP，以BP为边，在BP的左侧作等边三角形BPE，连接AE（1）如图1，当BPAC时，求证：ABPACD；（2）当点P运动到如图2位置时，此时点D与
4、点E在直线AP同侧，求证：APAB+AE；（3）在点P运动过程中，连接DE，当点P运动多少秒时，线段DE长度取到最小值6如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，CACB，CECD，ACB的顶点A在ECD的斜边DE上，连接DB（1）证明：EACDBC；（2）当点A在线段ED上运动时，猜想AE、AD和AC之间的关系，并证明（3）在A的运动过程中，当，时，求ACM的面积7如图1，在RtABC中，ACB90，过点A作直线MN，使CABCAM，过点B作BNMN于点N，过点C作CMMN于点M（1）猜想ACM与BAN的数量关系，并说明理由；（2）求证：ABAN+2AM；（3）如图2，连接NC交AB于点G，若
5、，CM6，求AC的长8如图，在ABC中，ABC90，ABBC，A（8，0），B（0，4）（1）如图1，求点C的坐标；（2）如图2，BC交x轴于点M，AC交y轴于点N，且BMCM，求证：CMN+BAM90；（3）如图3，若点A不动，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰直角BOF与等腰直角ABE，其中ABEOBF90，连接EF交y轴于P点，问当点B在y轴正半轴上移动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出其长度9如图1在ABC和ADE中，BACEAD，ABAC，ADAE，连接CD，交AE于点F（1）求证：DCEBAC；（2）当BACEAD30
6、，ADAB时，如图2，延长DC，AB交于点G，求证：ACF是等腰三角形；（3）在（2）的条件下，是否还存在除ABC，ADE和ACF以外的等腰三角形，如果存在，试将它们全都写出来10已知点D是ABC外一点，连接AD，BD，CD，BACBDC（1）【特例体验】如图1，ABBC，60，则ADB的度数为 ；（2）【类比探究】如图2，ABBC，求证：ADBBDC；（3）【拓展迁移】如图3，60，ACB+BCD180，CEBD于点E，ACkDE，直接写出的值（用k的代数式表示）11在ABC和CDE中，ACBECD90，ACBC，点D是CB延长线上一动点，点E在线段AC上，连接DE与AB交于点F（1）如图1
7、，若EDC30，EF6，求AEF的面积（2）如图2，若BDAE，求AF、AE、BC之间的数量关系（3）如图3，移动点D，使得点F是线段AB的中点时，DB3，AB4，点P，Q分别是线段AC，BC上的动点，且APCQ，连接DP，FQ，求DP+FQ的最小值12【问题背景】如图1，ABD，ACE均为等边三角形求证：DCBE；【解决问题】ABC为等边三角形，点D在边AB上，点E是边AC上一个动点（不与点A，点C重合），以DE为边作等边DEF如图2，若点D与点B重合，点G在BA延长线上，且EDEG试探索线段CF，AG，AB之间有何数量关系？并证明你的结论；如图3，若ABC的边长为5，EFFC求AD的长13
8、ABC是等边三角形，D是边BC（端点除外）上一动点，连接AD（1）如图1，以AD为边作等边ADE，连接CE求证：BDCD；AB4，F为AC的中点，连接EF，当EF的长取最小值时，求CD的长（2）如图2，M是AB延长线上的点，BMCD，N为AD的中点，连接NC，NM，求证：CNMN14（1）发现如图1，ABC和ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE填空：DCE的度数是 ；线段CA、CE、CD之间的数量关系是 （2）探究如图2，ABC和ADE均为等腰直角三角形，BACDAE90，点D在BC边上，连接CE请判断DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由（3）应用如图3，在R
9、tABC中，A90，AC4，AB6若点D满足DBDC，且BDC90，请直接写出DA的长15【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若BACDAE，ABAC，ADAE，则ABDACE【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现【深入探究】（2）如图2，ABC和AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：BDEC；BOC60；AOE60，其中正确的有 （将所有正确的序号填在横线上）【延伸应用】（3）如图3，
10、在四边形ABCD中，BDCD，ABBE，ABEBDC60，试探究A与BED的数关系，并证明16以ABC的AB，AC为边作ABD和ACE，且ADAB，AEAC，DABCAECD与BE相交于O，连结AO，如图所示（1）求证：BECD；（2）判断AOD与AOE的大小，并说明理由（3）在EB上取点F，使EFOC，如图，请直接写出AFO与的数量关系17在等边ABC中，D为边AC的中点，点N在边BC的延长线上，且MDN120（1）如图1，点M在边AB上，求证：DMDN；（2）如图2，点M在边AB的延长线上，试探究BM，BN与等边ABC边长BC的数量关系；（3）如图3，点M在边AB上，若AM+CNBD，求A
11、DM的度数18在ABC中，ABAC，BAC90，AD是ABC的角平分线（1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DEDF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DEDF，EA的延长线交CF于点M（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；连接DM，求EMD的度数；若DM6，ED12，求EM的长19（1）如（图一），分别以ABC的两边AB、AC为直角边向外作两个等腰直角三角形，EABDAC90，AEAB，ADAC，连接BD、CE交于点F求证：BDCE；当BC和AC满足什么数量关
12、系时，点F是BD的中点，并说明理由；（2）运用（1）解答中获取的经验，解决问题：如（图二），为了测量一狭长水库两端A、B的距离，小王在水库旁边的空地上选择点C，能直达点A和点B，并以AC为斜边在ABC内作RtACD，且DADC，连接BD：测得DBC15，DB1千米，BC千米，请根据测量结果直接写出AB之长（结果保留根号）20【问题提出】如图，在ABC中，若AB8，AC4，求BC边上的中线AD的取值范围【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DEAD，再连结BE（或将ACD绕着点D逆时针旋转180得到EBD），把AB、AC，2AD集中在ABE中，利用三角形三边的关系即可判断由此得
13、出中线AD的取值范围是 【应用】如图，在ABC中，D为边BC的中点、已知AB10，AC6，AD4，求BC的长【拓展】如图，在ABC中，A90，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DFDE交边AC于点F，连结EF已知BE5，CF6，则EF的长为 参考答案1解：问题初探：BECD，理由：DAEBAC90，BAECAD，ABAC，AEAD，BAECAD（SAS），BECD，故答案为：BECD；类比再探：如图（2），过点A作AGMD交BC于G，则BDMBGA，过点A作AFME交BE的延长线于F，则BMEBAF，MDME，AFAG，AGDM，BMDBAG，MEAF，BMEBAF，DME90，BM
14、D+BME90，BAG+BAF90，FAG90，在RtABC中，ABAC，ABCC45，同问题初探的方法得，BAFCAG（SAS），ABFC45，EBDABF+ABC90，故答案为：90；方法迁移：BCBD+BE；理由：ABC和ADE是等边三角形，DAEBAC60，BAECAD，ABAC，AEAD，BAECAD（SAS），BECD，BCBD+CDBD+BE，故答案为：BCBD+BE；拓展创新：如图（4），过点A作AQMD交BC于Q，则BAQBMD，BQABDM，过点A作APME交BE的延长线于P，则BMEBAP，BDEBGP，PAQBAP+BAQBME+BMDDME60，AQPAQBBQPBD
15、MBDEEDM60，APQ180AQPPAQ60PAQAQP，AFG是等边三角形，ABC是等边三角形，ABCC60，同方法迁移的方法得，BAPCAQ（SAS），ABFC60，EBDABP+ABC120，即EBD的度数为1202解：（1）BAC90，ABAC，ADBC于点D，AD4，BDAD4，ABAD4；故答案为：4；（2）设BE与AD相交于点O，ADBC，AGBE，BOD+OBD90，AOF+DAG90，DAG+290，BODAOF，OBD+290，12，OBD+190，BAC90，ABO+190，ABOOBD，BE平分ABC，AGBE，AFFG，AFEGFE90，在AEF与GEF中，AEF
16、GEF（SAS），EAFEGF，1+EAF90，12，2+EGF90，EGBC，BAC90，AEEG，BAC90，ABAC，C45，ECGCEG，AE+ECAE+AEACAB4，AE84，EGC的周长EG+GC+ECAE+EC+GC2AE+AE（2+）AE（2+）（84）8；（3）BAC是等腰直角三角形，ADBC，ACAB2，CDAEBAD45，AOF+OAF90，2+OAF90，2AOF，BODAOF，2BOD，AOB+BOD180，AGC+2180，AOBAGC，在ABO与CAG中，ABOCAG（AAS），OAGC，在AOE与GCE中，AOEGCE（AAS），AEECAC2故答案为：23（
17、1）证明：如图1，BACDAM120，BACDACDAMDAC，即BADCAM，ABAC，ADAM，ABDACM（SAS），BDCM；解：BAC120，ABAC，BACD30，由知：ABDACM，ACMB30，DCM60，CMD90，CDM30，CMCD，BDCM，；（2）解：解法一：如图2，过点E作EGAC于G，过A作AFBC于F，RtCEG中，C30，CE1，EGCE，CG，ACAB2，AGACCG2，AFBC，AFC90，AFAC，DAEFAC60，DAFEAG，AFDAGE90，ADFAEG，即，DF，由勾股定理得：AE2AF2+EF2AG2+EG2，解得：EF2或2（舍），DEDF+
18、EF+2；解法二：如图3，线段AD绕点A逆时针旋转120到AM，连接CM，EM，过M作MQBC于Q，由（1）同理得ABDACM，ACMB30ACB，BADCAM，MCQ60，RtQMC中，CQCM，由图2知：AB2，AF，由勾股定理得得：BFCF3，CE1，BE3+315，设CQx，则CMBD2x，QMx，EQx1，DAE60，BAC120，BAD+EACEAC+CAM60，DAEEAM，ADAM，AEAE，ADEAME（SAS），EMDE52x，由勾股定理得：EM2EQ2+QM2，（x）2+（x1）2（52x）2，解得：x，DE52x4（1）证明：如图1中，ABC，CDP都是等边三角形，CB
19、CA，CDCP，ACBDCP60，BCDACP，在BCD和ACP中，BCDACP（SAS），BDAP；（2）证明：如图2中，延长PM到K，使得MKPM，连接CKAPPM，APM90，在AMP和CMK中，AMPCMK（SAS），MPMK，APCK，APMK90，同法可证BCDACP，BDPACK，PB2PM，PBPK，PDPC，PDBPCK（SSS），PBDK90，PBBD解：结论：PC2PAPDBPCK，DPBCPK，设DPBCPKx，则BDP90x，APCCDB，90+x60+90x，x30，DPB30，PBD90，PD2BD，PCPD，BDPA，PC2PA5（1）证明：CDAB，BPAC，
20、ADCAPB90，在ABP和ACD中，ABPACD（AAS）；（2）证明：如图，在PA上取一点T，使得ATAB，ABAC，ABC30，ACBABC30，BAPABC+ACB60，ATAB，BAP60BAT是等边三角形，BABT，BTAABT60，BPE是等边三角形，BEPE，EBP60，1+260，3+260，13在EAB和PTB中EABPTB（SAS），PTAE，APAT+PTAE+AB；（3）解：如图3中，设运动时间为t秒由（2）可证EAP60，所以点E在与AF成60的射线l上运动，当DEl时，ED取到最短此时EAD60，EDA30，在RtACD中，DCA30，CDA90，AD10cm在R
21、tADE中，EDA30，DEA90，AE5cmAPAB+AE20+525cmt25212.5运动时间为12.5秒时，线段DE长度取到最小值6（1）证明：ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACBECD90，ACBACDECDACD，即BCDECA在EAC和DBC中，EACDBC（SAS）；（2）解：作AFEC交EC于点F，CED45，故设AFEFa，设FCb，则ECa+b，ECD是等腰直角三角形，AFC是直角三角形，由勾股定理可得：，AD22b2，AE2a2，AC2a2+b2，AD2+AE22AC2；（3）解：作AFEC交EC于点F，ECD是等腰直角三角形，CED45，在RtAFC中，AC2AF
22、2+FC2，即，ACF30，作MGAC交AC于点G，ECD90，ACF30，ACM60，CAB45，AGGM，故设AGGMx，则GCACAG2x，ACM60，解得：，7（1）解：结论：NAB2ACM理由：CMMN，ACM+CAM90，CAM90ACM，CABCAM，2CAM+BAN180，2（90ACM）+BAN180，BAN2ACM；（2）证明：如图1中，延长AM到T，使得MTAM，连接CTCMATAMTM，CACT，TCATCAB，BNAN，ANB90，ACBBNA90，A，C，B，N四点共圆（取AB的中点O，连接ON，OC，则OAOBONOC，可得A，C，B，N四点共圆），CNTABC，
23、NCTBCA（AAS），NTAB，NTAN+ATAN+2AM，ABAN+2AM；（3）解：如图2中，过点C作CKBN于点K，CJAB于点J，过点N作NQAB于点QCMNMNKCKN90，四边形MNKC是矩形，CMNK6，A，C，B，N四点共圆，CABCNB，CAMCBN，CNBCBN，CNCB，CKBN，NKKB6，BN12，CMAM，CJAB，CA平分MAB，CJCM6，CJAB，NQAB，CJNQ，CJGNQG，NQ8，BQ4，ANB90，NQAB，AQNNQB，NQ2AQQB，NQ，AN，ABAQ+BQ，ABAN+2AM，AM，AC8（1）解：如图1中，作CDBO，CBD+ABO90，A
24、BO+BAO90，CBDBAO，在ABO和BCD中，ABOBCD（AAS），BDAO8，CDBO4，OD844，C点坐标（4，4）；（2）证明：如图2中，在MA上取一点G，使得MNMG直线BC经过B（0，4），C（4，4），设直线BC解析式为ykx+b，代入B、C得直线BC解析式为y2x+4，M点坐标为（2，0），直线AC经过A（8，0），C（4，4），设直线AC解析式为ykx+b，代入A、C得直线BC解析式为yx，N点坐标为（0，），RtOMN中，MN，MGMN，G点坐标为（，0），BG，CN，GBCN，在CMN和BMG中，CMNBMG（SSS），AMBCMN，AMB+BAM90，CMN+B
25、AM90；方法二：过点C作CPCB交y轴于点P证明ABMBCP，推出BAMCBP，证明CNMCNP，推出CMNCPN，由CPB+CBP90，可以推出CMN+BAM90；（3）解：结论：PB4理由：如图3中，作EGy轴，BAO+OBA90，OBA+EBG90，BAOEBG，在BAO和EBG中，BAOEBG（AAS），BGAO，EGOB，OBBF，BFEG，在EGP和FBP中，EGPFBP（AAS），PBPG，PBBGAO49证明：（1）BACEAD，BAC+CAEEAD+CAE，BAECAD，在ACD和ABE中，ACDABE（SAS），ADCBEA，DAE180（ADC+AFD），DCE180（
26、CFE+BEA），ADCBEA，AFDCFE，DAEDCE，DCEBAC，BACDCE；（2）BACEAD30ABCACBAEDADE75由（1）知，ACDABC75DCEBAC30ADAB，BAD90CAE30AFC180307575，ACFAFC，ACF是等腰三角形；（3）存在，ADG、DEF、ECD都是等腰三角形10（1）解：在BD上取点E，使BECD，ABBC，BAC60，ABC是等边三角形，ABAC，BACBDC，AOBCOD，ABEACD，ABEACD（SAS），BAECAD，AEAD，EADEAC+CADEAC+BAEBAC60，AED是等边三角形，ADB60故答案为：60；（2
27、）证明：在DC的延长线上取一点H，使BDBH，BDHH，BACBDC，AOBCOD，ABDACD，BCDACD+CBH，ACDCBHABD，ABDCBH（SAS），ADBH，ADBBDC；（3）解：延长DC至H，使CHAC，连接BH，ACB+BCD180，BCH+BCD180，ACBBCH，ACCH，BCBC，ABCHBC（SAS），ABBH，HBACBDC60，CEBD，ECD30，CD2ED，设EDm，则CD2m，ACkEDkm，CHkm，DH2m+km，又BDHH60，BDH为等边三角形，DHBHABkm+2m，11解：（1）过点F作FGAC于点G，如图1，ACB90，ACBC，AABC
28、45，ECD90，EDC30，DEG60FGAC，EF6，EGEF3，FG3FGAC，A45，AGFG3，AEAGEG33，SAEF；（2）AFAE+BC过点E作EHAC交AB于点H，过点H作HMBC于点M，如图2，EHAC，A45，AEEH，AHAEBDAE，EHBDEHAC，DCAC，HECD，HEFD在HEF和DBF中，HEFDBF（AAS）HFBFBHHECACBHMC90，四边形HECM为矩形，CMHE，HMECHMBC，ABC45，ECHMBH，AFAH+HFAE+BHAF2AE+BH，即：AFAE+AE+ECAE+ACAE+BCAFAE+BC（3）AB4，AFFBFC2，ACBC
29、4F是线段AB的中点，ABC是等腰直角三角形，AFFC，FCQA45在APF和CQF中，APFCQF（SAS）PFFQDP+FQDP+PF过点F作FMAC于点M，延长FM至F使FMFM，则F与F关于AC对称，连接DF交AC于点P，如图，则此时DP+FPDF，取得最小值，过点F作FNBC，交BC的延长线于点N，AFC90，FMAC，A45，AMMCAC2，FMAC2FMFM2FMCMCNN90，四边形MFNC为矩形CNFM2，FNMC2DNBD+BC+CN3+4+29DFDP+FQ的最小值为12【问题背景】证明：ABD和ACE均为等边三角形，ADAB，ACAE，BADCAE60，BAD+BACC
30、AE+BAC，即CADBAE，在AEB和ACD中，AEBACD（SAS），BEDC【解决问题】解：线段CF，AG，AB之间的数量关系：CF+AGAB理由：ABC和DEF都是等边三角形，ABBC，DEDFEF，ABCEDF60，ABCCBF，在ABE和CBF中，ABECBF（SAS），AECF，ABEFBC，BAEBCF60，EDEG，设EBGGCBFx，AEGBAGG60xEBC，又BEFBCF60，EBCEFCAEG，在AEG和CFE中，AEGCFE（SAS），AGCE，ABACAE+CECF+AG；过点E作EGAB交BC于G，连接AG，ABC是等边三角形，ABCACB60，EGCABCAC
31、B60，EGC为等边三角形，DEF为等边三角形，EDEF，EGECCG，DEFGEC60，DEGFEC，在DEG和FEC中，DEGFEC（SAS），EDEFDGFC，ECCG，DC垂直平分AB，AB5，ADAB13（1）证明：ADE，ABC都是等边三角形，CABABC，EADA，EADCBA60，ABC60，EADCADCBACAD，即EACDAB在EAC和ABD中，EACDAB（SAS），BDCE；解：EACDAB，ACOEABD60，AB4，F为AC的中点，FC2，当点FECE时，EF的长取最小值，此时，CFE30，CDBCBDBCCE413；（2）证明：过点A作APBC交CN的延长线于点
32、P，连接PM，MC，APNDCN，N是AD中点，ANDN，在APN和DCN中，APNDCN（AAS），APDCBM，PNCN，APCD，PACACB180，ABCACB60，PACMBC120，在PAC和MBC中，PACMBC（SAS），PCMC，PCAMCB，PCA+PCB60，MCB+PCB60，PCM是等边三角形，PNCN，ANMN14（1）发现解：在ABC中，ABAC，BAC60，BACDAE60，BACDACDAEDAC，即BADCAE，在BAD和CAE中，BADCAE（SAS），ACEB60，DCEACE+ACB60+60120；故答案为：120，BADCAE，BDCE，BCBD+
33、CDEC+CD，CABCCE+CD；故答案为：CACE+CD（2）探究DCE90；CACD+CE理由：ABC和ADE均为等腰直角三角形，BACDAE90，ABAC，ADAE，BACDACDAEDAC，即BADCAEBADCAE（SAS）BDCE，BACE45DCEACB+ACE90在等腰直角三角形ABC中，CBCA，CBCD+DBCD+CE，CACD+CE（3）应用DA5或作DEAB于E，连接AD，在RtABC中，AB6，AC4，BAC90，BC2，BDC90，DBDC，DBDC，BCDCBD45，BDCBAC90，点B，C，A，D四点共圆，DAE45，ADE是等腰直角三角形，AEDE，BE6
34、DE，BE2+DE2BD2，DE2+（6DE）226，DE1，DE5，AD或AD515（1）证明：BACDAE，BAC+CADDAE+CAD，BADCAE，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS）；（2）解：如图2，ABC和ADE是等边三角形，ABAC，ADAE，BACDAE60，BADCAE，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），BDCE，正确，ADBAEC，记AD与CE的交点为G，AGEDGO，180ADBDGO180AECAGE，DOEDAE60，BOC60，正确，在OB上取一点F，使OFOC，连接CF，OCF是等边三角形，CFOC，OFCOCF60ACB，BCFACO，ABAC，BCFACO（SAS），AOCBFC180OFC120，AOE180AOC60，正确，即：正确的有，故答案为；（3）A+BED180如图3，证明：BDC60，BDCD，BDC是等边三角形，BDBC，DBC60，ABC60DBC，ABDCBE，ABBE，ABDEBC（SAS），BECA，BED+BEC180，A+BED18016（1）证明：DABCAE，DAB+BACBAC+CAE，DACBAE，又ADAB，ACAE，ABEADC（SAS
