1、8.28.2 一元线性回归模型及其应用一元线性回归模型及其应用 学习目标 1.结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义.2.了解最小二乘原理， 掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测 知识点一 一元线性回归模型 称 Ybxae， Ee0，De2 为 Y 关于 x 的一元线性回归模型 其中 Y 称为因变量或响应变量，x 称为自变量或解 释变量，a 称为截距参数，b 称为斜率参数；e 是 Y 与 bxa 之间的随机误差，如果 e0，那么 Y 与 x 之间 的关系就可以用一元线性函数模型来描述 知识点二 最小二乘法 将y b x
2、a 称为 Y 关于 x 的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线， 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b ，a 叫做 b，a 的最小二乘估计，其中b i1 n xi x yi y i1 n xi x 2 ，a y b x . 思考 1 经验回归方程一定过成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中的某一点吗？ 答案 不一定 思考 2 点( x ， y )在经验回归直线上吗？ 答案 在 知识点三 残差与残差分析 1残差 对于响应变量 Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y 称为预测值，观测值减去预 测值称为残差 2残差
3、分析 残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否 存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析 知识点四 对模型刻画数据效果的分析 1残差图法 在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明经验回归方程较好地 刻画了两个变量的关系 2残差平方和法 残差平方和 i1 n (yiy i) 2越小，模型的拟合效果越好 3R2法 可以用 R21 i1 n yiy i 2 i1 n yi y 2 来比较两个模型的拟合效果，R2越大，模型拟合效果越好，R2越小，模型拟合 效果越差 思考 利用经验回归方程求得的函数值一定是真实值吗？ 答
4、案 不一定，他只是真实值的一个预测估计值 1求经验回归方程前可以不进行相关性检验( ) 2在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号( ) 3利用经验回归方程求出的值是准确值( ) 4残差平方和越小，线性回归模型的拟合效果越好( ) 5R2越小，线性回归模型的拟合效果越好( ) 一、求经验回归方程 例 1 某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析，得下表数据： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的经验回归方程y b xa ； (3)试根据求出的经验回归方程，预测记忆力
5、为 9 的同学的判断力 参考公式：b i1 n xiyin x y i1 n x2in x 2 ，a y b x 解 (1)散点图如图所示： (2) x 681012 4 9， y 2356 4 4， i1 4 x2i6282102122344， i1 4 xiyi6283105126158， b 158494 344492 14 200.7， a y b x 40.792.3， 故经验回归方程为y 0.7x2.3. (3)由(2)中经验回归方程可知，当 x9 时，y 0.792.34，即预测记忆力为 9 的同学的判断力为 4. 反思感悟 求经验回归方程可分如下四步来完成 (1)列：列表表示
6、xi，yi，x2i，xiyi. (2)算：计算 x ， y ， i1 n x2i， i1 n xiyi. (3)代：代入公式计算a ，b 的值 (4)写：写出经验回归方程 跟踪训练 1 随着我国经济的发展，居民储蓄存款逐年增长设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额) 如下表： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 时间代号 t 1 2 3 4 5 储蓄存款 y (千亿元) 5 6 7 8 10 (1)求 y 关于 t 的经验回归方程y b ta ； (2)用所求经验回归方程预测该地区 2021 年(t7)的人民币储蓄存款 参考公式：b i1 n tiyin t y i1 n
7、 t2in t 2 ，a y b t 解 (1)由题意可知，n5， t 1 n i1 n ti15 5 3， y 1 n i1 n yi36 5 7.2. 又 i1 n t2i55， i1 n tiyi120， 计算得，b 1.2，a y b t 7.21.233.6. 故所求经验回归方程为y 1.2t3.6. (2)将 t7 代入y 1.2t3.6，可得y 1.273.612(千亿元)， 所以预测该地区 2021 年的人民币储蓄存款为 12 千亿元 二、线性回归分析 例 2 已知某种商品的价格 x(单位：元)与需求量 y(单位：件)之间的关系有如下一组数据： x 14 16 18 20 22
8、 y 12 10 7 5 3 求 y 关于 x 的经验回归方程，并借助残差平方和和 R2说明回归模型拟合效果的好坏 解 x 1 5(1416182022)18， y 1 5(1210753)7.4， i1 5 x2i1421621822022221 660， i1 5 xiyi14121610187205223620， 所以b i1 5 xiyi5 x y i1 5 x2i5 x 2 6205187.4 1 6605182 1.15， a 7.41.151828.1， 所以所求经验回归方程是y 1.15x28.1. 列出残差表： yiy i 0 0.3 0.4 0.1 0.2 yi y 4.6
9、 2.6 0.4 2.4 4.4 所以 i1 5 (yiy i) 20.3， i1 5 (yi y )253.2， R21 i1 5 yiy i 2 i1 5 yi y 2 0.994， 所以回归模型的拟合效果很好 反思感悟 刻画回归效果的三种方法 (1)残差图法，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适 (2)残差平方和法：残差平方和 i1 n (yiy i) 2越小，模型的拟合效果越好 (3)R2法：R21 i1 n yiy i 2 i1 n yi y 2 越接近 1，表明模型的拟合效果越好 跟踪训练 2 为研究重量 x(单位：克)对弹簧长度 y(单位：厘米)的影响，对不
10、同重量的 6 个物体进行测量， 数据如下表所示： x 5 10 15 20 25 30 y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 (1)作出散点图并求经验回归方程； (2)求出 R2; (3)进行残差分析 解 (1)散点图如图 . x 1 6(51015202530)17.5， y 1 6(7.258.128.959.9010.911.8)9.487， i1 6 x2i2 275， i1 6 y2i554.659 4， i1 6 xiyi1 076.2， 计算得，b 0.183，a 6.285， 所求经验回归方程为y 0.183x6.285. (2)残差表如下： yiy
11、i 0.05 0.005 0.08 0.045 0.04 0.025 yi y 2.237 1.367 0.537 0.413 1.413 2.313 所以 i1 6 (yiy i) 20.013 18， i1 6 (yi y )214.678 3. 所以 R210.013 18 14.678 30.999 1， 所以回归模型的拟合效果很好 (3)由残差表中的数值可以看出第 3 个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的 错误，如果有，则需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在宽度不 超过 0.15 的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模
12、型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与 重量成线性关系 三、非线性回归 例 3 下表为收集到的一组数据： x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325 (1)作出 x 与 y 的散点图，并猜测 x 与 y 之间的关系； (2)建立 x 与 y 的关系，预报回归模型并计算残差； (3)利用所得模型，预测 x40 时 y 的值 解 (1)作出散点图如图，从散点图可以看出 x 与 y 不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分 布在某一条指数函数型曲线 yc1 2 ec x的周围，其中 c1，c2为待定的参数 (2)对两边取对数把指数关系变为线
13、性关系， 令 zln y， 则有变换后的样本点应分布在直线 zbxa(aln c1， bc2)的周围，这样就可以利用经验回归模型来建立 y 与 x 之间的非线性经验回归方程了，数据可以转化为 x 21 23 25 27 29 32 35 z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 求得经验回归方程为z 0.272x3.849， y e0.272x 3.849. 残差表如下： yi 7 11 21 24 66 115 325 y i 6.443 11.101 19.125 32.950 56.770 128.381 290.325 e i 0.557
14、0.101 1.875 8.950 9.23 13.381 34.675 (3)当 x40 时，y e0.272 403.8491 131. 反思感悟 非线性回归问题的处理方法 (1)指数函数型 yebx a 函数 yebx a 的图象，如图所示； 处理方法：两边取对数得 ln yln ebx a，即 ln ybxa.令 zln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根 据线性回归模型的方法求出 a，b. (2)对数函数型 ybln xa 函数 ybln xa 的图象，如图所示； 处理方法：设 xln x，原方程可化为 ybxa， 再根据线性回归模型的方法求出 a，b. (3)ybx2a
15、 型 处理方法：设 xx2，原方程可化为 ybxa，再根据线性回归模型的方法求出 a，b. 跟踪训练 3 为了研究甲型 H1N1 中的某种细菌随时间 x 变化的繁殖个数 y，收集数据如下： 天数 x 1 2 3 4 5 6 繁殖个数 y 6 12 25 49 95 190 求 y 关于 x 的非线性经验回归方程 解 作出散点图如图(1)所示 由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线 ycebx的周围，则 ln ybxln c. 令 zln y，aln c，则 zbxa. x 1 2 3 4 5 6 z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 相应的散点图如图(2)所示从图(2
16、)可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用经验回归 方程来拟合 由表中数据得到经验回归方程为z 0.69x1.115.因此细菌的繁殖个数 y 关于天数 x 的非线性经验回归方程 为y e0.69x 1.115. 1(多选)以下四个散点图中，两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是( ) 答案 AC 解析 AC 中的点分布在一条直线附近，适合线性回归模型 2甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量 x，y 的回归模型时，分别选择了 4 种不同模型，计算可得它们的决 定系数 R2分别如下表： 甲 乙 丙 丁 R2 0.98 0.78 0.50 0.85 哪位同学建立的回归模型拟合效果最好(
17、) A甲 B乙 C丙 D丁 答案 A 解析 决定系数 R2越大，表示回归模型的拟合效果越好 3已知人的年龄 x 与人体脂肪含量的百分数 y 的经验回归方程为 y0.577x0.448，如果某人 36 岁，那么 这个人的脂肪含量( ) A一定是 20.3% B在 20.3%附近的可能性比较大 C无任何参考数据 D以上解释都无道理 答案 B 解析 将 x36 代入经验回归方程得 y0.577360.44820.3， 故这个人的脂肪含量在 20.3%附近的可能 性较大，故选 B. 4由变量 x 与 y 相对应的一组成对样本数据(1，y1)，(5，y2)，(7，y3)，(13，y4)，(19，y5)得
18、到的经验回归 方程为y 2x45，则 y _. 答案 63 解析 x 1 5(1571319)9， y 2 x 45， y 294563. 5在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线 yebx a的周围令z ln y，求得经验回归方程为z 0.25x2.58，则该模型的非线性经验回归方程为_ 答案 y e0.25x 2.58 解析 因为z 0.25x2.58，z ln y， 所以y e0.25x 2.58. 1知识清单： (1)一元线性回归模型 (2)最小二乘法、经验回归方程的求法 (3)对模型刻画数据效果的分析：残差图法、残差平方和法和 R2法 2方法归纳：数形结合、转化化归 3常见误区：不判断变量间是否具有线性相关关系，盲目求解经验回归方程致误
