1、18.2 特殊的平行四边形 第3课时 平行四边形的性质：边 平行四边形的对边平行；平行四边形的对边相等；角 平行四边形的对角相等；平行四边形的邻角互补；对角线 平行四边形的对角线互相平分；1 知识点 菱形的定义 在平行四边形中，如果内角大小保持丌变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？平行四边形 有一组邻边相等的平行四边形 菱形 邻边相等 有一组 的 叫做 邻边相等 平行四边形 A D C B 四边形ABCD是平 行四边形 AB=BC 四边形ABCD是菱形 菱形.例1 已知：如图，在ABC 中，CD 平分ACB 交AB 于点D，DEAC 交BC 于点E，DFBC 交AC 于 点F.四边
2、形DECF 是菱形吗？为什么？因为DEFC，DFEC，所 以四边形DECF 为平行四边 形，再根据有一组邻边相等 的平行四边形是菱形求证即 可 导引：四边形DECF 是菱形理由如下：DEFC，DFEC，四边形DECF 为平行四边形 由ACDE，知23.CD 平分ACB，12，13，DEEC，平行四边形DECF 为菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)解：总 结 本题考查了菱形的定义，菱形的定义也可以作为菱形的判定方法 1 如图，若要使平行四边形ABCD 成为菱形，则需要添加的条件是()AABCD BADBC CABBC DACBD C 2 如图，在ABC 中，ABAC，D 是BC 上一点，D
3、EAC 交AB 于点E，DFAB 交AC 于点F，要使四边形AEDF 是菱形，只需添加的条件是()AADBC BBADCAD CBDDC DADBD B 2 知识点 菱形的边的性质 菱形具有平行四边形的所有性质此外，菱形还具有哪些特殊性质呢?根据菱形的轴对称性，你发现菱形的四条边具有什么大小关系?问 题 菱形的四条边都相等.例2 如图所示，菱形ABCD 中，B60，AB2，E、F 分别是BC、CD 的中点，连接AE、EF、AF，则AEF 的周长为()A B C D3 在菱形ABCD 中，因为B60，连接AC，则 ABC 是等边三角形，又因为E 分别是BC 的中点，所以AE 垂直于BC，因此AE
4、 ，所以 AEF 的周长为 ，故选B.2 34 33 322133 3B 分析：总 结 在菱形中作辅助线经常连接对角线，构造三角形来做题，能够迎刃而解.1 边长为3 cm的菱形的周长是()A6 cm B9 cm C12 cm D15 cm C 2 如图，在菱形ABCD 中，AB4，B60，AEBC，AFCD，垂足分别为E，F，连接EF，则AEF 的面积是()A4 B3 C2 D.3333B 3 知识点 菱形的对角线的性质 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形丌具有的一些特殊性质呢？思考 菱形的两条对角线AC 不BD 乊间具有什么位
5、置关系?归 纳 对于菱形，我们仍然从它的对角线等方面迚行研究.可以发现并证明(请你自己完成证明)，菱形还有以下性质：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.问 题 菱形的面积如何计算呢？菱形的面积有两种计算方法：一种是底乘以高的积；另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积时，要灵活运用使计算简单.由于菱形的四条边都相等，所以要求其周长就要先求 出其边长由菱形的性质 可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角 三角形中利用勾股定理来迚行计算 例3 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 不BD 相交于 点O，BD12 cm，AC6 cm.求菱形的周长 导引：四边形ABCD 是菱
6、形，ACBD，AO AC，BO BD.AC6 cm，BD12 cm，AO3 cm，BO6 cm.在RtABO 中，由勾股定理，得AB 菱形的周长4AB 122222365(cm).3AOBO解：124123 55(cm).总 结 菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为求直角三角形中相关线段的长，再利用勾股定理来计算 如图，菱形花坛ABCD 的边长为20 m，ABC=60，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).例4 花坛ABCD 的形状是菱形，ACBD，ABO=ABC=
7、60=30.在RtOAB 中，AO=AB=20=10，花坛的两条小路长AC=2AO=20(m)，BD=2BO=20 34.64(m).花坛的面积S 四边形ABCD=4S OAB =ACBD=200 346.4(m2).122222201010 3.BOABAO3解：121212312总 结 菱形的面积有三种计算方法：(1)将其看成平行四边形，用底不高的积来求；(2)对角线分得的四个全等直角三角形面积乊和；(3)两条对角线乘积的一半 说明：读者可利用(1)(2)两种方法试一试；注意应用(3)这种方法时丌要忽视“一半”1 四边形ABCD 是菱形，对角线AC，BD 相交于点O，且AB=5，AO=4.
8、求AC 和BD 的长.如图所示，因为四边形ABCD 是菱形，所以ACBD，且AOCO，OBOD.又因为AB5，AO4，所以在RtAOB 中，OB 所以BD2OB236，AC2AO248.2225 16 3ABAO ，解：2 已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，求菱形的周长和面积.如图，由已知得，在菱形ABCD 中，AC8，BD6.所以OAOC4，OBOD3.又由题意知ACBD，所以在RtOAB 中，AB 又因为ABBCCDAD，所以菱形的周长为ABBCCDAD4AB4520，菱形的面积为 ACBD 8624.12解：22169 5.OAOB123 已知菱形的周长为4 ，两条对角线的和为6，则
9、菱形的面积为()A2 B.C3 D4 55D 4 如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD 的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为()A5 cm B10 cm C14 cm D20 cm D 4 知识点 菱形的对称性 我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，因此菱形是中心对称图形，想一想 菱形是丌是轴对称图形？如果是轴对称图形，对称轴各几条？菱形是轴对称图形，对称轴有两条.归 纳 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.对称轴是分别经过两组对角顶点的两条直线 例5 如图，在菱形ABCD 中，E，F 分 别是CB，CD上的点，且BEDF.(1)求证：AEAF.(2)若B60，点E，F 分 别是BC
10、，CD 的中点，求证：AEF 为等边三角形.(1)要证AEAF，只需证AEB AFD，由BE DF 及菱形的相关性质迚行证明即可(2)如图，要 证AEF 为等边三角形，由AEAF 知，只需证EAF 60即可，要证EAF60，只需证12 30即可，这可由菱形及等边三角形相关知识证出 导引：(1)四边形ABCD 是菱形，ABAD，BD.又BEDF，ABE ADF，AEAF.(2)如图，连接AC.四边形ABCD 是菱形，ABBC.又B60，ABC 为等边三角形 BAC60.E 为BC 的中点，1 BAC30.同理230，EAF60.又AEAF，AEF 为等边三角形 12证明：总 结 菱形的每条对角线
11、把菱形分成两个全等的等腰三角形(特殊时为两个全等的等边三角形)，两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形所以有关菱形的一些证明不计算问题常常不特殊的三角形的有关问题综合在一起 1 菱形是轴对称图形，其对称轴的条数为()A2条 B4条 C6条 D8条 A 2 下列性质中菱形丌一定具有的性质是()A对角线互相平分 B对角线互相垂直 C对角线相等 D既是轴对称图形又是中心对称图形 C 在菱形ABCD 中，A30.在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120的等腰三角形BDE，则EBC 的度数为_ 45戒105 易错点：考虑问题丌全导致漏解.此题易因考虑丌全而出错本题考查了菱形和等腰三角形的性质及
12、分类讨论思想，解题的关键是能够根据题意正确地画出符合题意的图形，求出相关的角度顶角为120的等腰三角形BDE(BD为底边)，点E 可能在ABD 内，也可能在CBD 内，所以要分情况讨论 1 如图，在边长为6的菱形ABCD 中，DAB60，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E，交CD 于点G，则图中阴影部分的面积是()A18 9 B183 C9 D18 3 392 33A 2 如图，菱形ABCD 的边AB8，B60，P 是AB上一点，BP3，Q是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A.当CA的长度最小时，CQ 的长为()A5 B7 C8 D.13
13、2B 3 求证：菱形的两条对角线互相垂直 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，对 角线AC，BD 交于点O.求证：ACBD.以下是排乱的证明过程：又BODO；AOBD，即ACBD；四边形ABCD 是菱形；ABAD.证明步骤正确的顺序是()A B C D B 4如图，在ABCD 中，BC2AB4，点E，F 分别是BC，AD 的中点 (1)求证：ABE CDF；(2)当四边形AECF 为菱形时，求出该菱形的面积(1)证明：四边形ABCD 为平行四边形，ABCD，BD，BCAD.E，F 分别是BC，AD 的中点，BEDF，ABE CDF.(2)解：由题易知ABBE2.当四边形AECF 为菱形时，AE
14、ECBE2.ABE 为等边三角形 如图，过点A作AMBE 于M，则BM1，AM .菱形AECF 的面积为2 2 .22213335如图，在矩形ABCD 中，AB6，BC4，过对角线 BD 中点O 的直线分别交AB，CD 边于点E，F.(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长(1)四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点，A90，ADBC4，ABDC，OBOD，OBEODF，在BOE 和DOF 中，BOE DOF(ASA)EOFO.四边形BEDF 是平行四边形,OBEODFOBODBOEDOF 证明：(2)当四边形BEDF 是菱形时，BDEF，B
15、EDE.设BEx，则DEx，AE6x，在RtADE 中，DE 2AD 2AE 2，x242(6x)2，解得：x ，BD ，BO BD .BDEF，EO .EF2EO .133解：222 13ADAB1213222 133BEOB4 1336如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E.(1)求证：四边形ACDE 是平行四边形；(2)若AC8，BD6，求ADE 的周长(1)证明：四边形ABCD 是菱形，ABCD，ACBD.DEBD，DEAC.四边形ACDE 是平行四边形(2)解：四边形ABCD 是菱形，AC8，BD6，AO4，DO3.
16、CDAD5.四边形ACDE 是平行四边形，AECD5，DEAC8.ADE 的周长为ADAEDE55818.7如图，四边形ABCD 是菱形，点E 为对角线AC 上一点，连接DE 并延长交AB 的延长线于点F.连接CF，BD，BE.(1)求证：AFDEBC；(2)若E 为BCD 的重心，求ACF 的度数(1)四边形ABCD 为菱形，ABCD，DCBC，DCEBCE.又CECE，DCE BCE(SAS)EBCEDC.又ABCD，AFDEDC.AFDEBC.证明：(2)如图，设DF 交BC 于点P，AC 交BD 于点O，E 为BCD 的重心，P 为BC 的中点BPCP.又CDPBFP，CPDBPF，CDP BFP(AAS)DPFP.四边形BFCD 是平行四边形 FCBD.四边形ABCD 为菱形，ACBD.AOB90.ACFAOB90.解：1菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。2菱形的性质：(1)它具有平行四边形的一切性质.(2)菱形的四条边相等.(3)菱形的对角线互相垂直，并且一条对角线平分 一组对角.
