1、8.2一元线性回归模型及其应用8.2.1 一元线性回归模型练习1.说明函数模型与回归模型的区别，并分别举出两个应用函数模型和回归模型的例子.2.在一元线性回归模型（1）中，参数b的含义是什么？3.将图8.2-1中的点按父亲身高的大小次序用折线连起来，所得到的图象是一个折线图，可以用这条折线表示儿子身高和父亲身高之间的关系吗？8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计练习1.对一元线性回归模型参数a和b的估计中，有人认为：“估计方法不止一种，根据不同的样本观测数据到直线整体接近程度的定义，可以得到参数a和b不同的估计，只要整体接近程度定义合理即可.”你觉得这个说法对吗？2.假如女儿身高y（单
2、位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的经验回归方程为.已知父亲身高为175cm，请估计女儿的身高.3.根据8.1.1节表8.1-1中的数据，建立人体的脂肪含量关于年龄的经验回归方程，画出残差图，描述残差图的特点.4.计算表8.2-2中的所有残差之和，你能发现什么规律？5.假设变量x与变量Y的n对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型.请写出参数b的最小二乘估计.例 经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据（表8.2-3），试根据这些数据建
3、立树高关于胸径的经验回归方程.表8.2-3编号123456胸径/18.120.122.224.426.028.3树高/m18.819.221.02L022.122.1编号789101112胸径/29.632.433.735.738.340.2树高/m22.422.623.024.3；23.924.7分析：因为要由胸径预测树高，所以要以成对样本数据的胸径为横坐标、树高为纵坐标描出散点，进而得到散点图，再根据散点图判断树高与胸径是否线性相关.如果是，再利用公式（2）计算出，即可.解：以胸径为横坐标、树高为纵坐标作散点图，得到图8.2-9.图82-9在图8.2-9中，散点大致分布在一条从左下角到右上
4、角的直线附近，表明两个变量线性相关，并且是正相关，因此可以用一元线性回归模型刻画树高与胸径之间的关系.用d表示胸径，h表示树高，根据最小二乘法，计算可得经验回归方程为，相应的经验回归直线如图8.2-10所示.图8.2-10根据经验回归方程，由表8.2-3中胸径的数据可以计算出树高的预测值（精确到0.1）以及相应的残差，如表8.2-4所示.表8.2-4编号胸径/cm树高观测值/m树高预测值/m残差/m118.118.819.4-0.6220.119.219.9-0.7322.221.020.40.6424.421.020.90.1526.022.121.30.8628.322.121.90.27
5、29.622.422.20.2832.422.622.9-0.3933.723.023.2-0.21035.724.323.70.61138.323.9244-0.51240.224.724.90.2以胸径横坐标，残差为纵坐标，作残差图，得到图8.2-11.图8.2-11观察残差表和残差图，可以看到，残差的绝对值最大是0.8，所有残差分布在以横轴为对称轴、宽度小于2的带状区域内.可见经验回归方程较好地刻画了树高与胸径的关系，我们可以根据经验回归方程由胸径预测树高.练习1.在回归分析中，分析残差能够帮助我们解决哪些问题？2.19972006年中国的国内生产总值（GDP）的数据如下：年份GDP/亿
6、元年份GDP/亿元199779715.02002121717.4199885195.52003137422.0199990564.42004161840.22000100280.12005187318.92001110863.12006219438.5（1）作GDP和年份的散点图，根据该图猜想它们之间的关系可以用什么模型描述；（2）建立年份为解释变量，GDP为响应变量的一元线性回归模型，并计算残差；（3）根据你得到的一元线性回归模型，预测2017年的GDP，看看你的预测值与实际的GDP的误差是多少；（4）你认为这个模型能较好地刻画GDP和年份的关系吗？请说明理由（5）随着时间的发展，又收集到2
7、0072016年的GDP数据如下：年份GDP/亿元年份GDP/亿元2007270232.32012540367.42008319515.52013595244.42009349081.42014643974.02010413030.32015689052.12011489300.62016744127.2建立年份（19972016）为解释变量，GDP为响应变量的经验回归方程，并预测2017年的GDP，与实际的GDP误差是多少？你能发现什么？习题 8.2复习巩固1. 如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0的直线上，请回答下列问题：（1）解释变量和响应变量的关系是什么？（2）是多少？【答案】（
8、1）线性函数关系 （2）【解析】【分析】（1）根据题意得到解释变量和响应变量的关系是线性函数关系；（2）由（1）知：【小问1详解】因为散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0的直线上，所以解释变量和响应变量的关系是线性函数关系.【小问2详解】由（1）知：2. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下表所示.零件数x个102030405060708090100加工时间ymin626875818995102108115122（1）画出散点图；（2）建立加工时间关于零件数的一元线性回归模型（精确到0.001）；（3）关于加工零件的个数与加工时间，你能得
9、出什么结论？【答案】（1）散点图见解析 （2） （3）每多加工个零件，需要增加分钟加工时间.【解析】【分析】（1）根据表格提供数据画出散点图.（2）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（3）根据回归直线方程作出判断.【小问1详解】画出散点图如下图所示：【小问2详解】，所以.【小问3详解】根据回归直线方程可知：每多加工个零件，需要增加分钟加工时间.综合运用3. 人口问题是关乎国计民生的大问题.下表是19492016年中国的人口总数（摘自中国统计年鉴2017）.年份总人口/万人年份总人口万人年份总人口万人194954167198210165420001267431950551961983
10、103008200112762719515630019841043572002128453195561465198510585120031292271960662071986107507200129988196572538198710930020051307561970829921988111026200613144819718522919891127042007132129197287177199011433320081328021973892111991115823200913345019749085919921171712010134091197592420199311851720111
11、34735197693717199411985020121354041977949741995121121201313607219789625919961223892014136782197997542199712362620151374621980987051998124761201613827119811000721999125786（1）画出散点图；（2）建立总人口数关于年份的一元线性回归模型；（3）直接用上面建立的回归模型预测2020年的中国人口总数，得到的结果合理吗？为什么？【答案】（1）散点图见解析 （2），（单位：万人）. （3）答案见解析.【解析】【分析】（1）描点可作出散点图
12、；（2）根据线性回归方程的计算公式计算可得答案；（3）将代入（2）中的线性回归方程，计算可得答案.【小问1详解】解：散点图如下图所示：.【小问2详解】解：由表中数据和相关系数来计算其拟合程度，首先，再代入数据得，以及，因此，是有很强的正相关关系的，因此设回归直线为，由，计算得，因此该回归模型为，（单位：万人）.【小问3详解】解：当时，（单位：万人），结果计算出来届时我国人口总数为15亿，的确保证了是增长型，但是由于这只是预测，并没有考虑到2020年出现的疫情和相应的政策等，因此难免会有所误差.4. 在某地区的一段时间内观测到的不小于某震级x的地震数N的数据如下表：震级x3.03.23.43.6
13、3.84.04.24.44.64.85.0地震数N28381203801479510695764155023842269819191356973震级x5.25.45.65.86.06.26.46.66.87.0地震数N74660443527420614898574125试建立经验回归方程表示二者之间的关系，该模型对预测地震有帮助吗？（、精确到整数，相关系数精确到0.001） 【答案】，该模型对预测地震有帮助.【解析】【分析】根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程，并作出判断.【详解】，所以.该模型对预测地震是有帮助：回归直线方程显示，当增大时，减小，与表格提供的实际数据的变化趋势相同，所以该模型对预测地震有帮助.，这表明与有很强的线性相关关系，从而也表明建立的回归模型是有意义的、有帮助的.拓广探索5. 生活中有许多变量之间的关系是值得我们去研究的.例如，数学成绩、物理成绩和化学成绩两两之间是相关的吗？哪两个学科成绩之间相关性更大，你能解释其中的原因吗？语文成绩对数学成绩有影响吗？等等，请用你们班的某次考试成绩，研究它们之间的关系.如果它们之间有关系，请建立统计模型进行分析.【答案】
