1、18.2 特殊的平行四边形 第6课时 有一个角是直角的平行四边形 有三个角是直角的四边形 对角线相等的平行四边形 有一组邻边相等的平行四边形 四条边都相等的四边形 对角线互相垂直的平行四边形 菱形的判别方法：矩形的判别方法：1 知识点 正方形的对称性 O A B C D(A)(B)(C)(D)正方形的对称性：正方形是中心对称图形，对称中心为点O；又是轴对称图形，有四条对称轴.例1 如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC2AE，直角三角形FEG 的两直角边EF、EG 分别交BC、DC 于点 M、N.若正方形ABCD 的边长为a，则重叠部分四边EMCN 的面积为()A.a 2 B.
2、a 2 C.a 2 D.a 2 23145949D 作EPBC 于点P，EQCD 于点Q，易得EPM EQN，利用四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积求解 作EPBC 于点P，EQCD 于点Q，四边形ABCD 是正方形，BCD90，又EPMEQN90，PEQ90，PEMMEQ90，三角形FEG 是直角三角形，NEFNEQMEQ90，PEMNEQ，CA是BCD 的角平分线，EPCEQC90，EPEQ，四边形PCQE 是正方形，导引：在EPM 和EQN 中，EPM EQN(ASA)，SEQNSEPM，四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积，正方形ABCD 的边长为a，AC a
3、，EC2AE，EC a，EPPC a，正方形PCQE 的面积 a a a 2，四边形EMCN 的面积 a 2.,PEMNEQEPEQEPMEQN 22 232323234949总 结 本例解法在于巧用割补法，将分散的图形拼合在一起，将丌规则的阴影面积集中到一个规则的图形中，再利用正方形及三角形的性质求出，解答过程体现了割补法及转化思想 1 如图，菱形ABCD 的面积为120 cm2，正方形AECF 的面积为50 cm2，则菱形的边长为_ 13cm 2 小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了()A1次 B2次 C3次 D4次 B 3 将五个边长都为2 cm的正方形按
4、如图所示方式摆放，点A，B，C，D 分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分面积的和为()A2 cm2 B4 cm2 C6 cm2 D8 cm2 B 2 知识点 正方形的判定 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.正方形的性质=正方形 矩形 菱形 有一组邻边相等 有一个角是直角 平行四边形 例2 如图，在ABC 中，ACB90，CD 平分ACB，DEBC，DFAC，垂足分别为E，F.求证：四边 形CFDE 是正方形 要证四边形CFDE 是正方形，首先要确定这个正方形建立 在哪种四边形的基础上，即 先证它是什么四边形；再证 这种四边形是正方形需要补 充的条件 导引：证法一：
5、DEBC，ACBC，DECF.同理DFCE，四边形CFDE 是平行四边形 CD 平分ACB，DEBC，DFAC，DEDF，CFDE 是菱形 ACB90，菱形CFDE 是正方形 证法二：ECFCFDCED90，四边形CFDE 是矩形 CD 平分ACB，DEBC，DFAC，DEDF，矩形CFDE 是正方形 总 结 证明条件中丌含对角线的四边形是正方形的四种方法：方法1：证：“四边形四边相等四个直角”；方法2：证：“平行四边形一组邻边相等一个直角”；方法3：证：“矩形一组邻边相等”；方法4：证：“菱形一个直角”例3 如图，已知在ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O，E 是BD 的延长线上的点，且
6、EAEC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若DACEADAED，求证：四边形ABCD 是正方形 要证ABCD是正方形，有三种途径可走：即在平行四 边形、菱形、矩形的基础上，找各需补充的对角线的 条件进行证明；若要证明ABCD是菱形，由于题中条 件不对角线相关，则需证ACBD.导引：(1)首先根据平行四边形的性质可得AOCO，再由EAEC 可得EAC 是等腰三角形，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得EOAC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可证出结论；(2)首先根据角的关系得出AODO，进而得到ACBD，再根据对角线相等的菱形是正方形可得到结论 (1)四边形ABCD 是平行四边形，
7、AOCO，EAEC，EOAC，即BDAC，四边形ABCD 是菱形 (2)ADOEADAED，DACEADAED，ADODAC，AODO，四边形ABCD 是菱形，AC2AO，BD2DO，ACBD，四边形ABCD 是正方形.证明：总 结 证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法：(1)证：“四边形对角线互相垂直、平分且相等”；(2)证：“平行四边形对角线互相垂直且相等”；(3)证：“矩形对角线互相垂直”；(4)证：“菱形对角线相等”1 满足下列条件的四边形是丌是正方形？为什么？(1)对角线互相垂直且相等的平行四边形；(2)对角线互相垂直的矩形；(3)对角线相等的菱形；(4)对角线互相垂直平分且相等
8、的四边形.(1)是；(2)是；(3)是；(4)是原因略 解：2 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，丌添加任何辅助线，请添加一个条件_，使四边形ABCD 是正方形 BAD90(答案丌唯一)3 下列判断错误的是()A两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B四个内角都相等的四边形是矩形 C四条边都相等的四边形是菱形 D两条对角线垂直且互相平分的四边形是正方形 D 四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O，假设有下列条件：ABAD；DAB90；AOCO，BODO；四边形ABCD 为矩形；四边形ABCD 为菱形；四边形ABCD 为正方形 则下列推理丌成立的是()A B C
9、D 易错点：将特殊四边形的判定相混淆导致出错.C 1 关于ABCD 的叙述，正确的是()A若ABBC，则ABCD是菱形 B若ACBD，则ABCD是正方形 C若ACBD，则ABCD是矩形 D若ABAD，则ABCD是正方形 C 2 小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：ABBC；ABC90；ACBD；ACBD中选两个作为补充条件，使ABCD 为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是()A B C D B 3 在ABC 中，点D，E，F 分别在BC，AB，CA上，且DECA，DFBA，连接EF，AD，则下列三种说法：如果EFAD，那么四边形AEDF 是矩形；如果E
10、FAD，那么四边形AEDF 是菱形；如果ADBC 且ABAC，那么四边形AEDF 是正方形，其中正确的有()A3个 B2个 C1个 D0个 B 4已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F 分别为AB，AC，AD 的中点，连接CE，CF，OE，OF.(1)求证：BCE DCF.(2)当AB 不BC 满足什么关系时，四边形AEOF 是正方形？请说明理由(1)四边形ABCD 是菱形，ABBCCDDA，BD.点E，F 分别为AB，AD 的中点，BE AB，DF AD.BEDF.在BCE 和DCF 中，BCE DCF(SAS)证明：,BCDCBDBEDF 1212(2)ABBC，理由如下：点E，O，
11、F 分别为AB，AC，AD 的中点，OE BC ADAF.同理可证：OFAE AB；OEOFAFAE.四边形AEOF 是菱形 ABBC，又易知OEBC，AEOE.四边形AEOF 是正方形 解：1212125如图，已知在ABC 中，ABAC，D 为BC 边的中点，过点D 作DEAB，DFAC，垂足分别为E，F.(1)求证：BED CFD；(2)若A90，求证：四边形DFAE 是正方形(1)DEAB，DFAC，BEDCFD90.ABAC，BC.D 是BC 的中点，BDCD.BED CFD.(2)DEAB，DFAC，AEDAFD90.A90，四边形DFAE 为矩形 BED CFD，DEDF.四边形D
12、FAE 是正方形 证明：6如图，在ABC 中，BAC90，AD 是中线，E 是AD 的中点，过点A作AFBC 交BE 的延长线于点F，连接CF.(1)求证：ADAF；(2)如果ABAC，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论(1)AFBC，EAFEDB.E 是AD 的中点，AEDE.又AEFDEB，AEF DEB(ASA)AFDB.在ABC 中，BAC90，AD 是中线，ADBDDC BC.ADAF.证明：12(2)当ABAC 时，四边形ADCF 是正方形 由(1)可知，ADAFDC，AFBC，四边形ADCF 是平行四边形 ABAC，AD 是中线，ADBC.又ADAF，四边形ADCF 是
13、正方形 解：7如图，在等腰三角形ABC 中，ACB90，ACBC4，D 是AB 的中点，E，F 分别是AC，BC 上的点(点E 丌不端 点A，C 重合)，且AECF，连接EF 并取EF 的中点O，连 接DO 并延长至点G，使GODO，连接DE，DF，GE，GF.(1)求证：四边形EDFG 是正方形；(2)当点E 在什么位置时，四边形EDFG 的面积最小？并求四 边形EDFG 面积的最小值(1)如图，连接CD.O是EF 的中点，OEOF.又ODOG，四边形EDFG 为平行四边形 ACBC，D 为AB 的中点，ACB90，ADDC，AFCD45，CDAB.在AED 和 CFD 中，AECF，AFCD，ADDC，AED CFD.DEDF，ADECDF.四边形EDFG 为菱形 CDAD，ADEEDC90.EDCCDF90，即EDF90.四边形EDFG 为正方形 证明：(2)四边形EDFG 为正方形，当正方形EDFG 的边长DE 最短时，其面积最小 垂线段最短，当DEAC 时，四边形EDFG 的面积最小 ADDC，DEAC，AEEC，DE AC2.当E 为AC 的中点时，四边形EDFG 的面积最小，四边形EDFG 的面积的最小值224.12解：5种识别方法 一个角是直角且一组邻边相等 四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形
